Ecuaciones de la métrica de Reissner Nordstrom ¿cómo afecta la carga a la trayectoria de las partículas?

[inakigarber]

Buenas noches;

Estoy tratando de calcular las ecuaciones de la métrica de Reissner Nordstrom para ver como afecta la carga a la trayectoria de una partícula en el es espacio tiempo. No sé si lo estoy haciendo bien. Veamos.

Parto de la siguiente métrica y de la siguiente nomenclatura $x^1=t,x^2=r,x^3=\theta,x^4=\varphi$
$G=\begin{pmatrix}-\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right) & 0&0&0 \\0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2sen^2 (\theta)\end{pmatrix}$

El tensor inverso;

$G^{-1}=\begin{pmatrix}-\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)^{-1} & 0&0&0 \\0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)&0&0\\0&0&r^{-2}&0\\0&0&0&r^{-2}sen^{-2} (\theta)\end{pmatrix}$

Las derivadas no nulas que me salen son las siguientes;
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{2GM}{c^2 r^2}-\dfrac{2e^2 G}{r^3 c^4}$
$\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2}=2c^4 rG\left[\dfrac{e^2-Mc^2 r}{(r^2 c^4 -2GMrc^2+e^2G)^2}\right]$
$\dfrac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=2r$
$\dfrac{\partial g_{44}}{\partial x^2}=2r sen^2 (\theta)$
$\dfrac{\partial g_{44}}{\partial x^3}=2r^2 sen(\theta) cos(\theta)$

No me salen mas derivadas no nulas, y observo que algunas de ellas me coinciden con las que se obtienen con la métrica de Schwarszchild. Observo también que en ausencia de carga eléctrica estas derivan a la métrica de Schwarschild, lo cual es lógico. Los símbolos de Christoffel que he obtenido son lós siguientes.

$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=-\left(1-\dfrac{2GM}{c^4 r^2}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2} \right)^{-1}\left(\dfrac{GM}{c^2 r^2}-\dfrac{e^2 G}{r^3 c^4}\right)$
$\Gamma^2_{11}=-G\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)\left(\dfrac{M}{c^2 r^2}-\dfrac{e^2}{r^3 c^4}\right)$
$\Gamma^2_{22}=c^4 r G\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)\left(\dfrac{e^2-Mc^2r}{(rc^4-2GMrc^2+e^2 G)^2}\right)$
$\Gamma^2_{33}=-\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)r$
$\Gamma^2_{44}=-\left(1-\dfrac{2GM}{c^2 r}+\dfrac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)r sen^2(\theta)$
$\Gamma^3_{44}=-sen(\theta)cos(\theta)$
$\Gamma^3_{32}=\Gamma^3_{23}=\dfrac{1}{r}$
$\Gamma^4_{42}=\Gamma^4_{24}=\dfrac{1}{r}$
$\Gamma^4_{43}=\Gamma^4_{34}=cotg(\theta)$

No estoy seguro de que los valores que me salen sean dimensionalmente correctos, especialmente en lo referente a las magnitudes eléctricas.