Sobre deducción de la equivalencia masa-energía.

[inakigarber]

Buenas noches;

Estoy tratando de recordar forma de como deducir la equivalencia masa energía, cosa que antes sabia hacer pero que he olvidado. Se que había en alguna parte de este foro información sobre como hacerlo, pero no consigo encontrarla. La forma como estoy intentando hacerlo es integrando el momento lineal con respecto a la velocidad $p=\dfrac{mv}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}$, creo recordar que podía integrarse bien por integración por partes o bien como una integral trigonométrica, pero no lo consigo. La memoria me esta jugando una mala pasada.

¿Donde podría conseguir esa información?

Saludos.

[sater]

No sé en el foro dónde parará la demostración, pero te dejo enlace a una página donde está: https://fisicatabu.com/limitaciones-...isica-clasica/

Es a partir del apartado llamado "fuerza relativista". Verás que la idea es obtener la expresión relativista de la energía cinética (usando que coincide con el trabajo necesario para llevar una masa desde el reposo hasta cierta velocidad) y darse cuenta de que parece que se le está restando un término que tendría que ver con la energía que las partículas tienen incluso en reposo, que es el término $mc^2$.

Un saludo.

[inakigarber]

Muchas gracias;
Me ha sido muy útil, de todos modos, sigo intrigado en como puede llegarse a este mismo resultado a partir de la integración del momento lineal. Antes sabía hacerlo, pero por tiempo sin practicarlo lo he perdido y quiero recuperarlo.

[sater]

Buenas de nuevo. He estado probando, e imagino a que te refieres hacer la integral del trabajo pero cambiando la variable de integración al momento lineal (he comprobado que también sale bien). Sería algo tal que así:
$W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}=\int \frac{d\vec{p}}{dt}\cdot d\vec{r}=\int \vec{v} \cdot d\vec{p}=\int v dp$

Ahora, como $p=\gamma m v \to v=\frac{cp}{\sqrt{c^2 m^2 +p^2}}$. Realizas la integral entre 0 y p y obtendrás que $W=c\sqrt{c^2 m^2 +p^2 }-mc^2$. Si usas de nuevo la definición de momento relativista, verás que esta expresión acaba siendo la típica $(\gamma-1)mc^2$

[sater]

Repasando esto, el último paso de la integral ($\int \vec{v} \cdot d\vec{p}=\int v dp$) no está bien justificado ya que ambos vectores no tienen por qué ser paralelos. Aún así, es correcto ya que $\vec{v} \cdot d\vec{p}=\frac{\vec{p}}{\gamma m} d\vec{p}=\frac{1}{2\gamma m} d(p^2 )$. Ahora basta escribir el factor de Lorentz en función del momento (que queda $\gamma=\sqrt{1+p^2 /m^2 c^2 }$), sustituir, realizar la integral y sale lo mismo que he comentado en el otro mensaje.

Un saludo.