¿Se adelanta un reloj que lanzo a la estratósfera?

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta. [

QUOTE=Richard R Richard;n366906]
Observa que variables son nulas y cuales no para sacar conclusiones, sobre cuando so positivas o no $dt/d\tau$ y TEX]d^2t/d\tau^2[/TEX]
[/QUOTE]

Entiendo que para un observador en la tierra, la velocidad $v=dt/d\tau$ es máxima en el momento del lanzamiento cero en el momento álgido y máxima negativa en el instante de la caída, y la aceleración $a=d^2t/d\tau^2=-9.81$. Si estamos suficientemente cerca del límite clásico ambas funciones serían rectas, la velocidad descendiente con una pendiente
de valor -9.81 y la aceleración sería otra recta, esta horizontal en el valor y=-9.81

Sobre $\dfrac{d t}{d\tau}$ en el post #8 inserté la siguiente imagen, con la que no estoy muy satisfecho, pero es la única que tengo.

En dicha imagen en la línea roja se representa el tiempo del observador en tierra $\tau$. La curva verde representa el tiempo del observador en la bala vista desde el sistema de referencia del observador terrestre. En el instante en que la bala fue lanzada (parte inferior izquierda) ambos observadores están a la misma altura (la gravedad afecta igual a ambos) de manera que lo único que afectará al tiempo de la bala -con respecto al observador terrestre- será la dilatación temporal debida a las transformaciones de Lorentz debida a la velocidad de la bala que hará que su tiempo fluya más despacio (hacia adelante pero más despacio) en este punto $\dfrac{d t}{d\tau}<1$ a medida que gana altura irá perdiendo velocidad. Al ganar altura la gravedad hará que su tiempo vaya más rápido a la vez que la dilatación temporal irá disminuyendo por la pérdida de velocidad. Llegará un punto que que ambos efectos se compensen (primer punto). A partir de aquí y hasta el siguiente punto $\dfrac{d t}{d \tau}>=1$. En ese punto ambas flechas de tiempo apuntarán a la misma dirección. La bala seguiría ganando altura hasta llegar al punto álgido en el que la bala momentáneamente se detiene. En este punto el tiempo de la bala fluye a la mayor velocidad posible porque está a su máxima altura y además está momentáneamente en reposo. En este lugar su flecha de tiempo "apunta más alto" (fluye a la mayor velocidad posible). A partir de aquí vuelve a perder altura y a ganar velocidad a la vez que empieza a perder altura. La dirección de la flecha de tiempo de la bala empezara a perder inclinación pasando por el punto en que ambos efectos (el debido a la gravedad -de aceleración del tiempo- y el "frenado del tiempo" debido a las transformaciones de Lorentz) se anulan (Segundo punto de la grafica). A partir de aquí y hasta el final, nuevamente ocurrirá que $\dfrac{d t}{d\tau}<1$, para llegar finalmente al punto de llegada.

Imaginé en ese momento que si mi intervalo de tiempo el la línea recta que separan el origen y el final y que si desde mi sistema de referencia el intervalo de tiempo de la bala es la curva zigzagueante. Desde mi sistema de referencia el tiempo de la bala debe ser mayor que el mío. Es la única representación gráfica que se me ha ocurrido de $\dfrac{d t}{d\tau}$, pero no estoy seguro de que sea una gran idea.

La representación que se me ocurre para $\dfrac{d^2 t}{d\tau ^2}$, es la siguiente;

pero no parece que coincida muy bien con la ecuación $\dfrac{d^2 t}{d\tau^2}+\dfrac{2GM}{r(rc^2-2GM)}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)=0$ ya que esta ecuación requiere un valor creciente que sea negativo al principio, cero en el punto álgido y máximo positivo al final. De menara que me veo perdido.


Saludos.

[Richard R Richard]

Entiendo que para un observador en la tierra, la velocidad $v=dt/d\tau$ es máxima en el momento del lanzamiento cero en el momento álgido y máxima negativa en el instante de la caída, y la aceleración $a=d^2t/d\tau^2=-9.81$. Si estamos suficientemente cerca del límite clásico ambas funciones serían rectas, la velocidad descendiente con una pendiente
de valor -9.81 y la aceleración sería otra recta, esta horizontal en el valor y=-9.81

Ojo Iñaki la velocidad del móvil medida por el observador en tierra es $v=\dfrac{dr}{d\tau}$ y no $\cancel{v=\dfrac{dt}{d\tau}}$ esta última es la tasa conque varían los tiempos medidos por los dos observadores y tampoco es $\cancel{a=d^2t/d\tau^2=-9.81}$ ese es el ratio con que se aceleran los relojes entre si, la aceleracion es $a=d^2r/d\tau^2$ sobre la superficie terrestre.


veamos en el caso 1) los dos observadores estan inmoviles a la misma altura radial por lo que no hay dilatación temporal por efecto de velocidad ni gravitacional ,
$v=dr/d\tau=0$ no hay velocidad relativa entre observadores
$a=d^2r/d\tau^2= 0$, los observadores no cambian de coordenada radial y la diferencia de aceleraciones entre los observadores es nula
$r=R_T=6371000m$, es la posición radial estática y constante
$dt/d\tau=1$ esto significa que las tasas de paso del tiempo de los dos observadores son iguales, cada tictac de ambos tarda lo mismo y su cociente es 1. esto no se modifica mientras no cambian de posición radial o se muevan con velocidad relativa un respecto del otro.
$d^2t/d\tau^2=0$ mientras no se muevan los dos relojes mantienen constante su medición temporal, luego ninguno acelera respecto el otro es decir la aceleracion de tiempos es nula.

2) ahora lo que cambia es que se le da una velocidad inicial $v$ al observador viajero, suponemos que eso es instantáneo , así que tiene esa velocidad a la misma altura radial que el otro observador.

Entonces
$v_0>v=dr/d\tau>0$ hay velocidad relativa entre observadores, por RE tenemos que $\gamma >1$ hay dilatación temporal por velocidad el observador en tierra registra tiempos mas largo para los mismo eventos registrados por el observador móvil.
$a=d^2r/d\tau^2= g_0$, los observadores cambian de coordenada radial y la diferencia de aceleraciones entre los observadores no es nula, y será la de la gravedad para el observador móvil
$r=R_T=6371000m$, es la posición radial hemos supuesto por condición del punto 2 que es la misma coordenada radial.
$dt/d\tau=1/\gamma$ esto significa que las tasas de paso del tiempo de los dos observadores no son iguales
$d^2t/d\tau^2=???$ ahora puedes a la luz de los datos evaluar que pasa con la aceleracion de los tiempos.

3) ahora la velocidad del móvil se ha reducido a causa de la gravedad el factor gamma será menor habrá menos ralentización, y por otro lado el movil al estar a mayor altura experimentará un adelanto en su reloj debido a la dilatación temporal gravitacional.

Entonces
$v_0>v=dr/d\tau>0$ hay velocidad relativa entre observadores, por RE tenemos que $\gamma >1$ hay dilatación temporal por velocidad el observador en tierra registra tiempos mas largo para los mismo eventos registrados por el observador móvil.
$g_0>a=d^2r/d\tau^2= g(r)\cong\dfrac{GM}{r^2}$, los observadores cambian de coordenada radial y la diferencia de aceleraciones entre los observadores no es nula, y será la de la gravedad para el observador móvil
$R_T=6371000m<r$, la posición radial ha aumentado por condición del punto 3 .
$dt/d\tau=$ es la suma de los efectos de ralentización por velocidad relativa y de adelanto por alejarse de la masa gravitatoria.(Esto depende de M y de la velocidad inicial que no puede superar la de escape si es que esperas que vuelva a caer) así que puede ser positivo o negativo y nula en algún punto del espacio tiempo.
$d^2t/d\tau^2=???$ ahora puedes volver evaluar que pasa con la aceleracion de los tiempos.

4) el móvil alcanza la altura máxima y no desarrolla velocidad relativa on el observador en tierra pero están a diferentes alturas.

Entonces
$v=dr/d\tau=0$no hay velocidad relativa entre observadores, por RE tenemos que $\gamma =1$ no hay dilatación temporal por velocidad relativa.
$g_0>a=d^2r/d\tau^2= g(r)\cong\dfrac{GM}{r^2}$, los observadores tienen diferente coordenada radial y la diferencia de aceleraciones entre los observadores no es nula, y será la de la gravedad para el observador móvil.
$R_T=6371000m<r_{max}$, es la posición radial máxima que hemos supuesto por condición del punto 4
TEX]dt/d\tau=\dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}}[/TEX] esto significa que las tasas de paso del tiempo de los dos observadores no son iguales, y obedecen a la dilatación gravitacional del tiempo.
$d^2t/d\tau^2=???$


5) tiene conclusiones similares a 3 la inversión de la velocidad relativa no hace que cambio el efecto de dilatación temporal por velocidad.

6) tiene las misma conclusiones que 2.

En resumidas cuentas , si pones algo en movimiento su reloj retrasa respecto de uno estático, pero si lo lanzas a favor del incremento de la coordenada radial, se sumara un adelantamiento por la disminución de la curvatura espacio temporal, que según el caso , (funcion de la masa gravitatoria, de la posición radial inicial, y la velocidad inicial) puede que en algún punto domine el adelantamiento por sobre la ralentización, ... Eso se logra cuanto mas alto vuele el objeto , es decir cuanto mas cerca de su velocidad de escape, pues estará mas lejos del planeta mas tiempo el mayor delta de velocidad es ganado o perdido las cercanías del planeta y no alejado por lo que la ralentización por velocidad influye solo en las inmediaciones del planeta.

Entonces en una rueda o vuelta al mundo ... prima el retraso. Para un misil balístico todavía prima el retraso, pero para satélites que se alejan de la tierra mucho tiempo, a mayor altura adelantan sus relojes, eso les pasa a los satélites GPS, retrasan por velocidad de orbita y adelantan por altura, es igualmente requieren de compensación con los estáticos de la tierra.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

Ojo Iñaki la velocidad del móvil medida por el observador en tierra es $v=\dfrac{dr}{d\tau}$ y no $\cancel{v=\dfrac{dt}{d\tau}}$ esta última es la tasa conque varían los tiempos medidos por los dos observadores y tampoco es $\cancel{a=d^2t/d\tau^2=-9.81}$ ese es el ratio con que se aceleran los relojes entre si, la aceleracion es $a=d^2r/d\tau^2$ sobre la superficie terrestre.

Totalmente de acuerdo, fue un error de copia pega que luego no fui capaz de ver al releer las ecuaciones antes de enviar.

En lo relativo al caso primero, totalmente de acuerdo.
En lo relativo al caso 2

2) ahora lo que cambia es que se le da una velocidad inicial $v$ al observador viajero, suponemos que eso es instantáneo , así que tiene esa velocidad a la misma altura radial que el otro observador.

Entonces
$d^2t/d\tau^2=???$ ahora puedes a la luz de los datos evaluar que pasa con la aceleracion de los tiempos.

Desde mi sistema de referencia la bala se mueve a la velocidad $v=r\tau$, por lo que $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r\tau}{c^2}}}$.

Esto me da como resultado $\dfrac{d t}{d\tau}=\dfrac{r^2 \tau}{c^2 \left (1-\dfrac{r^2 \tau}{c }\right)^{3/2}}$

¿Es esto correcto?

Entonces en una rueda o vuelta al mundo ... prima el retraso. Para un misil balístico todavía prima el retraso, pero para satélites que se alejan de la tierra mucho tiempo, a mayor altura adelantan sus relojes, eso les pasa a los satélites GPS, retrasan por velocidad de orbita y adelantan por altura, es igualmente requieren de compensación con los estáticos de la tierra.

Yo siempre había pensado que en todo caso la respuesta sería que el tiempo en el sistema de referencia de la bala sería mayor independientemente de a que velocidad lanzáramos la bala. Pero parece que aquí también estoy equivocado.

Saludos.