Si estoy girando en una noria ¿envejezco más despacio?

[inakigarber]

Buenos días;

Supongamos una situación como esta;

Una noria con dos observadores uno dando vueltas (1) y el otro (2) en reposo. La noria es lo bastante pequeña como para que podamos considerar el campo gravitatorio de la tierra uniforme. Visto desde el sistema de referencia del observador 2, atendiendo a la relatividad especial para este observador el tiempo del observador 1 fluye más despacio, por otra parte, dado que va subiendo y bajando, cuando está arriba según la relatividad especial el reloj del observador 1 deberá acelerar por estar más alejado de la fuente de gravedad, en tanto que deberá frenarse cuando está abajo.

Por otra parte, desde el sistema de referencia del observador 1 este sentirá una fluctuación en su gravedad debido a la fuerza centrífuga. De manera que cuando esté en su punto más alto estará prácticamente en la ingravidez (su tiempo debería ir más rápido que el del otro observador). Por el contrario cuando está en el punto más bajo sentirá una mayor gravedad por lo que su tiempo deberá fluir más lento que el del observador 2.
¿se cancelan en ambos casos ambos efectos prevaleciendo solo la relatividad especial? ¿Afectaría la fuerza centrifuga al tiempo? (sospecho que si)
¿Cómo se harían los cálculos?


Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Vamos por partes por el hecho de que el observador 1 esta acelerado, y mantiene una velocidad v respecto el observador 2 , ya su tiempo propio es menor que el de 2, es decir envejece menos, esto sucede,incluso cuando la noria la tienes horizontal como una calesita donde no sube y ni baja o se mantienen a la misma altura.

Dejando eso de lado el efecto velocidad, si el campo es uniforme y en ausencia de referencias relativas, cuando uno baja el otro sube y viceversa a tiempos iguales en cada acción entonces ninguno puede sacar ventaja de tiempo propio al otro por la dilatación del tiempo con la gravedad.

Pero si el campo no es uniforme como en cualquier planeta o cuerpo de geometría esférica y crece a medida que te acercas la superficie, creo que el observador móvil es el que también gana tiempo propio , el efecto de dilatación es mas intenso, cuando el movil esta debajo que cuando el móvil esta arriba .

[carroza]

Hola. Con respecto a los cálculos, el efecto de la velocidad de la noria girando se tiene en cuenta de forma que $t_m = \sqrt{1 - v^2/c^2} \quad t_f$, de forma que el intervalo de tiempo propio que transcurre para el observado movil, no inercial, es más corto que para el observador fijo, por tanto el observador movil envejece menos.

El efecto del campo gravitatorio es (segun creo) tal que $t_g = \sqrt{1 - 2 U_g/ c^2} \quad t_0$, donde el potencial gravitatorio es $U_g = G M / R$. O sea, cunato más grande sea el potencial gravitatorio, más lento transcurre el tiempo. En el radio de schwarzchild, donde $U_g = c^2$el tiempo se congelaría.

No sé como se combinan ambas fórmulas, para determinar el transcurso del tiempo para un observador que gira en la noria, y además varía significativamente su potencial gravitatorio. Intuyo, como dice Richard, que el efecto gravitatorio del observador movil se cancela, ya que a veces tiene más potencial gravitatorio y a veces menos.

Un saludo

[Fortuna]

Buenas tardes, interesante pregunta. Respecto al efecto de la gravedad, si usas el principio de equivalencia, los dos observadores se pueden considerar que están en un sistema con la misma aceleración y por tanto inerciales entre sí. Luego no habría que calcularlos, pero si lo haces habría que descontar al observador 2 la dilatación temporal gravitatoria también para compararlos. (pero no al 1, que lo hacemos por el otro lado del principio de equivalencia, por la la aceleración).

[inakigarber]

Buenas noches;

Intentando simplificar el problema he imaginado que por un momento la noria está detenida, de manera que los valores de r, $\theta$ y$\varphi$ de cualquier observador situado en la noria son constantes esto implica que $dr$, $d\theta$ y $d\varphi$ son nulo, de manera que el intervalo me quedaría reducido a $ds^2=\left(1+\dfrac{r_s}{x}\right)c^2 dt^2$, siendo x la altura a la que se encuentra cada observador con respecto al centro de masas de la tierra. Vamos a suponer que el centro de la noria se encuentra a una altura h de la superficie terrestre, la cual se encuentra a una distancia $R_t$ del centro de la tierra.

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h-r}\right)}\Delta t_3$$

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h}\right)}\Delta t_2$$

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h+r}\right)}\Delta t_1$$

Para simplificar los términos llamare al miembro entre paréntesis $\alpha$, siendo que $\alpha_3 > \alpha_2 > \alpha_2$, el tiempo para el observador 3 (en la parte inferior) de la noria transcurre más despacio que para los otros observadores, en tanto que para el observador 1 transcurre más rápido que para el resto de los observadores, lo cual no es nada nuevo, es lo que ya sabíamos. Si ahora ponemos la noria en marcha, podríamos hacerla girar lo suficientemente rápido como para que la contracción de Lorentz compensara el adelanto que sufre el reloj del observador cuando está en la parte superior de la noria, pero a cambio provocaríamos que este se atrasara ostensiblemente más cuando está en la parte inferior (suponemos que la noria rota a velocidad uniforme), por lo que el observador situado en la góndola de la noria envejecerá más despacio que el situado en el centro.

Yo al menos lo veo así.

Saludos.

[carroza]

Creo que debes poner signo negativo en las expresiones de la métrica.

[Richard R Richard]

No sé como se combinan ambas fórmulas,

Creo que es en el experimento de Hafele y Keating donde creo haber visto que los $\Delta t$ creados tanto por la gravedad y por velocidad son sumados para dar el $\Delta t$ total

https://en.wikipedia.org/wiki/Hafele...ing_experiment

Buenas noches;

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h-r}\right)}\Delta t_3$$

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h}\right)}\Delta t_2$$

$$\Delta t=\sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h+r}\right)}\Delta t_1$$

supón que la noria de 1 giro cada 1 segundos

El tiempo a comparar sería el del observador 2 versus una mezcla de los otros dos visto de esta manera


$\Delta t_{movil}=\dst\int\limits_0^{\Delta t} \dfrac{1}{ \sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h+r\sin(2\pi t)}\right)}} dt<br />$

Si $\Delta t_{movil}<\Delta t_2$ entonces el tiempo del observador móvil transcurre mas lento que el estático en el centro. Entiendo que debe dar así el resultado de RG y reforzar el efecto de moverse a velocidad constante respecto del fijo por RE.

Habría que probar con un $\Delta t$ unitario.

lo hice y la integral da menor que la del fijo.

[carroza]

Gracias por la indicacion al experimento de Hafele-Keating.

Sin embargo, no acabo de entender por qué los efectos gravitatorios son deiferentes cuando el avión vuela al este o al oeste, ya que la altura es la misma.

The results were published in Science in 1972:^[5][6]

+144 ±14	−184 ±18	−40 ±23	−59 ±10	0.76 σ
+179 ±18	+96 ±10	+275 ±21	+273 ±7	0.09 σ

The published outcome of the experiment was consistent with both special and general relativity. The observed time gains and losses were in agreement with relativistic predictions to within the ~10% precision expected of the experiment.^[7]

Un saludo

[Alriga]

Recordad que, por si interesa repasar, hay un hilo en el foro del Experimento Hafele Keating en donde hay un enlace a un texto de la Universidad de Granada que lo explica con detalle.

Gracias por la indicación al experimento de Hafele-Keating ... Sin embargo, no acabo de entender por qué los efectos gravitatorios son diferentes cuando el avión vuela al este o al oeste, ya que la altura es la misma...

Las alturas de vuelo no fueron iguales, la altura de vuelo hacia el oeste fue de 9400 m y hacia el este de 8900 m.

Saludos.

[inakigarber]

El tiempo a comparar sería el del observador 2 versus una mezcla de los otros dos visto de esta manera


$\Delta t_{movil}=\dst\int\limits_0^{\Delta t} \dfrac{1}{ \sqrt{\left(1+\dfrac{r_s}{R_t+h+r\sin(2\pi t)}\right)}} dt<br />$

Si $\Delta t_{movil}<\Delta t_2$ entonces el tiempo del observador móvil transcurre mas lento que el estático en el centro. Entiendo que debe dar así el resultado de RG y reforzar el efecto de moverse a velocidad constante respecto del fijo por RE.

Habría que probar con un $\Delta t$ unitario.

lo hice y la integral da menor que la del fijo.

Buenas noches. He intentado resolver la integral pero no he podido. En todo caso, la respuesta a la pregunta ya la he obtenido, al menos en parte. Si la noria se encuentra en la superficie terrestre el observador que da vueltas en la góndola envejece más despacio que el observador que se encuentra estático en el centro de la noria.

En el caso de que la noria se encontrará en un lugar del espacio carente de gravedad también ocurriría lo mismo. El observador en la góndola notaría la fuerza centrifuga, lo cual es equivalente a estar sometido a una gravedad con lo cual su reloj experimentaría un doble retraso, el debido a estar sometido a una aceleración (lo que equivale a un campo gravitatorio) más el propio debido a la contracción de Lorentz. Por lo tanto, en el caso de que la noria girara en un espacio carente de gravedad, el observador situado en la góndola también envejecería más lentamente que el observador situado en el centro de la noria.

[Richard R Richard]

Hola, aqui te paso el código que ejecute para comprobar el resultado, ya que con Wolfram Alpha no te devuelve resultado.
Usé parámetros unitarios, y donde podía crearme algún problema de división por cero use un 2, pero lo importante es usar lo mismos parámetros tanto en la integral como en la fórmula de $\Delta t_2$

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from math import acos, sin, cos, sqrt, gcd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
Pi=acos(-1)
S=0
div=10000
for x in range(0,div):
     S=S+1/(1+1/(2+1 *sin(2*Pi* x/div)))**0.5/div
     print ("integral=",S,"Delta t2="(1/(1+1/(2))**0.5))

Allí veras que la integral da cerca de 0.8 y el punto medio 0.85 por lo que el tiempo va mas despacio para el que está bajando y subiendo.

Reitero a ese resultado hay que sumarle lo que carroza aportó $t_m = \sqrt{1 - v^2/c^2} \quad t_f$ debido a la velocidad de rotación de un observador respecto de otro observador central , que hace mas notoria la diferencia en los relojes, por lo menos sucede así en este caso.