2o ciclo El horizonte de partículas

[Jaime Rudas]

En el, a mi modo de ver, estupendo libro Introducción a la cosmología de Barbara Ryden, con respecto al horizonte de partículas, en la página 93 dice:

En un universo descrito por la métrica de Robertson-Walker, la distancia del horizonte actual es

$\displaystyle d_{hor}(t_0)=c \int^{t_0}_0 \frac {dt}{a(t)}$

Y en la página 120 presenta el siguiente cálculo del horizonte de partículas:

$\displaystyle d_{hor}(t_0)=3.24c/H_0=3.12ct_0=14,000 Mpc$

Me parece que tanto la fórmula como el cálculo son correctos, sin embargo, en la página 20, dice lo siguiente:

El tiempo de Hubble de ∼ 14 mil millones de años es comparable a las edades calculadas para las estrellas más antiguas conocidas en el universo. Esta equivalencia aproximada es tranquilizadora. Sin embargo, la edad del universo –es decir, el tiempo transcurrido desde su estado original altamente denso– no es necesariamente exactamente igual al tiempo de Hubble.
[...]
Así como el tiempo de Hubble proporciona una escala de tiempo natural para nuestro universo, la distancia de Hubble, c/Ho = 4300 ± 400 Mpc, proporciona una escala de distancia natural. Así como la edad del universo es aproximadamente igual a $H_0^{-1}$ en la mayoría de los modelos del Big Bang, con el valor exacto dependiendo de la historia de expansión del universo, la distancia al horizonte (la mayor distancia que un fotón puede viajar durante la edad del universo) es aproximadamente igual a c/Ho, con el valor exacto, nuevamente, dependiendo de la historia de expansión. (Los capítulos posteriores tratarán sobre cómo calcular los valores exactos de la edad y el tamaño del horizonte de nuestro universo.)

¿Estoy entendiendo mal o aquí hay una errata quizás motivada por la coincidencia de cifras entre los 14.000 Mpc del horizonte de partículas y los 14.000 millones de años luz de la distancia de Hubble?

Y ya puestos, ¿cómo se realiza el cálculo del horizonte de partículas a partir de observables?

[Alriga]

...En [...] Introducción a la cosmología de Barbara Ryden ...

La frase de la página 20 de los apuntes docentes de Barbara Ryden: "...the horizon distance (the greatest distance a photon can travel during the age of the universe) is roughly equal to c/H0..." es un error. La distancia de Hubble no es ningún horizonte cosmológico. Numéricamente es simplemente el producto del tiempo de vida del universo por la velocidad de la luz, por lo tanto, es la hipotética distancia que habría tenido tiempo de recorrer un fotón durante el tiempo de vida de un hipotético universo estático.

Físicamente, la distancia de Hubble es la distancia a nosotros a la que se encuentran los objetos del universo cuya velocidad de recesión es la velocidad de la luz.

Esos apuntes docentes iniciales de la Ohio State University de Barbara Ryden acabaron en forma de libro: Introduction to Cosmology (Cambridge University Press) En la página 17 de la última edición del libro, se puede ver el texto reformado de los apuntes en donde el error ha sido corregido: en el libro, la calificación de la Distancia de Hubble como "horizonte" ha desaparecido.

Aunque la frase que dice a continuación continúa siendo muy discutible, dice: "...Even if a star began shining very early in the story of the universo, the first light of that star can only have traveled de distance $d \sim ct_0 \sim c/H_0$ with the precise travel distance depending on the expansión history of the universe..."

Desde luego es correcto que esa distancia recorrida por la luz de esa estrella depende de la "historia de expansión del universo" En nuestro universo $\Lambda CDM$ concordante esa distancia recorrida (horizonte de partículas) es $d \sim h_p \sim 3.2 (c/H_0)$

Y "3.2" es, en mi opinión, bastante diferente de "1"

...¿cómo se realiza el cálculo del horizonte de partículas a partir de observables?...

$\displaystyle h_p=\dfrac c{H_0} \ \int_0^1 \dfrac{da}{\sqrt{\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} a + \Omega_{K_0} a^2 + \Omega_{\Lambda_0} a^4}}$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Aunque la frase que dice a continuación continúa siendo muy discutible, dice: "...Even if a star began shining very early in the story of the universo, the first light of that star can only have traveled de distance $d \sim ct_0 \sim c/H_0$ with the precise travel distance depending on the expansión history of the universe..."

Desde luego es correcto que esa distancia recorrida por la luz de esa estrella depende de la "historia de expansión del universo" En nuestro universo $\Lambda CDM$ concordante esa distancia recorrida (horizonte de partículas) es $d \sim h_p \sim 3.2 (c/H_0)$

Y "3.2" es, en mi opinión, bastante diferente de "1"

Bueno, pero, me parece, hay otra interpretación que, quizás, hace más digerible la frase: se podría argumentar que una cosa es cuanto camino recorre la luz y, otra, a qué distancia se encuentra la fuente una vez se ha recorrido ese camino. En es sentido sería correcto decir que la luz recorre exactamente $ct_0$, pero, en ese caso, sobraría decir que depende de la «historia de la expansión del universo».

[Jaime Rudas]

$\displaystyle h_p=\dfrac c{H_0} \ \int_0^1 \dfrac{da}{\sqrt{\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} a + \Omega_{K_0} a^2 + \Omega_{\Lambda_0} a^4}}$

Para calcular esto, trato de usar el método Simpson, pero el primer término me resulta indeterminado (1/0) y si trato de hacerlo cada vez más pequeño, el resultado de la integral me tiende a infinito.

[Richard R Richard]

Para calcular esto, trato de usar el método Simpson, pero el primer término me resulta indeterminado (1/0) y si trato de hacerlo cada vez más pequeño, el resultado de la integral me tiende a infinito.

Hola Jaime Rudas , si $\Omega_{R_o}$ es distinto de cero ningún denominador te quedará en cero. Revisa los parentesis, solo lo digo por la experiencia de equivocarme 100 veces antes de que algo me funcione.

[Richard R Richard]

También revisa la precisión quizá la diferencia de dos números muy parecidos este por debajo de la precisión y devuelva cero en vez de un número mayor a cero pero menor a la precisión.

[Jaime Rudas]

Por fin lo logré. ¡Muchas gracias a los dos!

[Alriga]

...Para calcular esto, trato de usar el método Simpson, pero el primer término me resulta indeterminado (1/0) ...

Haz lo que te dice Richard:

...si $\Omega_{R_o}$ es distinto de cero ningún denominador te quedará en cero...

Usa:

$\Omega_{R_0}=0.0000918$

$\Omega_{M_0}=0.3110082$

$\Omega_{K_0}=0$

$\Omega_{\Lambda_0}=0.6889$

$H_0=67.66$ km/s/Mpc

Deberás obtener $h_p=46189$ Mly

Saludos.