Avanzado ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[carroza]

Hola a todos

Abro este hilo para discutir directamente, y en profundidad, un tema que ha surgido colateralmente en otros hilos.

El punto de partida es que, cuando uno aprende relatividad, lo primero es que la velocidad de la luz es constante, independiente del sistema de referencia, y vale c.

No obstante, este resultado no es (o si) tan general como parece. Si tenemos un campo gravitatorio, y dividimos "el espacio" recorrido por la luz por "el tiempo", tal como lo miden ciertos observadores, el cociente no sale c, sino algo que depende en general del tensor métrico.

La duda que me surge es si esto ocurre porque, genuinamente, la velocidad de la luz es variable en un campo gravitatorio, o porque la definición de "espacio" y de "tiempo", no pueden tomarse de forma tan arbitraria como nos permite la relatividad general (esencialmente, cuatro numeros arbitrarios), sino con alguna restricción relacionada con el tensor métrico.

Para ilustrar esto, voy a poner un ejemplo.

Imaginaros tumbados en una noche estrellada, contemplando la estrella más brillante del firmamento: Sirio.
Ahora os preguntais a qué velocidad se mueve Sirio. Desde vuestra prespectiva, Sirio está a una distancia de 8.6 años luz, y describe una trayectoria circular con velocidad angular de 6.28 radianes por día. Por tanto, la velocidad a la que, para nosotros, se mueve Sirio es de 8.6x6.28x365 veces la velocidad de la luz.

¿Estamos violando la relatividad, por el hecho de estar tumbados mirando el firmamento? ¿Está prohibido en relatividad nuestro sistema de referencia no inercial que gira a 6.28 radianes por día? ¿O es que no vale eso de que velocidad es espacio (medido por un observador) partido por tiempo (medido por ese observador)?

Espero vuestros comentarios

Un saludo

[DDD]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[FONT=Verdana]En mi opinión, la única solución válida a la cuestión que planteas la proporciona la física clásica (de Galileo y Newton), y sería la siguiente:[/FONT]

[FONT=Verdana]La velocidad de Sirio respecto a nosotros es relativa, como la de cualquier otra cosa que se mueva en el espacio, y por ello esa velocidad relativa (o "aparente") puede superar perfectamente el valor c. La velocidad relativa es igual a la distancia recorrida (que también es relativa al sistema de referencia) dividida por el tiempo (que es absoluto).[/FONT]


[FONT=Verdana]Por otra parte, yo creo que hay una incongruencia bastante evidente entre la Relatividad Especial y la Relatividad General, aunque se supone que son dos partes de una misma teoría. Y ya se sabe: "en una teoría física no deben producirse contradicciones lógicas".[/FONT]

[FONT=Verdana]De acuerdo con la R.E., la velocidad de la luz en el vacío es constante para cualquier observador inercial. Se supone que este postulado permite que se cumplan las leyes del electromagnetismo de Maxwell sin necesidad de que exista un medio en reposo absoluto llamado éter (idea decimonónica que tuvo que ser rechazada tras el famoso experimento de Michelson-Morley).[/FONT]

[FONT=Verdana]De acuerdo con la R.G., la velocidad de la luz es constante para un observador inercial "local", pero no lo es para todos los observadores inerciales.[/FONT]

[FONT=Verdana]De ello se deduce que para el observador inercial "no-local" la velocidad de la luz siempre mide c según la R.E. (incluso en un campo gravitatorio como el de la Tierra), pero mide otra cosa según la R.G., y se supone que ambas cosas tienen que ser ciertas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Un saludo.[/FONT]

[pod]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Hola a todos

Abro este hilo para discutir directamente, y en profundidad, un tema que ha surgido colateralmente en otros hilos.

El punto de partida es que, cuando uno aprende relatividad, lo primero es que la velocidad de la luz es constante, independiente del sistema de referencia, y vale c.

No obstante, este resultado no es (o si) tan general como parece. Si tenemos un campo gravitatorio, y dividimos "el espacio" recorrido por la luz por "el tiempo", tal como lo miden ciertos observadores, el cociente no sale c, sino algo que depende en general del tensor métrico.

La duda que me surge es si esto ocurre porque, genuinamente, la velocidad de la luz es variable en un campo gravitatorio, o porque la definición de "espacio" y de "tiempo", no pueden tomarse de forma tan arbitraria como nos permite la relatividad general (esencialmente, cuatro numeros arbitrarios), sino con alguna restricción relacionada con el tensor métrico.

Para ilustrar esto, voy a poner un ejemplo.

Imaginaros tumbados en una noche estrellada, contemplando la estrella más brillante del firmamento: Sirio.
Ahora os preguntais a qué velocidad se mueve Sirio. Desde vuestra prespectiva, Sirio está a una distancia de 8.6 años luz, y describe una trayectoria circular con velocidad angular de 6.28 radianes por día. Por tanto, la velocidad a la que, para nosotros, se mueve Sirio es de 8.6x6.28x365 veces la velocidad de la luz.

¿Estamos violando la relatividad, por el hecho de estar tumbados mirando el firmamento? ¿Está prohibido en relatividad nuestro sistema de referencia no inercial que gira a 6.28 radianes por día? ¿O es que no vale eso de que velocidad es espacio (medido por un observador) partido por tiempo (medido por ese observador)?

Espero vuestros comentarios

Un saludo

Voy a explicar como veo yo este tema en general, sin entrar mucho en tu ejemplo. Si a caso, algún inciso sobre él.

En primer lugar, creo que hay que diferenciar entre observador (y las mediciones que éste realiza) y coordenadas. El formalismo de la relatividad (las dos) nos deja utilizar cualquier sistema de coordenadas. Algunos de esos sistemas tienen coordenadas que tienen alguna interpretación geométrica o física; otros sistemas utilizan cantidades que pueden ser útiles para algo pero no tienen una interpretación tan directa (si alguien consigue que entienda el significado de las coordenadas de Kruskal, le pagaré un guisante con mucho gusto).

Precisamente, la métrica es la herramienta que nos permite trasladar la variación de coordenadas en medidas físicas de espacio y tiempo (inciso: por aquí, probablemente, va la solución a tu ejemplo: si transformas la métrica de Minkowsky a rotación la aparente rotación de $2\pi$ se traducirá en una medición de movimiento físico).

En este sentido, la relatividad especial nos enseña que podemos entender las diferencias de coordenadas entre dos puntos como diferencias de tiempo y distancias cuando la métrica es la de Minkowsky. Esta es una lección importante. Ahora veremos por qué.

En relatividad especial sólo podemos admitir la métrica de Minkosky en todo el espacio-tiempo, o más correctamente una que se pueda convertir en ella con un cambio de coordenadas. Pero en relatividad general, por lo de general, la métrica puede ser básicamente cualquier campo tensorial de orden 2. Entonces, ¿cómo podemos saber que significan las coordenada que aparecen en una métrica cualquiera?

No sé la respuesta general a esa pregunta; ni siquiera sé si existe. Pero en la mayoría de casos de interés Físicos podemos resolver la pregunta a partir de la "lección importante" que mencioné antes. La mayoría de métricas de interés Físico se reducen a la de Minkosky en algún lugar, o en algún límite. La métrica de Schwarzchild es un ejemplo: en este caso, en el límite $r\to\infty$ recuperamos la métrica de Minkowsky (la versión en esféricas). Esto es lo que nos permite interpretar la "r" que aparece en la métrica como una distancia (radial) medida por un observador en el infinito. Así que cualquier medida que se obtenga de esta métrica, se puede entender como una medición del observador en el infinito.

Para hacer algún pequeño ejercicio imaginemos una métrica diagonal del tipo

$$\dd s^2 = - A(r) \dd t^2 + B(r) \dd r^2 + r^2 \dd \Omega^2 .$$

Además, supongamos que existe un valor $r_0$, tal que

$$A, B \xrightarrow{r\to r_0} 1.$$

Este límite nos permite decir que la $r$ corresponde a la medición de un observador situado en $r=r_0$. Fijaos que Swarzchild cae en esta categoría, con $r_0 = \infty$.

Por definición, la velocidad de la luz sigue una trayectoria con $\dd s = 0$. Substituyendo en la métrica este valor, tenemos una relación que deben cumplir cualquier medición de distancias y tiempos entre diferente puntos (infinitesimalmente cercanos) de la trayectoria de la luz, por ejemplo en un movimiento radial (\dd\Omega = 0)

$$0 = - A(r) \dd t^2 + B(r) \dd r^2 .$$

Una simple manipulación algebraica (y un poco de abuso de los diferenciales) nos permite obtener la velocidad de la luz

$$c(r) = \frac{\dd r}{\dd t} = \sqrt{\dfrac{B(r)}{A(r)}} .$$

Inciso (repetitivo): fijaos que hemos hecho uso de la métrica para encontrar una relación entre variaciones en los valores de las coordenadas; pero lo importante es que antes hemos podido relacionar $\dd r$ con una medición radial hecha por un observador concreto y $\dd t$ lo hemos relacionado con una medición temporal (y hemos echo estas relaciones gracias a que la métrica se reduce a la de Minkosky en un límite). Sin este ingrediente, no tendríamos ningún motivo físico para creer que el cociente de la variación de coordenadas se corresponda con una medición de velocidad realizada por un observador.

Aquí queda claro que la velocidad de la luz ya no será 1 (huelga decir que uso el sistema de unidades donde la velocidad de la luz constante es 1). Ni siquiera tiene por qué ser constante. Por lo menos, para el observador situado en $r_0$.

Pero hay una cosa más: si aplicamos un cambio de coordenadas a la métrica, encontraremos otra equivalente (en el sentido que representa el mismo universo). Pero esa nueva métrica ya no cumplirá la condición de que se reduzca a la de Minkosky cuando $r\to r_0$; es decir, las coordenadas de esta nueva versión de la métrica ya no se pueden interpretar como mediciones de un observador en $r_0$. Pero, a lo mejor, sí existe otra ubicación del espacio tiempo (digamos $r_1$) donde la métrica se reduzca a la de Minksoky, así que esta nueva versión de la métrica contiene coordenadas que se peden interpretar como mediciones de tiempo y distancias de un observador en una ubicación $r_1$. Por eso, decimos que para saber qué medidas hace un observador, lo que tenemos que hacer es aplicar un cambio de coordenadas y transformar la métrica. Luego, lo complicado es saber qué cambio de coordenadas aplicar para "ir" al observador deseado.

Luego, si este observador hace el mismo juego que hemos hecho antes obtendrá un valor de la velocidad difernete que el primer observador.

En conclusión, si aceptamos estas interpretaciones, la velocidad de la luz ya no es constante, ni la misma para cada observador.

Lo que si es cierto, por la construcción que hemos hecho, es que la métrica cerca de cada observador es igual a la de Minkowsky. Y, por lo tanto, si nos limitamos a mediciones locales, cada observador medirá una velocidad de la luz exactamente igual a c. En ese sentido, la velocidad de la luz sigue siendo una constante universal.

Como dije el otro día, diferentes autores pueden tratar las consecuencias de todo esto de diferentes maneras. Algunos dicen que el concepto de velocidad no se puede generalizar bien a la RG. Otros dicen que sólo tiene sentido en mediciones locales. Otros aceptan de buena gana la construcción que hemos hecho. Yo no sé cuál recomendar (y, de hecho, oscilo entre las tres como un neutrino). Lo que sí es cierto, y diría que impepinable, es que si queremos generalizar el concepto de velocidad a cualquier medición, no sólo local, entonces necesariamente lo hemos de hacer como cociente de mediciones Físicas, que és lo que he intentado hacer, y no sólo de coordenadas.

[FONT=Verdana]Por otra parte, yo creo que hay una incongruencia bastante evidente entre la Relatividad Especial y la Relatividad General, aunque se supone que son dos partes de una misma teoría. Y ya se sabe: "en una teoría física no deben producirse contradicciones lógicas".[/FONT]

[FONT=Verdana]De acuerdo con la R.E., la velocidad de la luz en el vacío es constante para cualquier observador inercial. Se supone que este postulado permite que se cumplan las leyes del electromagnetismo de Maxwell sin necesidad de que exista un medio en reposo absoluto llamado éter (idea decimonónica que tuvo que ser rechazada tras el famoso experimento de Michelson-Morley).[/FONT]

La constancia de "c" no es un postulado, es un resultado. Es cierto que muchas veces se explica así, y también es cierto que si se substituye el postulado 2 de la relatividad especial por la constancia de "c" se obtiene la misma teoría de la relatividad. Pero en cierto sentido, epistemológicamente es importante diferencia que la constancia de "c" no es un postulado sino un resultado.

Y, como todo resultado, al pasar a una teoría más potente puede cambiar "un poco". Y eso es lo que pasa. Es más, si aplicamos toda la potencia de la RG a un universo sin curvatura volvemos a obtener una velocidad de la luz constante. Así que obtenemos el límite plano; eso es lo que exigimos a las teorías nuevas, que podamos recuperar las antiguas a partir de un límite concreto. Todo cuadra a la perfección, en este sentido. Este limite es muy sencillo de ver en las ecuaciones anteriores, ya que el limite de relatividad especial es simplemente $A=B=1$ (en todo el espacio).

[justinux]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[FONT=Helvetica]Hola Pod, tu razonamiento me parece impecable. Sin embargo no entendí un punto: entiendo más o menos que un sistema de coordenadas en la que la métrica sea Minkowski en un punto o en una situación límite tiene una interpretación física en terminos de un observador situado en dicho punto. Lo que no llego a entender es por qué la razón entre las diferencias de coordenadas espaciales y temporales en otro punto (digamos alejado) va a tener una interpretación física o geométrica. No es un tanto artificiosa la definición de velocidad de la luz como la razón entre la “distancia espacial” y el intervalo temporal?? Entiendo que esa razón puede suponer una especie de “velocidad aparente”, pero que tenga una interpretación física real me parece al menos extraño. Sin embargo, en un sistema de coordenadas donde la métrica es Minkowski en el punto donde se toman las diferencias me parece más natural puesto que cualquier sistema que cumpla dichas propiedades siempre medirá c.[/FONT]
[FONT=Helvetica] Hay algún motivo más fuerte para suponer que dicha razón entre diferencia de coordenadas puede tomarse como medida real de la velocidad de la luz?[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]saludos,[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

¿Estamos violando la relatividad, por el hecho de estar tumbados mirando el firmamento? ¿Está prohibido en relatividad nuestro sistema de referencia no inercial que gira a 6.28 radianes por día?

Mi humilde granito de arena es que no violas la relatividad, creo que teestas refiriendo al principio de Mach.

Albert Einstein (1879-1955) recogió la idea de la aceleración relativa a las estrellas fijas del trabajo de Mach, y fue de hecho Einstein quien sugirió la idea de denominarlo Principio de Mach. Cuando Einstein desarrolló la Teoría General de la Relatividad, intentó que ésta incorporara el Principio de Mach como consecuencia, aunque la respuesta al problema de la inercia en la teoría general de la relatividad yace en algún lugar intermedio entre la explicación newtoniana y la de Mach. Los sistemas de referencia inerciales, en relatividad general, efectivamente están determinados por el campo gravitatorio local generado por toda la materia del universo, tanto cercana como lejana. Pero una vez nos situamos en uno de estos sistemas inerciales, las leyes del movimiento no se ven afectadas de ninguna manera por la presencia de masas cercanas. Por ejemplo, la presencia del Sol determina el modo en que se mueve la Tierra, pero una vez situados en la Tierra es imposible detectar de ninguna manera el campo gravitatorio solar (a excepción de los efectos de marea, aunque eso sea otra historia).
¿Cómo podemos estar seguros de cúal es la explicación correcta?. Pues por el éxito experimental. El concepto de espacio absoluto fue echado abajo por el experimento Michelson-Morley y por el posterior éxito experimental de la teoría especial de la relatividad. Nos queda entonces poner a prueba el principio de Mach. El experimento más directo del que tengo referencia fue el realizado por Hyghes, Robinson y Beltran-Lopez (1961, Phys.Rev.Letteres, 4, 342) en el que básicamente midieron el cambio en la masa inercial debido a aceleraciones dirigidas hacia el centro de la Vía Láctea y en sentido opuesto. Según Mach debería haber alguna variación, pues la Vía Lactea contiene una masa considerable. Sin embargo, no se detectó variación al menos hasta la vigésima cifra decimal. Tambien, un experimetno de Robert Dicke (teórico de Princeton) en los sesenta ya mostró que todos los objetos en la Tierra caen con la misma aceleración con una precisión de al menos 1 parte en 100,000,000,000. Posteriormente han habido numerosas experiencias más que están en perfecto acuerdo con la Teoría general de la Relatividad. Por ejemplo, tres décadas de telemetría laser de la distancia a la Luna, muestran que la Tierra y la Luna caen hacia el Sol con la misma aceleración dentro de menos de 1 parte en 1012 (The American Institute of Physics Bulletin of Physics News Number 454 October 26, 1999) y recientemente ha sido incluso medido que la propia energía de ligadura del sistema Tierra-Luna obedece el principio de equivalencia al menos en una parte entre mil (Baessler et al., Physical Review Letters, 1 November; o alternativamente Clifford Will 1998, Physics Today, Oct 1999 y Damour 1999). Dicho de otra manera, la propia energía de ligadura gravitatoria genera su propia gravedad , tal y como está previsto en la TGR.

http://astronomia.net/cosmologia/Mach_p.htm

¿O es que no vale eso de que velocidad es espacio (medido por un observador) partido por tiempo (medido por ese observador)?

Hasta adonde he entendido la RG, no solo con tu SRnI mides la "velocidad" del objeto "espacio recorrido sobre tiempo recorrido" sino que en ese mismo marco debes medir las fuerzas, presiones, densidades de energía que las provocan, en tu ejemplo es mas fácil conseguir dichas medidas experimentales en un SRI que no rote con la tierra y luego aplicar el tensor de la rotación, para dar con una métrica que explique ese movimiento cuyas mediciones evidentemente serán superiores a c como lo has planteado.

El tema pasa por determinar si es que puedes afirmar que Sirio se mueve a velocidad mayor que c en cualquier sistema de referencia inercial en base a tus observaciones locales sobre la tierra. Eso entendí del planteo y creo la respuesta es no.

En conclusión, si aceptamos estas interpretaciones, la velocidad de la luz ya no es constante, ni la misma para cada observador.

Lo que si es cierto, por la construcción que hemos hecho, es que la métrica cerca de cada observador es igual a la de Minkowsky. Y, por lo tanto, si nos limitamos a mediciones locales, cada observador medirá una velocidad de la luz exactamente igual a c. En ese sentido, la velocidad de la luz sigue siendo una constante universal.

Creo en el ejemplo de carroza, c es mayor a 1 debido al caracter no inercial del sistema de referencia " la rotación", en este momento no imagino como un campo gravitatorio o " la curvatura" del espacio tiempo pueda ser la causa para que un determinado observador local mida c >1 en caida libre siguiendo una geodesia. Podrías dar algún ejemplo en los hilos que hace alusión carroza se afirma que puede ser c>1 y la verdad dudo por desconocimiento o confusión de que pueda ser cierto.

[FONT=Verdana]De ello se deduce que para el observador inercial "no-local" la velocidad de la luz siempre mide c según la R.E. (incluso en un campo gravitatorio como el de la Tierra), pero mide otra cosa según la R.G., y se supone que ambas cosas tienen que ser ciertas.[/FONT]

Es que si estas en presencia de campos gravitatorios que curvan el espacio tiempo estas violando los postulados de la RE basados en geometría plana $\mathbb R^3_1$ y dará mediciones que no se ajustan entre teorías, pero si en una métrica curva, es posible que el vector tangente de la variedad de la métrica pueda ser transportado paralelamente es aplicable una transformación entre sistemas de referencia para determinar el valor de la velocidad en ambos sistemas de referencia. Al menos es lo que creo entender.

[carroza]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Hola.

Muchas gracias a todos y cada uno de vosotros por vuestros comentarios, que he leido con atención.

Voy a desarrollar un punto clave, mencionado por Pod, que es la diferencia entre una "coordenada", y una "medida". Para describir la posición de cuelquier cosa en el espacio-tiempo, con o sin relatividad, necesitamos cuatro números. Tenemos una gran libertad de elegir esos cuatro números. Incluso tenemos mucha libertad de llamar a tres de estos números "coordenadas espaciales", y a otro "coordenada temporal". A partir de ahí, no sería nada sorprendente que una magnitud llamada "velocidad" (con comillas), que es el cociente del cambio una "coordenada espacial" por el cambio de la "coordenada temporal", pueda variar de forma incontrolada.

No obstante, si hablamos estrictamente de la velocidad (sin comillas), nos estamos refiriendo al cociente de la "distancia" recorrida por algo, y el "tiempo" empleado en ese movimiento. Esta "distancia" se puede medir si el observador coloca una serie de reglas, donde transcurre el movimiento, y las cuenta. El "tiempo" se puede medir si el observador coloca un reloj de péndulo donde transcurre el movimiento, y cuenta las oscilaciones.

Evidentemente, si un observador conoce los rudimentos de la física, no es necesario que se desplace al punto de la medida para poner reglas y contar oscilaciones. El puede utilizar los valores de las "coordenadas espaciales" y de las "coordenadas temporales" para inferir los valores de la "distancia" y del "tiempo".

En el caso del observador de Sirio, y utilizando por simplicidad mecánica clásica, el observará, en su sistema en rotación, a lo largo de un cambio de "coordenada temporal" $dT$, un cambio de "coordenada espacial" $d \vec R$. En este caso (no relativista) el "tiempo" empleado por Sirio en su movimiento $dt$ coincide con el cambio de la coordenada $dT$ medida por el observador. Sin embargo, el puede inferir que la "distancia" recorrida por Sirio es

$d \vec r = d \vec R - (\vec R \times \vec \omega) dT$.

Entiendo que esto es, en esencia, lo que hace cualquier aficionado a la fotografía astronómica para compensar con la rotación de la cámara el movimiento de rotación de la tierra a la hora de hacer fotos del firmamento.

Uno podría pasar ahora al caso relativista, y encontraría expresiones en las que, para pasar de "coordenadas espaciales" y "coordenadas temporales" a "distancias" y "tiempos", habría que usar expresiones análogas a la anterior, en las que aparece el tensor métrico.

Aqui cabe destacar que, mientras no hayan efectos gravitatorios relevantes, el tensor métrico (no trivial, distinto del de Minkowski) aparece siempre que tomemos sistemas de referencia no inerciales. Siempre queda la posibilidad de elegir las coordenadas de forma que el sistema sea inercial (p. ej. sin rotaciones no aceleraciones), el tensor métrico sea el de Minkowsky, y coincidan los cambios de "coordenadas espaciales" $d \vec R$ y de "coordenadas temporales " $d T$, con las correspondientes distancias recorridas $\vec r$ y tiempos empleados $d t$


Ahora vamos al caso en el que hay gravedad. Aqui no es posible elegir unas "coordenadas espaciales" y unas "coordenadas temporales" tales que el tensor métrico sea el de Minkowsky en todo el espacio, pero sí puedo hacerlo para que, en el punto de la medida, lo sean. Esto me permite calcular la velocidad de cualquier cosa, como cociente de la distancia, que coincide con el cambio de las coodenadas espaciales, $d \vec r$ y el tiempo, que coincide con el cambio de las temporales, $d t$. En el caso de la velocidad de la luz, esta sale 1.

Ahora, como Pod indicaba, puedo preferir seleccionar unas coordenadas en las que el tensor métrico sea el de Minkowski a distancias muy grandes, donde habita el "observador", aunque en el punto de la medida no lo sea. En este caso, las coordenadas utilizadas por el observador [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $d \vec T$, no son adecuadas para describir las "distancias" y "tiempos", en el punto de la medida. Es muy similar al caso descrito anteriormente del observador de Sirio. ¿Qué habría que hacer? Pues calcular las distancias $d \vec r$ y tiempo $d t$, en función de los cambios de coordenadas espaciales $d \vec R$ y temporales $d T$.

No se cómo de facil es hacer esto en la práctica. En cualquier caso, mi idea preliminar sería que la velocidad de la luz es 1 ( o c), constante, siempre, en todos los puntos ddel espacio, con o sin campo gravitatorio, aunque las distancias y los tiempos en el interior de campos gravitatorios no están trivialmente dados por las coordenadas que determina un observador externo al campo.

Un saludo

[Visitante]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

No sé si he entendido bien la respuesta de Pod, pero me ha desconcertado
bastante.

A ver..

1.- Tomo la metrica de Minkowski:

$\dst{ds^2 = - c^2dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2}$

Y para una geodesica nula y haciendo $\dst{d\Omega = 0}$
Resulta:

$\dst{\frac{dr}{dt} =c}$

Y:

$\dst{\Delta r = c\cdot \Delta t }$

(Esto no tiene nada de raro. Un fotón moviendose en dirección al centro de
coordenadas (0,0) de (r,t) dibuja una recta de pendiente constante = c).

2.- Ahora tomo la métrica de Schwarzschild:

$\dst{ds^2 = - c^2(1-\frac{2GM}{r c^2}) dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2}$

Repitiendo el proceso, resulta:

$\dst{\frac{dr}{dt} =c \cdot (1 - \frac{2GM}{r c^2})}$

(Esto ya me desconcierta bastante. Un fotón moviendose hacia el centro de un
agujero negro, dibuja una curva que tiene de pendiente 'c' en el infinito y una
pendiente = 0 para un radio igual al Radio de Schwarzschild)...

3.- Y ahora tomo la metrica FLRW para curvatura = 0:

$\dst{ds^2 = - c^2dt^2 + a^2 dr^2 + a^2 r^2 d\Omega^2}$

Repitiendo el proceso, resulta:

$\dst{\frac{dr}{dt} =\frac{c}{a(t)}}$

(Y esto ya me desconcierta del todo. Un fotón moviendose entre 2 valores del
factor de escala próximos a 1, dibuja una casi-recta de pendiente casi-constante = casi-c.
(como la metrica de Minkowski). Y un fotón moviendose entre 2 valores del
factor de escala próximos a 0, dibuja una casi-recta de pendiente casi-constante = casi-infinito)...

Esto es asi?
Que quiere decir todo esto?

(El caso (2) me suena al tipico ejemplo de la caida de un astronauta en el horizonte
de sucesos de un agujero negro visto desde el astronauta que se queda en la nave...)
(En el caso (3), ya no me 'cuadra' nada...(En el tiempo de la CMB (aprox. 300000 años)
el factor de escala vale aprox. 0.001. Y entonces un fotón deberia moverse a aprox. 1000 c???))

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Ahora vamos al caso en el que hay gravedad. Aqui no es posible elegir unas "coordenadas espaciales" y unas "coordenadas temporales" tales que el tensor métrico sea el de Minkowsky en todo el espacio, pero sí puedo hacerlo para que, en el punto de la medida, lo sean. Esto me permite calcular la velocidad de cualquier cosa, como cociente de la distancia, que coincide con el cambio de las coodenadas espaciales, $d \vec r$ y el tiempo, que coincide con el cambio de las temporales, $d t$. En el caso de la velocidad de la luz, esta sale 1.

Ahora, como Pod indicaba, puedo preferir seleccionar unas coordenadas en las que el tensor métrico sea el de Minkowski a distancias muy grandes, donde habita el "observador", aunque en el punto de la medida no lo sea. En este caso, las coordenadas utilizadas por el observador [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $d \vec T$, no son adecuadas para describir las "distancias" y "tiempos", en el punto de la medida. Es muy similar al caso descrito anteriormente del observador de Sirio. ¿Qué habría que hacer? Pues calcular las distancias $d \vec r$ y tiempo $d t$, en función de los cambios de coordenadas espaciales $d \vec R$ y temporales $d T$.

Bien. Solo no comprendo en que casos sucede que solo el efecto gravitatorio de masa o energía, puede hacer que un observador en el infinito tenga una lectura $c>1$
en el ejemplo de FVPI se ve claramente que el el observador en el infinito puede ver que $c(r)\leqslant 1$
en cambio la expansión del universo juega al reves pareciendo que $c>1$ pero la expansión no tiene origen gravitatorio , que es lo que entiendo estamos tratando de dilucidar en el hilo.

Esto es asi?
Que quiere decir todo esto?.......

$\dst{\Delta r = c\cdot \Delta t }$

perfecto, de acuerdo en el espacio tiempo de Minkowski c es constante para todos los observadores.

$\dst{\frac{dr}{dt} =c \cdot (1 - \frac{2GM}{r c^2})}$

La formula indica que un fotón que tiene velocidad c medido localmente (en las inmediaciones del horizonte) cuando se acerque al horizonte del agujero negro su velocidad observada por el observador ubicado en el infinito tenderá a hacerce 0 justo en el radio de Schwarzschild

en el infinito la fracción tiende a 0 y el miembro tiende a c.

$\dst{\frac{dr}{dt} =\frac{c}{a(t)}}$

...(En el tiempo de la CMB (aprox. 300000 años)
el factor de escala vale aprox. 0.001. Y entonces un fotón debería moverse a aprox. 1000 c???))

Yo lo interpreto de la siguiente manera un fotón en ese espacio en ese tiempo recorría una distancia $ct$ hoy esa distancia es $1000ct$ es decir en ese tiempo un fotón unía dos puntos del espacio en un determinado intervalo de tiempo, hoy la distancia espacial es mas grande y recorrer las mismas dos coordenadas le lleva 1000 veces mas tiempo a la misma velocidad.

O visto al revés la distancia que hoy recorre un fotón en un segundo, en ese tiempo la cubría en 0,001 s pero no viajaba a mas que c sino que la separación espacial entre coordenadas era 1000 veces menor.

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Yo lo interpreto de la siguiente manera un fotón en ese espacio en ese tiempo recorría una distancia $ct$ hoy esa distancia es $1000ct$ es decir en ese tiempo un fotón unía dos puntos del espacio en un determinado intervalo de tiempo, hoy la distancia espacial es mas grande y recorrer las mismas dos coordenadas le lleva 1000 veces mas tiempo a la misma velocidad.

O visto al revés la distancia que hoy recorre un fotón en un segundo, en ese tiempo la cubría en 0,001 s pero no viajaba a mas que c sino que la separación espacial entre coordenadas era 1000 veces menor.

Estoy de acuerdo con Richard: como las distancias eran mil veces más pequeñas, los fotones las recorrían mil veces más rápido.

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Me queda rodando esta idea. Si un observador en el infinito puede decir que la velocidad de los fotones en las cercanías de un agujero negro tiende a cero usando la métrica de Schwarzchild...

que dira un observador cercanías del horizonte del AN de la velocidad de un fotón emitido en el infinito cuando lo alcance . Localmente medirá c, claro esta, pero puede afirmar que esos fotones viajaban previamente a mayor velocidad que c ? es esto así de posible? Es ha esto lo que se refieren cuando en el hilo ¿Que pasaria si superamos a C? se menciona

También puede haber situaciones en que ocurra lo contrario, que la luz (lejana) parezca ir más rápido que c.

o es que la frase viene de otro hilo mas lejano y viene sacada de contexto....

Gracias

[Jaime Rudas]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

que dira un observador cercanías del horizonte del AN de la velocidad de un fotón emitido en el infinito cuando lo alcance . Localmente medirá c, claro esta, pero puede afirmar que esos fotones viajaban previamente a mayor velocidad que c ? es esto así de posible?

Para el caso de la métrica de FLRW, sí es posible. Por ejemplo, un fotón que se emita desde la esfera de Hubble hacia nosotros, tendrá un velocidad instantánea igual a cero, pero, si se emite en sentido contrario, se alejará a una velocidad de 2c.

[pod]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Ahora vamos al caso en el que hay gravedad. Aqui no es posible elegir unas "coordenadas espaciales" y unas "coordenadas temporales" tales que el tensor métrico sea el de Minkowsky en todo el espacio, pero sí puedo hacerlo para que, en el punto de la medida, lo sean. Esto me permite calcular la velocidad de cualquier cosa, como cociente de la distancia, que coincide con el cambio de las coodenadas espaciales, $d \vec r$ y el tiempo, que coincide con el cambio de las temporales, $d t$. En el caso de la velocidad de la luz, esta sale 1.

En efecto, este cambio siempre se puede hacer (es un teorema; se demuestra viendo que un cambio de coordenadas tiene suficiente grados de libertad como para fijar las coordenadas de la métrica en un punto; pero no para fijar todas las derivadas). Como intenté argumentar, este cambio significa movernos al sistema de referencia local de un observador en el punto que se hace la medida. Una medida local siempre dará como resultado 1.

Ahora, como Pod indicaba, puedo preferir seleccionar unas coordenadas en las que el tensor métrico sea el de Minkowski a distancias muy grandes, donde habita el "observador", aunque en el punto de la medida no lo sea. En este caso, las coordenadas utilizadas por el observador [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $d \vec T$, no son adecuadas para describir las "distancias" y "tiempos", en el punto de la medida. Es muy similar al caso descrito anteriormente del observador de Sirio. ¿Qué habría que hacer? Pues calcular las distancias $d \vec r$ y tiempo $d t$, en función de los cambios de coordenadas espaciales $d \vec R$ y temporales $d T$.

No se cómo de facil es hacer esto en la práctica. En cualquier caso, mi idea preliminar sería que la velocidad de la luz es 1 ( o c), constante, siempre, en todos los puntos ddel espacio, con o sin campo gravitatorio, aunque las distancias y los tiempos en el interior de campos gravitatorios no están trivialmente dados por las coordenadas que determina un observador externo al campo.

Es la métrica la que nos permite convertir "diferencias entre coordenadas" a "mediciones físicas" de distancias y tiempos.

El tema de cómo ve el universo un observador "cayendo" al agujero negro, comparado con como lo ve un observador lejano, está tratado, por ejemplo, en el libro "Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity", de Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler.

2.- Ahora tomo la métrica de Schwarzschild:

$\dst{ds^2 = - c^2(1-\frac{2GM}{r c^2}) dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2}$

Repitiendo el proceso, resulta:

$\dst{\frac{dr}{dt} =c \cdot (1 - \frac{2GM}{r c^2})}$

(Esto ya me desconcierta bastante. Un fotón moviendose hacia el centro de un
agujero negro, dibuja una curva que tiene de pendiente 'c' en el infinito y una
pendiente = 0 para un radio igual al Radio de Schwarzschild)...

Esto es algo bien conocido: un observador lejano nunca "ve" que los objetos que caen al agujero lleguen a superar el horizonte. Aquí lo has demostrado con la luz, pero podrías demostrarlo con una partícula con masa si divides la métrica por $\dd\tau$ (dos veces, tenemos diferenciales al cuadrado) e impones $\dd s / \dd \tau = 1$.

3.- Y ahora tomo la metrica FLRW para curvatura = 0:

$\dst{ds^2 = - c^2dt^2 + a^2 dr^2 + a^2 r^2 d\Omega^2}$

Repitiendo el proceso, resulta:

$\dst{\frac{dr}{dt} =\frac{c}{a(t)}}$

(Y esto ya me desconcierta del todo. Un fotón moviendose entre 2 valores del
factor de escala próximos a 1, dibuja una casi-recta de pendiente casi-constante = casi-c.
(como la metrica de Minkowski). Y un fotón moviendose entre 2 valores del
factor de escala próximos a 0, dibuja una casi-recta de pendiente casi-constante = casi-infinito)...

Esto es, esencialmente, una manifestación del red-shift cosmológico. O de la expansión, si quieres. Fíjate que, aunque decimos que esta es la métrica de Friedman-Robertson-Walker para espacio plano, en realidad sólo son planas las superficies de t = constante. La métrica espacio temporal completa no es plana. Así que no es de extrañar que aparezcan efectos de curvatura.

[carroza]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Hola a todos:

Voy a tratar de exponer lo que creo que he aprendido en este hilo.

He construido un aparato, de longitud $dl= 3 m$, para medir la velocidad de la luz. Este aparato emite una señal de tiempo A cuando un pulso de luz atraviesa la entrada del aparato, y otra señal de tiempo B cuando el pulso atraviesa la salida.

Pruebo el aparato en el espacio intergaláctico (fuera de campos gravitatorios relevantes) y obtengo que la diferencia entre las señales de tiempo A y B resulta de $dt = t(B) - t(A) = 10 ns$. Calculo la velocidad de la luz $c = dl/dt = 3 \cdot 10^8 m/s$.
En mi sistema de referencia, la señal de A está en la posición 0 m y en el instante 0 ns, mientras que la señal de B está en la posición 3m y en el instante 10ns.

Ahora pido a un amigo, que se mueve por el espacio interestelar a una velocidad $v=0.8 c$, en la dirección y sentido de la luz, con respecto a mí, que determine la velocidad de la luz. Para eso, le envío las señales A y B. Mi amigo pone sus reglas y relojes para que la señal de A esté en las coordenadas (0,0), y (de acuerdo con las transformaciones de Lorentz), obtiene la señal de B en las coordenadas (1m, 3.333 ns). Su resultado, para la velocidad de la luz, sigue siendo el mismo.

Ahora, cojo mi aparato, y me voy al centro de la galaxia. En concreto, a las proximidades del agujero negro sagitario A*. Mi amigo se queda en el espacio intergaláctico, a la espera de las señales de mi aparato. Yo me paro, en concreto, a una distancia (según mi amigo) $r= 1.69 \cdot 10^{10} m$ de Sagitario A*, o sea, a 4/3 veces el radio de Swarzchild de Sagitario A*. Mido la luz con mi aparato y encuentro el mismo valor C que cuando estaba en el espacio libre.

Cuando las señales llegan a mi amigo, la variación de la métrica del espacio juega sus pasadas.

En el espacio libre, el intervalo viene dado (considerando solo movimiento radial) por
$ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2$

Para mi, a pesar de estar inmerso en el campo gravitatorio de sagitario A*, en mi entorno inmediato, que engloba mi aparato de medida, la metrica puedo tomarla también como
$ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2$

Sin embargo, para mi amigo que me observa desde fuera, si elige la métrica que, en sus proximidades, es de Minkowski (la métrica adecuada para que sus reglas y relojes funcionen normalmente), esta métrica, a 4/3 de la distancia de Scharzchild, toma la expresión
$ds^2 = (1-{R_s \over R}) c^2 dT^2 - (1-{R_s \over R})^{-1} dR^2 = 1/4 c^2 dT^2 - 4 dR^2$.

Esto hace que, para mi amigo, el aparato que para mí tenía $dr = 3$ metros, para el, resulta tener $dR =$ 1.5 metros. Y la señal de tiempo $dt$ que, para mí era de 10 ns, para el resulta ser de $dT =$20 ns. Si él no fuera cauto, y calculara la velocidad de la luz como el cociente del las coordenadas que el percibe, diría que la velocidad de la luz es $dR/dT =7.5 \cdot 10^7 m/s$.

De forma análoga, si mi amigo (fuera del campo) tuviera un aparato idéntico al mío, y me enviara sus señales a las proximidades de sagitario A*, yo vería que el tamaño sería $dr =$ 6 m, y la distancia entre señales de $dt =$5 ns. Si no soy cauto y calculo la velocidad de la luz como el cociente, tendré $12 \cdot 10^8 m/s$.


¿Quiere decir esto que la velocidad de la luz varía en un campo gravitatorio? Yo creo que no. Pero distancias y tiempos se distorsionan cuando se observan desde puntos con campos gravitatorios diferentes.


Saludos

[Visitante]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Como en RG hay mas de 2 Modelos que dán soluciones exactas y cada uno es
diferente del resto, creo que deberiamos centrarnos en un Modelo en concreto.

Veo que Carroza plantea un problema centrado en el Modelo de Schwarzschild, Bien...

Creo que para resolver un problema, este debe estar muy bien definido y sobretodo
con estos problemas en los que los conceptos de espacio y tiempo no estan muy claros.

Voy a modificar el planteamiento de Carroza, con su permiso...y si le parece correcto....

Tenemos 2 gemelos, a una distancia R0 de un agujero negro, cada uno con su reloj
propio. El gemelo 1 debe mantenerse a una distancia fija R0 del agujero negro.
Y el gemelo 2 se va a separar del gemelo 1, lentamente, es decir, primero hace
un movimiento uniformemente acelerado y luego hace un movimiento uniformemente
decelerado, hasta una distancia R1 del AN y va a volver a juntarse, a la inversa,
con su gemelo 1 a una distancia R0 del AN.
El gemelo 1 tiene un dispositivo que emite un foton de una longitud de onda L0
cada T segundos de su reloj hacia el gemelo 2. El gemelo 2 tiene un espejo que refleja
el foton emitido por el gemelo 1. Cuando el gemelo 1 recibe el foton anteriormente
emitido, anota en una lista el tiempo propio de emision, el tiempo propio de recepcion
y la longitud de onda recibida.
Y reciprocamente.
Cuando los 2 gemelos vuelven a juntarse, contrastan sus 2 respectivas listas, y de estos
datos deben deducir que ha pasado...Correcto?

(Me parece un problema bastante complejo pero de solucion teorica posible,
(la confeccion de las 2 listas de datos) porque siempre podriamos hacer R0 = infinito
y R1 = Horizonte de sucesos del AN. Luego, el analisis de los datos será otra cosa....)

Un saludo.

P.S. Como este planteamiento puede resolverse desde el punto de vista del Modelo
de Minkowski y aquí, si sabemos que resultados deben dar, (los de la RE),
entonces, deberíamos tener la base de que este planteamiento es correcto.

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Gracias carroza por saciar mi curiosidad, entiendo que matemáticamente has hecho $ds=0$ para que los eventos A y B estén sobre el cono de luz de la métrica de Minkowski.

La transformación de coordenadas a través de la métrica sería

Así para el caso del amigo observador lejano con vector $(dt,dr)=(10ns,3m)$

armamos el tensor con el vector en esas coordenadas

$\begin{pmatrix}dt^2 &dtdr\\ drdt&dr^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100ns^2&30mns \\30mns& 9m^2\end{pmatrix}=M^{-1} \begin{pmatrix}dT^2 &dTdR\\ dRdT& dR^2\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}4& 0 \\ 0& \frac14\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dT^2 &0\\ 0 &dR^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}400ns^2 &0\\ 0&2.25m^2\end{pmatrix}$

en notación de Einstein

$x_{ij}=g_{ij} x^{ij}$

quedando el nuevo vector $(dT,dR)=(20ns,1.5m)$

y si el amigo emite a lejos y recibes cerca del agujero la transformación quedara

$\begin{pmatrix}dt^2 &dtdr\\ drdt&dr^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100ns^2&30mns \\30mns& 9m^2\end{pmatrix}=M \begin{pmatrix}dT^2 &dTdR\\ dRdT& dR^2\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}\frac{1}{4}& 0 \\ 0& 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dT^2 &0\\ 0 &dR^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25ns^2 &0\\ 0&36m^2\end{pmatrix}$
en notación de Einstein

$x^{ij}=g^{ij} x_{ij}$

quedando el nuevo vector $(dT,dR)=(5ns,6m)$


siendo $g_{ij}=[g^{ij}]^{-1} \quad g^{ij}<br /> =[g_{ij}]^{-1}$

Luego los cocientes $\dfrac {dR}{dT}\gtreqqless c$ dependiendo de las coordenadas del observador y el sentido que toma la luz con respecto a la métrica.

por lo que mi pregunta de mi post#10 la doy por respondida y satisfecha con creces ,es el primer problema de RG que alguien le plantado un número a una ecuación y esta devuelve otro... .

Ni idea si el álgebra tensorial se aplica así de esta manera pero es la única forma que podido hacer que tus resultados cuadren en mi lógica.

como $c^2$ esta presente en ambas métricas se cancela y no lo puse, lo mismo con el signo negativo de las coordenadas espaciales.

Gracias nuevamente

Agrego pensando mejor que si el calculo no lo hacemos en el infinito el tensor inicial no esta inscripto en la métrica de minkowski por que debe multiplicarse por la inversa de la matriz de la métrica de schwarzchild en ese punto también. Al ser la de minkowski la matriz de transformación es la identidad.

PD . FVPI mantener Ro constante implica hacer fuerza o acelerar , sino el observador cae hacia el AN , me parece que no es tan fácil la respuesta, al menos no me la imagino en este momento.