1r ciclo La galaxia Rastafari

[Jaime Rudas]

En los últimos episodios de Coffee Break se ha planteado un problema equivalente a lo siguiente: ¿A qué distancia se encuentra una galaxia a la que, las señales que le emitimos hoy, las reciba en el futuro con una frecuencia igual al 60% de la emitida?

Hasta ahora, se ha dado por buena la respuesta según la cual esa galaxia está en z=2/3 que corresponde a cerca de 8 mil millones de años luz. Yo mismo le planteé a Francis ese resultado, sin embargo, un segundo después de haber enviado el comentario, me di cuenta de que estaba errado porque, si bien es cierto que esa galaxia recibe en este momento señales provenientes de la Vía Láctea con ese desplazamiento al rojo, las señales que emitimos hoy las recibirá en el futuro con un desplazamiento mucho mayor. Pero, entonces, ¿a qué distancia se encuentra hoy esa galaxia?

[javisot20]

¿Está mal la respuesta de 2/3?, entiendo que se refiere a que esa galaxia recibirá la señal en z=2/3 pero emitimos la señal antes, o la pregunta está mal formulada claro.
Suponemos que emitimos hoy señales hacia una galaxia que se encuentra inicialmente en un cierto z respecto de nosotros, las detecta cuando z=2/3, ¿a qué z se encontraba inicialmente cuando emitimos las señales?

(Es verdad que tal y como José planteó el problema puede ser ambigüo)

Esperando a que contesten tu duda, pude transformar la pregunta por otra que resolvió en el último episodio, a saber, ¿a qué distancia de un agujero negro debemos encontrarnos para que el rock sea reagge?

[Jaime Rudas]

¿Está mal la respuesta de 2/3?, entiendo que se refiere a que esa galaxia recibirá la señal en z=2/3 pero emitimos la señal antes, o la pregunta está mal formulada claro.

Sí, de acuerdo con el planteamiento, es correcto decir que esa galaxia deberá recibir la señal en z=2/3. Lo que no es correcto es decir que emitimos la señal antes. Y no es antes porque el planteamiento involucra a Bob Marley que, en tiempo cosmológico, es ahora.

Suponemos que emitimos hoy señales hacia una galaxia que se encuentra inicialmente en un cierto z respecto de nosotros, las detecta cuando z=2/3, ¿a qué z se encontraba inicialmente cuando emitimos las señales?

(Es verdad que tal y como José planteó el problema puede ser ambigüo)

Sí, creo que este es el planteamiento correcto y creo que no es ambiguo porque, como ya indiqué, involucra a Bob Marley, al rock y al reggae que son eventos actuales.

Esperando a que contesten tu duda, pude transformar la pregunta por otra que resolvió en el último episodio, a saber, ¿a qué distancia de un agujero negro debemos encontrarnos para que el rock sea reagge?

Bueno, pero ahí faltarían datos: ¿Qué masa tiene el agujero negro? ¿Dónde se encuentra quien emite la señal a ritmo de rock?

[javisot20]

Sí, de acuerdo con el planteamiento, es correcto decir que esa galaxia deberá recibir la señal en z=2/3. Lo que no es correcto es decir que emitimos la señal antes. Y no es antes porque el planteamiento involucra a Bob Marley que, en tiempo cosmológico, es ahora.

Cierto, menor z es más "ahora", gracias Jaime.

Bueno, pero ahí faltarían datos: ¿Qué masa tiene el agujero negro? ¿Dónde se encuentra quien emite la señal a ritmo de rock?

Creo que era el observador más cercano al horizonte de sucesos emite Rock y el observador tanto alejado del horizonte recibe reaggae (si no recuerdo mal sus palabras), me parece que también hizo alguna consideración sobre el radio de Schwarzschild y con eso comentó algún resultado posible, lo busco que no lo recuerdo bien..

[javisot20]

Lo encontré, fue en el chat del directo por mitad del programa más o menos, cito, "La banda tendría que estar 56% más allá del radio de Schwarzschild para que un lejano Jah escuche el rock como si fuera reggae"

[Alriga]

...¿A qué distancia se encuentra una galaxia a la que, las señales que le emitimos hoy, las reciba en el futuro con una frecuencia igual al 60% de la emitida?...

Perdón por tardar en responder, pero es que ando un poco liado estos días. En general, (ver detalles en post#14) :

$\dfrac{f_1}{f_0}=\dfrac{a_0}{a_1}$

Para la galaxia Rastafari

$\dfrac{f_r}{f_0}=0.6=\dfrac{a_0}{a_r}$

Si definimos que actualmente el factor de escala es $a_0=1$, entonces el factor de escala correspondiente a la observación realizada en la galaxia Rastafari $a_r$ es

$a_r=\dfrac 1{0.6}=1.666667$

La distancia actual a la galaxia Rastafari se calcula, usando los factores de escala, mediante

$\displaystyle d_a=\dfrac c{H_0} \ \int_1^{a_r} \dfrac{da}{\sqrt{\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} a + \Omega_{K_0} a^2 + \Omega_{\Lambda_0} a^4}}$

Con los valores proporcionados por la Colaboración Planck para los parámetros cosmológicos, la resolución de la integral por métodos numéricos da como resultado que la galaxia Rastafari está ahora a 6256 millones de años luz. Si emitimos la señal ahora, llegará a la galaxia Rastafari dentro de 8036 millones de años.

Y cuando le llegue la señal que le enviamos ahora, estará a una distancia de nosotros de $6256\cdot 1.666667 =$ 10426 millones de años luz.

Saludos.

[Alriga]

...¿a qué distancia de un agujero negro debemos encontrarnos para que el rock sea reggae?...

$\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=1+z$

En nuestro caso:

$\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=0.6$

$1+z=\dfrac 1{0.6}\simeq 1.666667$

La expresión del desplazamiento al rojo gravitacional a utilizar es:

$$1+z=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{R_s}{r_{obs}}}{1-\dfrac{R_s}{r_{emi}}}}$$

En donde $R_s$ es el radio de Schwarzschild del agujero negro, $r_{emi}$ el radio desde el que se emite la señal "rock" y $r_{obs}$ el radio donde se recibe la señal como "reggae". En la ecuación se ve, como es lógico, que se debe cumplir que $r_{emi}>R_s$

Despejando:

$$r_{obs}=\dfrac{R_s}{1-(1+z)^2 \left ( 1-\dfrac{R_s}{r_{emi}}\right )}$$

Para cada $r_{emi}$ hay un $r_{obs}$ que cumple que la frecuencia observada es el 60% de la frecuencia emitida:

...cito, "La banda tendría que estar 56% más allá del radio de Schwarzschild para que un lejano Jah escuche el rock como si fuera reggae"...

Eso es aproximadamente cierto, en realidad sucede con la banda colocada el 56.25% más allá del radio de Schwarzschild. Para demostrarlo, si de la ecuación (1) despejamos $r_{emi}$ obtenemos:

$r_{emi}=\dfrac{R_s}{1-\dfrac{1-\dfrac{R_s}{r_{obs}}}{(1+z)^2}}$

Si queremos que emitiendo rock se oiga reggae en el infinito, hacemos el límite:

$r_{emi}=\dfrac{R_s}{1-\dfrac{1-\dfrac{R_s}{\infty}}{(1.666667)^2}}=\dfrac{R_s}{1-0.6^2}$

Operando

$r_{emi} = 1.5625 R_s$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Muchas gracias Alriga

Me surge una duda:

$\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=1+z$

Para la galaxia Rastafari

$\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=0.6$

$1+z=\dfrac 1{0.6}=1.666667$

La relación entre el factor de escala y el desplazamiento al rojo cosmológico:

$\dfrac{a_{observada}}{a_{emitida}}=1+z$

Si definimos que actualmente el factor de escala es $a_{emitida}=1$, entonces el factor de escala correspondiente a la observación realizada en la galaxia Rastafari $a_r$ es

$a_r=1.666667$

Antes de la última edición, habías resuelto el problema utilizando un $z_r=-0,4$, lo que corresponde casi exactamente a lo que planteé yo en otro foro sin estar muy convencido de mis cálculos, debido a que no estaba muy seguro de cómo interpretar ese z negativo. Lo que pensé en ese momento es más o menos que si el corrimiento al rojo de un evento pasado al presente es positivo, entonces el correspondiente de un evento futuro al presente debería ser negativo pues, visto en ese sentido, resultaría en una contracción. Ahora noto que tu nuevo planteamiento ya no incluye ese $z_r$ y me gustaría saber cómo lo interpretas tú y por qué decidiste eliminarlo.

Saludos

[Alriga]

...Me surge una duda: Antes de la última edición, habías resuelto el problema utilizando un $z_r=-0,4$ ... ¿por qué decidiste eliminarlo? ...

Es que empecé confundiendo la frecuencia con la longitud de onda. En nuestro enunciado, la frecuencia en la recepción medida en la galaxia rastafari es el 60% de la frecuencia en la emisión que realizamos ahora, la expresión físicamente correcta es:

$\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=0.6$

Yo me confundí y escribí (lo cual es físicamente erróneo)

$\dfrac{\lambda_{observada}}{\lambda_{emitida}}=0.6 \quad \rightarrow \quad z_r=-0.4$

Después debí cometer algún otro error que compensaba este, pues llegaba al factor de escala correcto $a_r=1.666667$

Lo físicamente correcto es:

$\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=0.6 \quad \rightarrow \quad \dfrac{\lambda_{emitida}}{\lambda_{observada}}=0.6$

He visto por ahí cálculos que utilizan desplazamientos al rojo negativos $z<0$ para conseguir resultados matemáticamente correctos, pero yo prefiero no usarlo.

Si consideramos que el factor de escala actual es a=1, mientras el universo esté en expansión, cualquier evento del futuro sucederá en una a>1. Como la relación matemática ente el factor de escala y el redshift es:

$z=\dfrac 1 a -1$

$\dfrac{\lambda_{observada}}{\lambda_{emitida}}=1+z$

De esas expresiones, en el futuro $a>1 \rightarrow z<0 \rightarrow \lambda_{observada} < \lambda_{emitida}$

Y ese redshift negativo se puede utilizar para cálculos cosmológicos, pero obliga a "pensar un poco al revés": es como si señales emitidas desde el futuro con una cierta longitud de onda, nos llegasen ahora a nosotros contraídas (con longitud de onda menor), y eso me parece algo artificioso.

Como cualquier expresión de un cálculo cosmológico que utilice desplazamientos al rojo tiene una expresión equivalente que usa factores de escala, yo uso siempre estas últimas, ya que en ellas no hay necesidad de "pensar al revés" usando para cálculos desplazamientos al rojo negativos, y yo no los uso.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Y ese redshift negativo se puede utilizar para cálculos cosmológicos, pero obliga a "pensar un poco al revés": es como si señales emitidas desde el futuro con una cierta longitud de onda, nos llegasen ahora a nosotros contraídas (con longitud de onda menor), y eso me parece algo artificioso.

Sí, por eso precisamente no me terminaba de convencer ese cálculo mío con z negativo y por eso me sorprendió que lo hubieras utilizado primero y retirado después.
Muchas gracias de nuevo.

[javisot20]

Pregunto que me he pedrdido, ¿qué diferencia hay entre z negativo y el desplazamiento al azul?

[Alriga]

Nota que estamos hablando de z negativo en Cosmología, no en el Efecto Doppler.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Yo me confundí y escribí (lo cual es físicamente erróneo)

$\dfrac{\lambda_{observada}}{\lambda_{emitida}}=0.6 \quad \rightarrow \quad z_r=-0.4$

Después debí cometer algún otro error que compensaba este, pues llegaba al factor de escala correcto $a_r=1.666667$

Creo que, por fin, encontré ese segundo error:


Me parece que, en realidad, la relación general es:

$\dfrac{a_{observador}}{a_{emisor}}=1+z$

que, para el caso particular, resulta:

$\dfrac{a_r}{a_0}=a_r/1=a_r=1+z$

[Alriga]

Recopilando:

• A un instante cosmológico $t_0$ le corresponde un factor de escala $a_0$
• A otro instante cosmológico $t_1$ le corresponde un factor de escala $a_1$

Las relaciones entre los factores de escala y las respectivas señales electromagnéticas que se intercambien es siempre:

$$\dfrac{a_0}{a_1}=\dfrac{\lambda_0}{\lambda_1}=\dfrac{f_1}{f_0}$$

Siendo $t_0=$ahora, lo habitual es que estudiemos señales que nos llegan a nosotros ahora $t_1<t_0$ y por lo tanto lo habitual (con el universo en expansión) es que $a_1< a_0$

El caso de la galaxia rastafari es "no habitual" ya que somos nosotros los que enviamos la señal $t_1>t_0$ y entonces (con el universo en expansión) se cumple que $a_1>a_0$ Si aplicamos al caso rastafari la relación anterior, que se cumple siempre:

$\dfrac{a_1}{a_0}=\dfrac{f_0}{f_1}=\dfrac{f_0}{0.6f_0}=1.666667$

El convenio habitual es definir que ahora el factor de escala es $a_0=1 \rightarrow a_1=1.666667$

Y por lo tanto la distancia ahora a la galaxia rastafari es:

$\displaystyle d=\dfrac c{H_0} \ \int_1^{1.666667} \dfrac{da}{\sqrt{\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} a + \Omega_{K_0} a^2 + \Omega_{\Lambda_0} a^4}}$

El valor que se obtiene usando los parámetros cosmológicos medidos por la Colaboración Planck-2018, que naturalmente tiene en cuenta la expansión acelerada del universo, puesto que usa $\Omega_{\Lambda_0}=0.6689$, es el señalado en el post#6 que es, distancia actual d=6256 millones de años luz. La señal llegará a la galaxia Rastafari dentro de 8036 millones de años y cuando le llegue la distancia de la galaxia rastafari a nosotros será de 10426 millones de años luz.

Esta mañana he visto que Francis Villatoro nombra "La web de Física" y "Physiscs Forums" en su post Podcast CB SyR 477: Materia oscura en galaxias enanas, sesgos dialectales en grandes modelos de lenguaje y transparentar la piel con un colorante

Pero me temo que ha hecho una "lectura en diagonal" de ambos foros y se ha liado, porque continua diciendo erróneamente:

...se puede estimar que la galaxia recibirá la señal emitida hoy dentro de unos diez mil millones de años, por lo que ahora mismo se encontrará a unos cinco mil millones de años de distancia...

Le he avisado en un comentario en el cual también te nombro a ti Jaime Rudas.

Saludos.

[Alriga]

Cualquier expresión de un cálculo cosmológico que utilice desplazamientos al rojo como variable de integración, tiene una expresión equivalente que usa factores de escala. Yo uso siempre estas últimas, ya que en ellas no hay necesidad de usar para cálculos desplazamientos al rojo negativos

Pero algunas calculadoras online usan integrales en las que la variable de integración es el redshift y para usarlas, hay que proporcionarles sí o sí el valor de $z_0$

• A un instante cosmológico $t_0$ le corresponde un factor de escala $a_0$
• A otro instante cosmológico $t_1$ le corresponde un factor de escala $a_1$

Las relaciones entre los factores de escala y las respectivas señales electromagnéticas que se intercambien es siempre:

$$\dfrac{a_0}{a_1}=\dfrac{\lambda_0}{\lambda_1}=\dfrac{f_1}{f_0}=1+z_0$$

Siendo $t_0=$ahora, lo habitual es que estudiemos señales que nos llegan a nosotros ahora $t_1<t_0$ y por lo tanto lo habitual (con el universo en expansión) es que $a_1< a_0 \rightarrow z_0>0$. El desplazamiento al rojo positivo $z_0>0$ medido ahora tiene significado físico.

El caso menos habitual, en el que somos nosotros ahora en $t_0$ los que enviamos la señal, $t_1>t_0$ y con el universo en expansión se cumple que $a_1>a_0$ Si aplicamos la expresión (1) obtenemos un redshift matemático negativo, $z_0<0$. Ese desplazamiento al rojo negativo "medido ahora" no tiene significado físico, pero se puede utilizar en las calculadoras online que utilizan el desplazamientos al rojo como variable de integración y se obtienen resultados correctos en valor absoluto: el resultado del cálculo en esas calculadoras de la distancia actual y del tiempo de vuelo de los fotones sale negativo.

Por ejemplo en nuestro caso de cálculo de la distancia de la galaxia rastafari a nosotros ahora

$\dfrac{f_1}{f_0}=\dfrac{0.6f_0}{f_0}=0.6=\dfrac{a_0}{a_1}=1+z_0 \rightarrow z_0=-0.4$

Si usamos $z=-0.4$ en esas calculadoras online con los valores de los parámetros cosmológicos de la Colaboración Planck-2018, obtendremos $d=-6256$ Mly para la distancia actual y $t=-8036$ millones de años para el tiempo de vuelo, cuyos valores absolutos son correctos.

Saludos.