Relación de tiempos a diferentes alturas en Relatividad General

[inakigarber]

Buenas noches;

Con la intención de crear una hoja de cálculo que me permita resolver un problema que expuse en un anterior hilo, necesito poder calcular cual es la relación entre el tiempo de un objeto estático situado sobre la superficie de la tierra $r$ o otro objeto también estático situado a una altura $r+h$. Los valores de $\theta$ y $\varphi$ son constantes e iguales en ambos casos. Dado que ambos objetos se encuentran en posiciones radiales también fijas (aunque de diferente valor), también podremos considerar que en ambos casos la derivada $dr$ es contante. La relatividad nos dice que dado que el segundo objeto está a una altura h, la relación $t_h/t_0 > 1$.
El planteamiento que sigo es el siguiente;
El intervalo relativista nos quedaría reducido a $(c d\tau)=\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)(ct_o)^2$ para el objeto $r$ situado en la superficie de la tierra y a $(c d\tau)=\left(1-\dfrac{r_s}{r+h}\right)(ct_h)^2$ para el objeto situado a altura h. Despejando me queda;
$t_h=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{r_s}{r}}{1-\dfrac{r_s}{r+h}}}t_o$, pero este resultado no me resulta muy satisfactorio.

¿Cómo lo veis?

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, pasate por https://es.wikipedia.org/wiki/Dilata...nal_del_tiempo


alli veras

$$T_d = T_0 \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}} = T_0 \sqrt{1 - \frac{r_0}{r}}$$

allí $T_0$ es el tiempo propio que mide un observador lejano para su propio reloj, su tictac este observador se encuentra a una distancia radial tan grade que el efecto de la curvatura a esa distancia es despreciable, pero $T_d$ es el tiempo que registrara ese reloj cuando se acerque a la masa M y quede a la altura radial $r$

si quieres sacara un ratio entre tiempos a distintas alturas $r_1$ y $r_2$

$T_{d1}=T_0 \sqrt{1 - \frac{2GM}{r_1c^2}} = T_0 \sqrt{1 - \frac{r_0}{r_1}}<br />$
$T_{d2}=T_0 \sqrt{1 - \frac{2GM}{r_2c^2}} = T_0 \sqrt{1 - \frac{r_0}{r_2}}$

$\dfrac{T_{d1}}{T_{d2}}=\dfrac{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r_1c^2}}}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r_2c^2}}}=$$\dfrac{\sqrt{1 - \frac{r_0}{r_1}}}{\sqrt{1 - \frac{r_0}{r_2}}}$

de donde

$T_{d1}=T_{d2}\dfrac{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r_1c^2}}}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r_2c^2}}}=T_{d2}\dfrac{\sqrt{1 - \frac{r_0}{r_1}}}{\sqrt{1 - \frac{r_0}{r_2}}}=$

$T_{d1}=T_{d2}\sqrt{\dfrac{1 - \frac{r_0}{r_1}}{1 - \frac{r_0}{r_2}}}=$

si haces $r_1<r_2=r_1+h$ y operas veras que $T_{d1}<T_{d2}$ el tiempo pasa mas rápido a mayor altura, solo son iguales cuando $h=0$ es decir estan a igualdad de alturas, con $h$ tendiendo a infinito veras que obtienes la ecuación 1

El planteamiento que sigo es el siguiente;
El intervalo relativista nos quedaría reducido a $(c d\tau)=\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)(ct_o)^2$ para el objeto $r$ situado en la superficie de la tierra y a $(c d\tau)=\left(1-\dfrac{r_s}{r+h}\right)(ct_h)^2$ para el objeto situado a altura h. Despejando me queda;
$t_h=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{r_s}{r}}{1-\dfrac{r_s}{r+h}}}t_o$, pero este resultado no me resulta muy satisfactorio.

¿Cómo lo veis?

Saludos.

Ya ves las conclusiones obtenidas con fórmulas parecidas $r_s=r_0$ es un cambio de notación para el radio de Schwarzchild, así que sí , tu fórmula predice lo que sucede correctamente.

Saludos

[inakigarber]

Buenas noches;

Muchas gracias por tu explicación. Creo que la hoja de cálculo (Excel 2021) que estoy utilizando no tiene decimales suficientes para calcular con la precisión que quisiera. Sí además quisiera poner al objeto que está a la altura h en movimiento, entonces, además de tener en cuenta la gravedad debería considerar la dilatación del tiempo. Por lo que me quedaría lo siguiente:
$t_{hv}=\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{r_s}{r}}{1-\dfrac{r_s}{r+h}}}t_o$

Hasta que me metí a hacer la pagina Excel, había pensado que se trataba de restar tiempos, es decir, de restar al adelanto debido a la gravedad el atraso debido a la contracción de Lorentz, ahora veo claro que se trata de multiplicar factores, uno de los cuales es mayor que 1, la relación entre el tiempo de un objeto a una altura determinada $h+r$ y otro a la altura [TEXh[/TEX] por otro menor que 1 (la contracción de Lorentz). De manera que la condición en que ambos efectos se anularían sería aquella en que el producto de ambos fuera 1 y no aquella en que la resta de ambos fuera 0 como pensaba inicialmente.

Saludos.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

Muchas gracias por tu explicación. Creo que la hoja de cálculo (Excel 2021) que estoy utilizando no tiene decimales suficientes para calcular con la precisión que quisiera. Sí además quisiera poner al objeto que está a la altura h en movimiento, entonces, además de tener en cuenta la gravedad debería considerar la dilatación del tiempo. Por lo que me quedaría lo siguiente:
$t_{hv}=\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{r_s}{r}}{1-\dfrac{r_s}{r+h}}}t_o$

Hasta que me metí a hacer la pagina Excel, había pensado que se trataba de restar tiempos, es decir, de restar al adelanto debido a la gravedad el atraso debido a la contracción de Lorentz, ahora veo claro que se trata de multiplicar factores, uno de los cuales es mayor que 1, la relación entre el tiempo de un objeto a una altura determinada $h+r$ y otro a la altura [TEXh[/TEX] por otro menor que 1 (la contracción de Lorentz). De manera que la condición en que ambos efectos se anularían sería aquella en que el producto de ambos fuera 1 y no aquella en que la resta de ambos fuera 0 como pensaba inicialmente.

Saludos.

Ok, entiendo a donde quieres llegar, pero ten en cuenta algo que tu mismo has introducido en el problema, y es la formula que indicas sería correcta si el objeto orbitara a velocidad $v$ y altura $h$ constante al planeta, pero como tu dices que lo lanzas y queda en caída libre, ni la velocidad v ni la altura son constantes y por ello tu fórmula ya no sirve.

Es por eso que te indicaba que se usa es el calculo diferencial, para la resolución de integrales por algoritmos, donde se refina todo ese cálculo tanto para h variable como para v variable. Y como te daras cuenta no es una ecuación donde puedes despejar algo tan sencillamente.