Consulta sobre cálculo de valores del tensor de Ricci en la métrica de Schwarschild

[inakigarber]

Buenas noches;
Estoy intentando calcular los valores del tensor de Ricci, como no he aprendido a hacerlo manualmente (cosa que me gustaría saber hacerlo), he recurrido la esta página webb que se me recomendó en otro hilo (Christoffel Symbols Calculator), donde he introducido el tensor de Schwarschild para que me haga el cálculo. El valor que me da es el siguiente;

$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 - \frac{\frac{d^{2}}{d \theta^{2}} {sen}{\left(\theta \right)}}{{sen}{\left(\theta \right)}} & 0\\0 & 0 & 0 & - \left({sen}{\left(\theta \right)} + \frac{d^{2}}{d \theta^{2}} {sen}{\left(\theta \right)}\right) {sen}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$

Me resulta sospechoso dicho valor porque cuando simplifico los únicos valores no nulos que me salen en la tabla $R_{33}$ y TEX] R_{44}[/TEX], resulta que también se me anulan, por lo que me resulta que todos los valores son nulos. Esta es mi duda, ya que tratándose de un espacio-tiempo curvo (el de Schwarschild lo es), al menos uno de ellos debería ser no nulo. Al menos eso es lo que entiendo yo, si no estoy equivocado.

Aprovechando, me gustaría saber como puedo hacer para aprender a hacerlo manualmente.

Saludos.

[Richard R Richard]

Es correcto debe ser cero en todas sus componentes.
Esto se debe a que la métrica de Schwarzschild es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío. Por definición, una solución de vacío implica que el tensor de energía-momento $T_{\mu \nu }$ es nulo, lo que conlleva a que el tensor de Ricci desaparezca.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu respuesta.

Es correcto debe ser cero en todas sus componentes.
Esto se debe a que la métrica de Schwarzschild es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío. Por definición, una solución de vacío implica que el tensor de energía-momento $T_{\mu \nu }$ es nulo, lo que conlleva a que el tensor de Ricci desaparezca.

Mi lógica me inducía a pensar que dado que la métrica de Schwarschild al representar a un espaciotiempo con curvatura, los valores de los tensores de curvatura y el tensor energía-momento $T_{\mu \nu }$ deberían ser no nulos. El motivo que me llevaba a pensar de esa manera es que en varios de los componentes del tensor métrico de Schwarschild aparece el término $r_s=\dfrac{2Gm}{c^2}$, lo cual implica la presencia de una masa y por lo tanto de una energía. No entiendo el porque, pero parece que estoy un tanto equivocado.

Saludos