¿Como se comportaría un vector que transportáramos a través de un paralelo?

[inakigarber]

Buenas noches;

Llevo un tiempo planteándome esta pregunta. Si este vector lo traslado a través del paralelo 0 y doy una vuelta completa al volver al punto de partida el vector apuntará a la misma dirección porque lo he ido transportándolo a través de una geodésica. Pero si el transporte de vuelta completa lo hago a través del trópico de cáncer (por ejemplo), ya no estoy siguiendo una geodésica ¿apuntaría en la misma dirección al voltear el trópico? Si no he entendido mal el concepto de transporte paralelo, debería apuntar en una dirección distinta, pero no consigo visualizarlo. En ambos casos el vector se mueve a lo largo del paralelo.

¿Cómo lo veis?

Saludos.

[Lorentz]

Hola Iñaki,
Si no recuerdo mal, siempre que estés trasladando un vector de manera paralela sobre una superficie no plana (es decir el área encerrada tiene curvatura) eres susceptible de acabar con una rotación (anholonomía) al completar el ciclo. Tienes razón en que en el Ecuador al ser una geodésica no hay rotación, y aunque no estoy 100% seguro, creo que es porque no puedes definir bien el área encerrada, estás separando dos hemisferios con orientaciones opuestas. Sin embargo, cuando lo haces sobre el trópico de cáncer, sí que tienes un área con orientación definida y la rotación debería ser igual al ángulo sólido que barre todos los valores de longitud para el valor de latitud que uses $2\pi \left(1-cos \theta\right)$.
Un saludo

[Richard R Richard]

Para complementar, lo que he entendido sobre transporte paralelo es lo siguiente, tomas el vector que quieres transportar, y calculas los ángulos de inclinación sobre el plano tangente a la superficie en ese punto, luego si sigues cualquier curva sobre la superficie , en el nuevo punto de análisis el vector debe tener los mismos ángulos respecto del nuevo plano tangente, la consecuencia es que sobre toda superficie con curvatura no nula, cuando haces una trayectoria cerrada, la desviación del vector es proporcional a la superficie encerrada respecto de la superficie total.

Por ejemplo si te para en el cruce del ecuador y el meridiano de Greenwich y colocas allí un vector paralelo a la superficie apuntando al Norte, y luego lo mueves hacia el Norte como indica su flecha, llegaras al polo norte, allí puedes decidir volver al ecuador pero ahora lo haces tomando la ruta hacia el oeste (o izquierda), ahora el vector no apunta como la trayectoria sino que es perpendicular, cuando llegas al ecuador, notarás que la flecha ahora es paralela al ecuador, y que puedes volver al punto inicial viajando en el sentido contrario a la flecha.
Pero que pasa ahora que has regresado, verás que el vector ahora apunta al oeste y no al norte como cuando salió. ¿Cuanto se desvió ?$\pi/2$ No?

Bueno observa que la superficie total de la esfera unitaria es de $4\pi$ y que todo el viaje encerró $1/4$ del hemisferio norte o lo que es lo mismo $1/8$ de la superficie total y al octava parte de 4 Pi es ... Si exactamente $\pi/2$ ...

Y si haces una trayectoria circular sobre cualquier geodésica,(no tiene que ser el ecuador ni un meridiano) habrás envuelto la mitad de la superficie, lo que da un ángulo de $4\pi/2=2\pi\equiv360\°$ por lo que no notaras desviación del vector al volver a pasar por el mismo punto.

Bueno Esto sirve para que se puedan comparar vectores en distintos espacios curvados, ten en cuenta que aquí en este ejemplo la curvatura es constante ,eso hace que la magnitud del vector durante su transporte no varíe, tiene la misma longitud durante toda la trayectoria, pero en un ET de Schwarzchild no todas las trayectorias mantendrán la longitud de los vectores , Esto por poner un ejemplo.

[inakigarber]

Buenas noches;

Muchas gracias por vuestros comentarios.

El tema me tiene un tanto atascado. Saco la conclusión de que siempre que hago desplazar a un vector en una trayectoria no geodésica esté irá desviándose de dicha trayectoria. Yo lo veo de la siguiente manera. Imaginemos por ejemplo un espacio plano de dos dimensiones.


En el caso superior la línea recta es una geodésica y al transportar el vector rojo mantiene el ángulo. En el caso inferior estoy transportando dicho vector sobre una línea no geodésica y los ángulos inicial y final no son iguales. Si transporto el vector sobre un paralelo (excepto el ecuador), cuanto más espacio transporto el vector mas ángulo se irá desviando el vector.

¿Es asi?

Saludos.

[Richard R Richard]

La imagen no se vé, vuelve a colocarla. Cómo adjuntar imágenes en la nueva versión vB5 del foro

En el caso superior la línea recta es una geodésica y al transportar el vector rojo mantiene el ángulo. En el caso inferior estoy transportando dicho vector sobre una línea no geodésica y los ángulos inicial y final no son iguales. Si transporto el vector sobre un paralelo (excepto el ecuador), cuanto más espacio transporto el vector mas ángulo se irá desviando el vector.

¿Es asi?

Cuando transportas paralelo, en le punto de salida imagina un plano que es tangente a la superficie, calcula todos los ángulos de tu vector respecto al plano
Cuando llegas a cualquier otro punto vuelve a imaginar el plano tangente y tu vector tiene que conserva todos los ángulos respecto del plano.
Como ambos planos pueden no resultar ser paralelos, el ángulo del vector va variando respscto del original.
Cuando haces una trayectoria cerrada, la desviación es proporcional a esa área encerrada.

[inakigarber]

He anexado la imagen que por error se me quedo fuera.

[inakigarber]

Buenas noches;

No sé si lo que voy a decir es muy sensato o es consecuencia de que se me está secando la cabeza por el calor.
Supongamos esta imagen que he sacado de la Wikipedia y a la que le he hecho una conveniente modificación.

Supongamos que el trazo gris representa un fragmento de un paralelo distinto del ecuador, es decir una trayectoria no geodésica. Esta trayectoria AC podría considerarse como la suma de dos trayectorias geodésicas AB y BC cuando el vector empieza la trayectoria ABC en el punto A podemos imaginar que en el plano tangente a ese punto en la circunferencia el vector apunta hacia el este en tanto que en el punto C (después de haber pasado por B) este vector parece apuntar hacia el noreste, de manera que parece haber rotado. Por otra parte, si parto de un vector que en A apunta hacia el este (por seguir con el ejemplo) si sigo la trayectoria ANC me encontraré cuando llegue a C con un vector con una orientación distinta que si sigo la ruta ABC. Creo que sigo dando palos de ciego.

Saludos.

[Richard R Richard]

Creo que geodésica o no geodésica, el área encerrada es proporcional al ángulo de desvío del vector.
En tu ejemplo en el espacio euclídeo, la curvatura es nula la superficie del espacio es infinita, y cualquier geodésica o no, no desvía nunca el vector, encierre o no area.

Y el ejemplo que pones de la wikipedia es similar al que te relaté en el mensaje #3.

[inakigarber]

Buenas noches;

Creo que el comentario que puse en el post #3 esta equivocado al menos en parte, ya que podría imaginarme un número infinito de trayectorias que nos lleven de A a C pasando por un punto intermedio en el que las trayectorias desde A a dicho punto intermedio y desde este a C fueran geodésicas que encerrarían áreas diferentes y presentarían por lo tanto grados de desviación diferentes. Creo que he encontrado una forma mas gráfica de verlo en el siguiente enlace de yutube https://youtu.be/jNQCOknMZKg y que seguramente expresa lo mismo que se me ha explicado en post anteriores y no acababa de quedarme claro.

Saludos.