Dimensiones del tensor de curvatura

[inakigarber]

Buenas noches;

Partiendo de la relación $G=\frac{8 \pi G}{c^4}T$, donde G=tensor de curvatura, G=Constante de gravitación universal (he tratado de ponerlos en la fórmula con colores distintos pero no he sabido hacerlo) T=Tensor de curvatura y c= velocidad de la luz. He tratado de determinar las dimensiones del tensor de curvatura G, pero no sé si lo he hecho bien. Veamos.

El tensor de energía momento (si no me falla la memoria) en unidades $mv=\dfrac{mx}{t}$, siendo x=espacio, t=tiempo y m=masa.
La constante de gravitación universal se expresa en unidades de; $G=\dfrac{x^3}{m t^2}$
La velocidad de la luz $c=\dfrac{x}{t}$
y dado que $8 \pi$ es un factor adimensional opero;
$\dfrac{\dfrac{x^3}{mt^2}m\dfrac{r}{t}}{\left(\dfrac{x}{t}\right)^4}=\dfrac{1}{t}$, de manera que según lo que he calculado el tensor de curvatura se mediría en unidades de $(seg)^{-1}$, pero no sé si esto tiene mucho sentido.

¿Podéis aclararme que está mal?

Saludos y gracias.

[Alriga]

Hagamos el análisis dimensional. El tensor energía-impulso es una densidad de energía (energía por unidad de volumen) por lo tanto sus unidades son:

$[\boldsymbol T]=J/m^3$

$[\boldsymbol T]=M L^{-1} T^{-2}$

Las unidades de la constante de gravitación universal

$[G]=M^{-1} L^3 T^{-2}$

Las de la velocidad de la luz

$[c]=L T^{-1}$

Las ecuaciones de campo de Einstein:

$\boldsymbol G=\dfrac{8 \pi G}{c^4} \ \boldsymbol T$

Sus dimensiones:

$[\boldsymbol G] = \Big (M^{-1} L^3 T^{-2} \Big ) \Big ( L T^{-1} \Big )^{-4} \Big (M L^{-1} T^{-2}\Big )$

$[\boldsymbol G] = L^{-2}$

Por lo tanto, en el SI, las unidades del Tensor de Einstein son $\boldsymbol{metros^{-2}}$

Saludos.

[Alriga]

inakigarber, nota que $L^{-2}$ son también las dimensiones de la Curvatura de Gauss de una superficie: la Curvatura de Gauss y el Tensor de Einstein tienen las mismas unidades, el inverso de un área.

Y también tienen esas mismas unidades ($L^{-2}$), la Constante Cosmológica $\Lambda$ y el Tensor de Ricci.

Saludos.

[inakigarber]

Hagamos el análisis dimensional. El tensor energía-impulso es una densidad de energía (energía por unidad de volumen) por lo tanto sus unidades son:

$[\boldsymbol T]=J/m^3$

$[\boldsymbol T]=M L^{-1} T^{-2}$

Las unidades de la constante de gravitación universal

$[G]=M^{-1} L^3 T^{-2}$

Las de la velocidad de la luz

$[c]=L T^{-1}$

Las ecuaciones de campo de Einstein:

$\boldsymbol G=\dfrac{8 \pi G}{c^4} \ \boldsymbol T$

Sus dimensiones:

$[\boldsymbol G] = \Big (M^{-1} L^3 T^{-2} \Big ) \Big ( L T^{-1} \Big )^{-4} \Big (M L^{-1} T^{-2}\Big )$

$[\boldsymbol G] = L^{-2}$

Por lo tanto, en el SI, las unidades del Tensor de Einstein son $\boldsymbol{metros^{-2}}$

Saludos.

Creo que he partido de una base equivocada. En el blog que enlazo a continuación, justamente antes de donde dice "Hecho este ligero cambio y en base a la definición general que se ha dado arriba procederemos a" aparece la siguiente ecuación; $(E/c, [\boldsymbol p]=E/c, p^1,p^2, p^3=E/c, p^x, p^y, p^z$ que me hizo pensar en que los términos de dicho tensor se expresaban en unidades de momento lineal. Entiendo, a partir del desarrollo dimensional que tu haces, que el tensor de alguna manera lo que nos muestra es el flujo de energía por cada unidad de volumen.

[Alriga]

Nota también que la magnitud física Presión, que es fuerza por unidad de superficie p=F/S tiene como unidades $N/m^2$ y sus dimensiones son:

$[F]=[m][a]=M L T^{-2}$

$[S]=L^2$

Por lo tanto:

$[p]=\dfrac{M L T^{-2}}{L^2}=M L^{-1} T^{-2}$

Que son las mismas dimensiones que tiene una Densidad de Energía $J/m^3$ como hemos demostrado en el post#2

$N/m^2 \equiv J/m^3$

Acabo de recordar que sobre estos temas hablamos en el hilo Sobre transferencia de Momento-Energía en un sistema de referencia comovil post#16

Saludos.

[inakigarber]

Nota también que la magnitud física Presión, que es fuerza por unidad de superficie p=F/S tiene como unidades $N/m^2$ y sus dimensiones son:

$[F]=[m][a]=M L T^{-2}$

$[S]=L^2$

Por lo tanto:

$[p]=\dfrac{M L T^{-2}}{L^2}=M L^{-1} T^{-2}$

Que son las mismas dimensiones que tiene una Densidad de Energía $J/m^3$ como hemos demostrado en el post#2

$N/m^2 \equiv J/m^3$

Acabo de recordar que sobre estos temas hablamos en el hilo Sobre transferencia de Momento-Energía en un sistema de referencia comovil post#16

Saludos.

Muchas gracias por tu explicación. Es de una sencillez evidente;

$$P=\dfrac{F}{x^2}$$

$$\dfrac{E}{x^3}=\dfrac{F x}{x^3}=\dfrac{F}{x^2}$$

Luego todos los componentes de dicho tensor se expresan en unidades de tensión.

De todos modos, hay algo que me mantiene perplejo. Siguiendo el blog que ya mencione, en un apartado de dicho blog dice "Para los componentes del tensor energía-tensión T cuyo significado físico se dará a continuación, se acostumbra utilizar como guía la siguiente definición general:

T^ab = flujo de momentum a atravesando una superficie de b constante"

De manera que el autor menciona un flujo de momento por unidad de superficie, lo cual se mide en magnitudes de $\dfrac{Kg}{m (seg)^2}$, lo cual me tiene un tanto confundido porque no se expresa en las mismas unidades que mencionas de energía por unidad de volumen.

¿Podría ser que no estemos hablando de lo mismo?

Saludos y gracias