Geodésicas en cuerda cósmica

[David Anaya]

Buenas, me gustaría preguntaros si alguien sabría cómo abordar el problema siguiente, ya que lo tuve en un examen y el profesor se negó a dejarme ver las respuestas en condiciones.

Tenemos la métrica de una cuerda cósmica, que si no recuerdo mal es así:
$dS^2 = cdt^2-d\rho^2-\rho^2((1-4G\mu)\sin^2\theta d\phi^2+d\theta^2))$

Y se nos pide que demostremos que un fotón que llega desde el infinito se refleja con un "non-vanishing angle", es decir, con un ángulo distinto de 0. Se supone que tan sólo con las geodésicas se puede sacar, pero la verdad, no se por dónde coger este problema, más alla de si eso ver donde se cancela la derivada del radio con respecto al tiempo para ver en que punto se refleja. Agradecería mucho toda ayuda

[Weip]

Hola David,

Vaya por delante que no sé nada de cuerdas cósmicas así que si das esa métrica, me la creo. Dicho esto, entiendo que el procedimiento a seguir sería como el de cuando calculamos la desviación de la luz por el campo gravitatorio del Sol en relatividad general. En vez de la métrica de Schwarzschild, utiliza la métrica de la cuerda cósmica que te dan. Deberías derivar las ecuaciones de las geodésicas, tendrías una ecuación en $\rho$ (quizás es más común llamarla $r$), se hace el cambio de variable $u=1/\rho$ para obtener una ecuación de la trayectoria, integras la ecuación y obtendrás una solución que describirá esta desviación de la luz con un parámetro de impacto y tal. ¿Sabes el enunciado exacto? Ayudaría un poco para saber si te piden esto exactamente o no.

[David Anaya]

Hola David,

Vaya por delante que no sé nada de cuerdas cósmicas así que si das esa métrica, me la creo. Dicho esto, entiendo que el procedimiento a seguir sería como el de cuando calculamos la desviación de la luz por el campo gravitatorio del Sol en relatividad general. En vez de la métrica de Schwarzschild, utiliza la métrica de la cuerda cósmica que te dan. Deberías derivar las ecuaciones de las geodésicas, tendrías una ecuación en $\rho$ (quizás es más común llamarla $r$), se hace el cambio de variable $u=1/\rho$ para obtener una ecuación de la trayectoria, integras la ecuación y obtendrás una solución que describirá esta desviación de la luz con un parámetro de impacto y tal. ¿Sabes el enunciado exacto? Ayudaría un poco para saber si te piden esto exactamente o no.

Antes de nada, gracias por la ayuda. Yo tampoco sé nada de cuerdas cósmicas, nos pusieron esa métrica en el examen como nos podrían haber puesto otra más. El enunciado exacto los desconozco porque los profesores también se negaron a dárnoslo xd, sólo recuerdo que era esa métrica y que tenías que demostrar que se reflejaba con un "non vanishing angle".

Si no entiendo mal lo que me quieres decir es que tengo que derivar una ecuación de las órbitas en u a partir de la métrica y luego resolver la EDO de segundo orden a partir de eso. La verdad, es una buena forma de plantearlo, lo que pasa es que la solución debe ser de otra forma porque haciéndolo así se tardaría mucho más tiempo del que se nos daba (teníamos una hora y media para 7 ejercicios como este). De todas formas lo intetaré más tarde de esta forma.

Lo que había considerado yo es a partir de las geodésicas sacar la derivada $\dfrac{d\phi}{d\rho}$ e integrarla de infinito a $\rho_0$, siendo este el radio más cercano por el que pasa el fotón, y luego de nuevo a infinito con el signo cambiado. Lo que pasa es que queda una integral demoníaca.