1r ciclo Curvatura del espacio

[Jaime Rudas]

La masa le dice al espacio cómo curvarse. Teniendo en cuenta lo anterior, el espacio en la superficie de la Tierra está ligeramente curvado. ¿Cuál es el radio de curvatura del espacio en la superficie de la Tierra por efecto de su masa?

[Weip]

Hola Jaime. La verdad es que no creo que el radio de curvatura esté definido en el caso que planteas tal y como está escrito, me explico.

El campo gravitatorio de la Tierra visto como curvatura del espaciotiempo se puede modelizar con la métrica de Schwarzschild. Hay que observar que la curvatura espacial es un concepto que depende de las coordenadas, por lo que entiendo que querrías calcular el radio de curvatura usando las coordenadas de Schwarzschild. Usualmente el radio de curvatura para una curva es el inverso de la curvatura (aceleración). Para una superficie se habla de radios de curvatura principales, inversos de la curvaturas principales. Para dimensiones superiores se podrían hacer definiciones parecidas definiendo radios de curvatura como inversos de las curvaturas seccionales, pero no creo que corresponda al concepto por el que preguntas. Otras opciones no son posibles porque la solución de Schwarzschild tiene curvatura de Ricci y escalar cero, así que es difícil definir algún radio de curvatura a partir de aquí.

Otra cuestión sería considerar una partícula siguiendo una geodésica y preguntarse cómo se ve afectada por la curvatura del espaciotiempo. En las coordenadas anteriores, mirando los símbolos de Christoffel en las ecuaciones de las geodésicas se ve que la curvatura espacial es mucho más pequeña que la temporal. No sabría definir un radio de curvatura usando los símbolos de Christoffel, pero lo anterior da una intuición que este radio de curvatura debería ser extremadamente grande.

Dicho esto, si quieres concretamos más en tu pregunta inicial a ver si encontramos una respuesta convincente.

[Jaime Rudas]

Dicho esto, si quieres concretamos más en tu pregunta inicial a ver si encontramos una respuesta convincente.

El asunto es que, en otro grupo, alguien salió con la gracieta de que el edificio del Apple Park había sido cuidadosamente diseñado para que de la longitud de su perímetro dividida entre su diámetro resultara exactamente el número π. Comenté que, siendo estrictos con la RG, esa relación daría un pelín menos que π porque la masa de la Tierra haría que el espacio donde está construido el edificio su curvara muy, muy levemente.

[Alriga]

La masa le dice al espacio cómo curvarse. Teniendo en cuenta lo anterior, el espacio en la superficie de la Tierra está ligeramente curvado...

Según escribe Richard Feynman en una de sus famosas "Lectures on Physics" aplicando la Relatividad General, para una esfera de densidad constante y masa $M$, el exceso radial (la diferencia entre el radio real y el radio que le correspondería en la geometría euclídea a una esfera de igual área) se calcula:

$$\Delta r=\dfrac{G M}{3c^2}$$

En el caso de la Tierra, simplificada para asimilarla a una esfera de densidad constante:

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ S.I.

$M=5.9720\cdot 10^{24}$ kg

$c=299792458$ m/s

Se obtiene:

$\Delta r=1.48$ mm

Fuente: Feynman Lecture. Curved Space

Saludos.

[Sirfred]

Bueno, siguiendo el hilo de la estricta y profunda reflexión de la cuestión, se me ocurre que no tiene sentido utilizar el valor de π definido para un espacio euclidiano en un espacio curvo, deberíamos definir π para ese espacio esférico, entonces, según parece, π deja de ser constante y depende del radio del circulo que midas y de la curvatura del espacio en el que estes, con ese valor de π sí se cumple la proporción en el edificio.

[Richard R Richard]

A los fines practicos, me parece que por lo menos en este planeta no tiene demasiada importancia, la diferencia entre el radio real y el relativista para 464m, es la decima parte de un micrón, miles de veces mas pequeña que un grano de arena del hormigón con el que esta construido.