creación de un par

[China]

Buenas, os comento sobre este problema algunas dudas que me surgen:

El análisis de la fotografía de una cámara de burbujas revela la creación de un par electrón-positrón cuando los fotones pasan a través de la materia. Las trazas del electrón y el positrón tienen curvaturas opuestas en el campo magnético uniforme de 0,20 Wb·m-2 y sus radios de curvatura son de 2,5·10-2 m. a) ¿Cuál era la energía y la longitud de onda del fotón productor del par? b) Aunque en este caso la energía cinética del electrón y del positrón son iguales, generalmente se suele producir un positrón con una energía cinética ligeramente mayor a la del electrón, ¿por qué ocurre esto? c) La primera evidencia experimental del proceso de producción de pares fue obtenida por Anderson en 1933. ¿Qué importancia tuvo este descubrimiento con respecto a la teoría relativista del electrón de Dirac? Datos: h=6,63·10-34 J·s; Carga del electrón = 1,6·10-19 C; Masa del electrón=9,1·10-31 kg; c=3·108 m·s

a. Hago lo siguiente:

$qvB=\frac{mv^2}{R}$ sale que $v=8,79.10^8 m/s$ como $\beta>0,14$ se consideran factores relativistas, y hallo $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ aplico $E=\sqrt{P^2C^2+m^2C^4}=\sqrt{\gamma^2 m^2 v^2 C^2+m^2C^4}$ y conocidos todas las parámetros obtengo $E=2,68.10^{-13}$
La cuestión es que la resolución que tengo es algo diferente, al igualar fuerza magnética a centrípeta, despeja directamente P y ese valor lo introduce en la ec de la energía, de modo que sale el valor de E sin haber usado gamma y queda $E=2,54.10{^-13}$, cuál es más correcto??

[Alriga]

...sale que $v=8,79 \cdot 10^8 \ m/s$...

Nota que si te ha salido como resultado de las operaciones una velocidad de una partícula que es casi el triple (2.93) que la velocidad de la luz

$v=8,79 \cdot 10^8 \ m/s \quad \to \quad \beta=\dfrac v c=\dfrac{8.79\cdot 10^8}{3\cdot 10^8}=2.93 \quad \to \quad \gamma=\dfrac 1{\sqrt{1-\beta^2}}=\dfrac 1{\sqrt{-7.58}}$

y por lo tanto, el Factor de Lorentz imaginario, no hay duda de algo está mal en el cálculo.

...El análisis de la fotografía de una cámara de burbujas revela la creación de un par electrón-positrón cuando los fotones pasan a través de la materia. Las trazas del electrón y el positrón tienen curvaturas opuestas en el campo magnético uniforme de 0,20 Wb·m^(-2) y sus radios de curvatura son de 2,5·10^(-2) m.

a) ¿Cuál era la energía y la longitud de onda del fotón productor del par?

Datos: h=6,63·10^(-34) J·s; Carga del electrón = 1,6·10^(-19) C; Masa del electrón=9,1·10^(-31) kg; c=3·10^8 m/s

a) La fuerza magnética (fuerza de Lorentz) sobre la partícula considerada es:

$F_M=q v B$

La fuerza centrípeta relativista:

$F_c=m \gamma a$

La aceleración centrípeta:

$a=\dfrac{v^2}R$

$F_c=m \gamma \dfrac{v^2}R$

La fuerza magnética causa la fuerza centrípeta:

$$m \gamma \dfrac{v^2}R=q v B$$

Una primera manera de resolver el ejercicio es calcular la velocidad de la partícula a partir de la expresión anterior (1)

$\dfrac{v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{qBR}m$

$\dfrac{v^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}=\left ( \dfrac{qBR}m \right )^2$

Llamo $A=\left ( \dfrac{qBR}m \right )^2$

Despejo la velocidad:

$v=c \ \sqrt{\dfrac A{c^2+A}}$

Poniendo números con los datos que da el enunciado, obtengo que la velocidad es:

$v=2.84\cdot 10^8 \ m/s$

$\beta = 0.9464$

$\gamma = 3.0963$

Queda muy claro que con esta velocidad de las partículas tan cercana a la de la luz, en este ejercicio no se puede usar la aproximación newtoniana.

$F_c \not \simeq m \ \dfrac{v^2}R \quad \to \quad F_c=m \gamma \dfrac{v^2}R$

El momento lineal, del positrón o del electrón se calcula:

$$p=m \gamma v$$

Y la energía del electrón o del positrón la podemos calcular según:

$$E=\sqrt{(p c)^2+(m c^2)^2}$$

O alternativamente, (sin necesidad de calcular previamente la cantidad de movimiento) se calcula la energía de la partícula según:

$$E=m \gamma c^2$$

La energía del fotón que originó el par era:

$E_{\gamma}=2\cdot E$

Y su longitud de onda:

$$\lambda = \dfrac{h c}{E_{\gamma}}$$

Solo queda poner números. Puedes consultar un hilo similar en Proton en el Large Hadron Collider


a) Otra posibilidad alternativa de resolución (más rápida) es calcular directamente el momento lineal de la partícula a partir de la ecuación (1)

$m \gamma \ \dfrac{v^2}R=q v B$

$m \gamma v \ \dfrac 1 R=q B$

$m \gamma v =q B R$

$p=q B R$

$E=\sqrt{(p c)^2+(m c^2)^2}$

Nota que:

$q B R=p=m \gamma v \quad \to \quad q B R \neq m v$

Saludos.

Result.: $E_{\gamma}=3.17 \ MeV \qquad \lambda=0.39 \ pm$

[China]

Y por qué sé, que debo introducir el factor de Lorenz si ni conozco que la velocidad es próxima a c??

[Alriga]

b) Aunque en este caso la energía cinética del electrón y del positrón son iguales, generalmente se suele producir un positrón con una energía cinética ligeramente mayor a la del electrón, ¿por qué ocurre esto?

Pues no lo sé con seguridad, pero voy a aventurar una hipótesis, recuerda que es imposible la creación de pares en el vacío: un par electrón/positrón se crea cuando un fotón lo suficientemente energético pasa cerca de algún núcleo atómico que ayude a conservar el momento lineal.

Aunque en el instante de la creación el electrón y el positrón tuviesen exactamente la misma energía, el positrón sentirá la repulsión del núcleo cercano (pequeño incremento en su velocidad), mientras que el electrón sentirá la atracción del núcleo cercano (pequeño frenado en su velocidad) Eso podría ocasionar que cuando llegan al detector se observe que en promedio la energía de los positrones generados en la creación de pares, pudiera ser ligeramente superior a la de sus hermanos electrones creados simultáneamente.

A ver si se pasa por aquí alguno de los físicos expertos en partículas del foro, carroza , pod ... y confirman o desmienten.

c) La primera evidencia experimental del proceso de producción de pares fue obtenida por Anderson en 1933 1932. ¿Qué importancia tuvo este descubrimiento con respecto a la teoría relativista del electrón de Dirac?

El descubrimiento del positrón reforzó la validez de la ecuación relativista de Dirac para el electrón, ecuación cuya primera versión fue publicada por Dirac en 1928 y que era compatible con la existencia de "electrones que se comportarían como si tuvieran carga positiva". Hablamos de esto en detalle en el hilo Consulta sobre la creación de antimateria post#6

Saludos.

[carroza]

Pues no lo sé con seguridad, pero voy a aventurar una hipótesis, recuerda que es imposible la creación de pares en el vacío: un par electrón/positrón se crea cuando un fotón lo suficientemente energético pasa cerca de algún núcleo atómico que ayude a conservar el momento lineal.

Aunque en el instante de la creación el electrón y el positrón tuviesen exactamente la misma energía, el positrón sentirá la repulsión del núcleo cercano (pequeño incremento en su velocidad), mientras que el electrón sentirá la atracción del núcleo cercano (pequeño frenado en su velocidad) Eso podría ocasionar que cuando llegan al detector se observe que en promedio la energía de los positrones generados en la creación de pares, pudiera ser ligeramente superior a la de sus hermanos electrones creados simultáneamente.

Es correcto.

En cualquier proceso de producción de electrones y/o positrones, hay un efecto observable, y en ocasiones importante, de distrorsión de las velocidadoes del electrón y/o positrón por efecto de la repulsión electrostática del nucleo vecino.

Por ejemplo, en el decaimiento beta-'(producción de electrones y antineutrinos por la interacción débil) los electrones se ven frenados por la atracción electriostática del núcleo. Sin embargo, en el decaimiento beta+ (producción de positrones y neutrinos por la interacción débil), los positrones se ven acelerados.

En el caso de la producción de pares por un fotón energético, esta no se da en el vacío, sino en la presencia de un núcleo atómico, que se lleva parte del momento. Este núcleo, con carga positiva, repele, y por tanto acelera, a los positrones y atrae, y por tanto frena, a los electrones.

Un saludo

[Alriga]

¿Y por qué sé, que debo introducir el factor de Lorenz si ni conozco que la velocidad es próxima a c?

Puedes usar la aproximación newtoniana inicialmente si quieres, pero siendo crítica contigo misma y analizando los resultados que obtienes, a ver si te sale que la velocidad es mucho menor que la de la luz y que por lo tanto la aproximación que has realizado es aceptable. En este caso si usas la aproximación newtoniana:

$m \dfrac{v^2}R\approx q v B$

$mv \approx qBR$

Obtenemos:

$mv \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 0.2 \cdot 0.025$

$m v \approx 8\cdot 10^{-22}$ kg·m/s

$v\approx \dfrac{8\cdot 10^{-22}}{9.1\cdot 10^{-31}}$

$v\approx 8.79\cdot 10^8$ m/s

$c=3\cdot 10^8$ m/s

$v \approx 2.93 c$

Como resultado de las operaciones "newtonianas" obtenemos una velocidad de una partícula que es casi el triple (2.93) que la velocidad de la luz, lo cual debería encenderte todas las alarmas y darte cuenta de que la aproximación newtoniana que has usado no es aceptable en este caso, y que hay que usar necesariamente Relatividad Especial.

Saludos.