¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[carroza]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

$\begin{pmatrix}dt^2 &dtdr\\ drdt&dr^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100ns^2&30mns \\30mns& 9m^2\end{pmatrix}=M^{-1} \begin{pmatrix}dT^2 &dTdR\\ dRdT& dR^2\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}4& 0 \\ 0& \frac14\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dT^2 &0\\ 0 &dR^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}400ns^2 &0\\ 0&2.25m^2\end{pmatrix}$

en notación de Einstein

$x_{ij}=g_{ij} x^{ij}$

Hola. Creo que lo que escribes no tiene mucho sentido. $g_{ij} x^{ij}$ debería ser un escalar, ya que está implícita la suma en todos los índices.

A ver, yo no soy un experto en relatividad general. No obstante, lo que intuyo es que el intervalo $ds^2$ es la magnitud invariante. Si me pregunto cuánto vale la longitud de mi aparato de medida, de 3m, que tengo cerca de sagitario-A, visto desde la perspectiva de mi amigo lejano, razonaré de la forma siguiente:

Para mi la longitud medida es 3 m. El intervalo que corresponde a una medida simultanea de los dos extremos (dt=0, dr=3m), es, según mi métrica, localmente minkowskiana, $ds^2 = - 9 m^2$. Este intervalo es invariante, y ahora, cuando uso la métrica de mi amigo, con medidas simultáneas $ds^2 = -4 dR^2$, con lo cual deduzco que, para mi amigo, el aparato mide 1.5 m.

De forma similar, puedo ver que mi medida de tiempo, de 10ns, corresponde a un intervalo de $ds^2 = (c \cdot 10 ns)^2 = 9 m^2$; esto, para mi amigo, corresponde a $ds^2 = 1/4 (c \cdot dT)^2$, que le corresponde a 20 ns.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Tenemos 2 gemelos, a una distancia R0 de un agujero negro, cada uno con su reloj
propio. El gemelo 1 debe mantenerse a una distancia fija R0 del agujero negro.
Y el gemelo 2 se va a separar del gemelo 1, lentamente, es decir, primero hace
un movimiento uniformemente acelerado y luego hace un movimiento uniformemente
decelerado, hasta una distancia R1 del AN y va a volver a juntarse, a la inversa,
con su gemelo 1 a una distancia R0 del AN.

Hola. Lo que planteas es una variante de la paradoja de los gemelos, con campos gravitatorios.

Esto se podría resolver teniendo en cuenta que una geodésica, en un campo gravitatorio, es equivalente a un movimiento rectilíneo y uniforme, sin campos gravitatorios.


Si planteas las condiciones, para todos los "gemelos", de que partan de un punto R0 en T=0 (para un cierto observador de referencia), y vuelvan a ese mismo punto R0 en T (para el observador de referencia), habrá una trayectoria geodésica con esas condiciones. Esta trayectoria geodésica no es la del "gemelo" que se queda quieto, ya que ese gemelo tiene que ejercer una fuerza para quedarse donde está. La geodésica corresponde, por ejemplo, a alejarse del agujero negro con una cierta velocidad inicial, y luego caer libremente para llegar de nuevo a R0 exactamente en el tiempo T.

Bueno, pues el gemelo que sigue la geodésica está todo el tiempo en caida libre. Para este gemelo, el intervalo de tiempo propio es máximo. Es el gemelo que ha envejecido más.

Todos los demás gemelos, incluido el que se ha quedado "quieto", han sufrido aceleraciones. Para todos ellos, el intervalo de tiempo propio que experimentan, es inferior al del gemelo geodésico.

Si quieres una conclusión algo cani, puedes decir "cuanto más me acelero, más jovencito me pongo", y esto te vale tanto dentro como fuera de un campo gravitatorio. Recuerda que, si me muevo en una geodésica, no me acelero.

Un saludo

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Hola. Creo que lo que escribes no tiene mucho sentido. $g_{ij} x^{ij}$ debería ser un escalar, ya que está implícita la suma en todos los índices.

Tienes razón lo que intente es traducir las mismas cuentas que haz hecho por separado a una operación de tensores, como usa la RG. en notación de Einstein

creo que la fórmula según Einstein es $x_{j}=g_{ij} x^{i}$

Lo que saque de conclusión del problema planteado es que cuando igualas la métrica de Schwarzschild en el infinito a la métrica de Minkowski estas haciendo una simplificación pasando de una métrica mas compleja a una mas sencilla pero en definitiva para cualquier punto del espacio se puede transportar cualquier distancia invariante no solo las nulas como las que hace la luz
.

Para transportar las distancias haz supuesto que no hay variaciones tanto en $\theta$ ni $\phi$ por lo que no es necesario usar los símbolos de Christoffel para determinar si hay curvatura en esas otras dos dimensiones.

Por ello has sacado rápidamente los valores de las coordenadas , suponiendo que estos dos grados de libertad adicionales no se usan.

Mi forma de entenderlo es que cada medición local de la velocidad de la luz de forma local da c,

Que cualquier distancia medida en la métrica $ds^2$ es un invariante ante una transformación de las coordenadas de la misma métrica.

En el infinito la transformación de la métrica Schwarzchild a la de Minkowski tiene una matriz similar a la identidad, en cualquier otro punto la transformación depende de los valores de las coordenadas de la métrica , por lo que se puede pasar de una a otra mediante una matriz de transformación, que hace el mismo efecto que los cálculos que has hecho.

Una forma de verlo sería analizar cuanto mediría el observador en el infinito cunado estuvieras a $\frac32Rs$ y cuanto mediría un observador ubicado en $\frac32Rs$ cuando estuvieras en $\frac43Rs$. evidentemente en ese caso no puedes comparar con la métrica de Minkowski sino comparar la misma distancia invariante en dos puntos de la misma métrica de Schwarzchild en distintas coordenadas.

dando en este nuevo punto una métrica de $ds^2 = (1-{R_s \over R_2}) c^2 dT^2 - (1-{R_s \over R_2})^{-1} dR^2 = 1/3 c^2 dT^2 - 3 dR^2$

luego para comparar las medidas se tiene que comparar los desplazamientos espaciales entre si y los temporales entre si para que haya equivalencia. Esto lo hace la matriz que puse en mi ultimo post, aunque no se realmente si se usa de esa manera.
por lo que la matriz que transforma de $r =\frac43Rs$ a$r =\frac32Rs$ es la multiplicación de la inversa de la 3/2 a la de Minkowski por la 4/3 sin invertir con respecto a la de Minkowski.

Yo lo veo claro aunque no tenga experiencia en la notación de los tensores, aquí es un tanto mas fácil pues has reducido el problema de $\mathbb R^3_1$ a uno de $\mathbb R^1_1$ con una simetría en los 3 ejes espaciales.

Gracias de nuevo y espero no haber desviado la atención del hilo te que proponías debatir.

¿Quiere esto decir que un observador local no podría verificar la dilatación (o ralentización) del tiempo gravitatoria en su propio reloj de luz, aunque teóricamente sí lo podría hacer en otros tipos de relojes (como por ejemplo en un reloj atómico)?

un observador local no puede ver ninguna ralentización del reloj de su propio sistema de referencia sea este un reloj de luz o atómico, pero si observa un reloj de cualquier tipo mas cercano radialmente al radio de Schwarzchild que lo que el observador está ubicado con respecto a este, lo verá atrasarse, y por el contrario si observa un reloj de cualquier tipo más lejano o en el infinito lo vera adelantarse, eso es lo que me ha dejado de enseñanza este hilo.

[DDD]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

un observador local no puede ver ninguna ralentización del reloj de su propio sistema de referencia sea este un reloj de luz o atómico, pero si observa un reloj de cualquier tipo mas cercano radialmente al radio de Schwarzchild que lo que el observador está ubicado con respecto a este, lo verá atrasarse, y por el contrario si observa un reloj de cualquier tipo más lejano o en el infinito lo vera adelantarse, eso es lo que me ha dejado de enseñanza este hilo.

Dudo mucho que el adelanto de 38 microsegundos diarios que presentaban los relojes atómicos del sistema GPS (cuando éstos se pusieron en órbita por primera vez) fuese un efecto más o menos "aparente" que sólo podía ser verificado desde la Tierra. Yo diría que era un efecto físico real y objetivo, que tuvo que corregirse alterando ligeramente la frecuencia de oscilación de los relojes atómicos en órbita, para que estuviesen siempre bien sincronizados con los de la superficie terrestre. De todas formas, investigaré un poco más a fondo esta cuestión, y quizás abra algún día un nuevo hilo sobre el tema.

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Dudo mucho que el adelanto de 38 microsegundos diarios que presentaban los relojes atómicos del sistema GPS (cuando éstos se pusieron en órbita por primera vez) fuese un efecto más o menos "aparente" que sólo podía ser verificado desde la Tierra. .

Voy ha hacer mi primer problema de RG solo

Radio de la tierra =$R_1=6378000m$
Radio_satelite geosincronico=$R_2=42163000m$
Masa de la tierra=$M_t=\notcien{5,972 }{24} kg$
Constante gravitacional universal=$G= \notcien{6.674 }{-11} \; \cfrac{N\cdot m^2}{kg^2}$
velocidad de la Luz=c=299792458 m/s

Radio de Schwarzchild de la Tierra=$R_s=\dfrac{2GM_t}{c^2}=\notcien{8,602}{-3}$

Metrica a $R_1$

$ds^2 = (1-{R_s \over R_1}) c^2 dT^2 - (1-{R_s \over R_1})^{-1} dR^2 =$$\notcien{8,9875517752465683724051426779555}{16}dT^2$$- 1,0000000013487107869553617006518dR^2$

Metrica a $R_2$

$ds^2 = (1-{R_s \over R_2}) c^2 dT^2 - (1-{R_s \over R_2})^{-1} dR^2 =$$\notcien{8,9875517855345398940587719090198}{16}dT^2$$- 1,0000000002040195761533708357217dR^2$

para t=1 segundo en tierra
$t'^2=\dfrac{\notcien{8,9875517855345398940587719090198}{16}}{\notcien{8,9875517752465683724051426779555}{16}} t^2=$

$t'=1,0000000005723456051204359788114$

dia=T=$24h60min/h60s/min=86400s$

$\Delta t'= t'T-T=49.45 \mu s$


Me da un delay de 49 microsegundos diarios de adelanto bastante cerca de los 38ms que dices han calculado, al menos estoy muy cercano en orden, la diferencia la precisión de los datos de masa, radio medio de la tierra y constantes y a que hice el calculo con satelites geosincronicos pero los de GPS estan mas bajos por lo que la diferencia debe ser mas baja y viajan mas rapido, aunque la velocidad dudo que influya mucho ya que no es relativista 3o 4 km/s dan un error luego del cuarto decimal significativo.

con una orbita de 20000km al centro de la tierra

$\Delta t''=\notcien{3,9683818805083366496669263017054}{-5}s$

es decir 39 microsegundos muy poco el error que cometo.

.

[DDD]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

En el enlace de Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema...amiento_global se da una información general en el epígrafe titulado "GPS y la teoría de la relatividad", acompañada de la correspondiente bibliografía. Copio a continuación los párrafos que me parecen más interesantes:

"Los relojes en los satélites GPS requieren una sincronización con los situados en tierra para lo que hay que tener en cuenta la teoría general de la relatividad y la teoría especial de la relatividad. Los tres efectos relativistas son: la dilatación del tiempo, cambio de frecuencia gravitacional, y los efectos de la excentricidad. [...]
LA RELATIVIDAD ESPECIAL Y GENERAL
[...]La relatividad especial predice que la frecuencia de los relojes atómicos moviéndose a velocidades orbitales del GPS, unos v = 4 km/s, marcan más lentamente que los relojes terrestres fijos [...], resultando un retraso de unos 7 μs/día [...]
Por el efecto de desplazamiento de frecuencia gravitacional sobre el GPS, la relatividad general predice que un reloj más cercano a un objeto masivo será más lento que un reloj más alejado. Aplicado al GPS, los receptores están mucho más cerca de la Tierra que los satélites, haciendo los relojes del GPS ser más rápido en un factor de 5 × 10 ^-10, o alrededor de 45,9 μs/día.
Al combinar la dilatación del tiempo y desplazamiento de frecuencia gravitacional, la discrepancia es de aproximadamente 38 microsegundos por día, una diferencia de 4,465 partes de 10¹⁰. [...] Además las órbitas de los satélite son elípticas, en lugar de perfectamente circulares, lo que causa que los efectos de la dilatación del tiempo y desplazamiento de la frecuencia gravitacional varíen con el tiempo. Este efecto de excentricidad hace que la diferencia de velocidad de reloj entre un satélite GPS y un receptor aumente o disminuya en función de la altitud del satélite."

[Alriga]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Richard, si quieres ajustar tu cálculo, el radio de giro de los satélites GPS es de 26.541 km.

Otra cosa, nota que en algunos de los tiempos que son microsegundos, ($\mu s$), por error mecanográfico pones milisegundos ($ms$)

La corrección por velocidad (Relatividad Especial) sería:

$t=\gamma \cdot t_0=\dfrac{t_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

La corrección por Relatividad General es:

$t=\dfrac{t_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{R \ c^2}}}$

Ver también: Error analysis for the Global Positioning System

Saludos.

[DDD]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

¿Quiere decir esto que la velocidad de la luz varía en un campo gravitatorio? Yo creo que no. Pero distancias y tiempos se distorsionan cuando se observan desde puntos con campos gravitatorios diferentes.

[FONT=Verdana]Supongamos que tenemos un reloj atómico en la azotea de un rascacielos, acoplado a una gran pantalla que marca la hora con números digitales, con una precisión que llega hasta el microsegundo (millonésima de segundo). Tenemos otro reloj atómico idéntico situado a los pies del rascacielos, inicialmente sincronizado con el primero. Ambos están, lógicamente, en reposo entre sí.[/FONT]

[FONT=Verdana]Si se espera el tiempo suficiente para que la diferencia de potencial gravitatorio entre ambos relojes atómicos provoque un desfase temporal de un microsegundo (previsto por la Relatividad General), resulta lógico que en el instante final del experimento, cuando ya se queden fijas todas las cifras en las pantallas digitales de los relojes, cualquier observador vería las mismas cifras en la pantalla del reloj que se encuentra en lo alto del rascacielos. No parece probable que la pantalla de un mismo reloj vaya a marcar una hora distinta para el observador local (subido a la azotea del rascacielos) que para el observador no-local (el que mira la misma pantalla desde abajo).[/FONT]

[FONT=Verdana]Nota: Si la altura de un rascacielos no fuese suficiente para medir este pequeño efecto de dilatación temporal, se podría instalar igualmente un reloj atómico en la barquilla de un globo aerostático, sujeto a la superficie terrestre por un larguísimo cable de acero.[/FONT]

[FONT=Verdana]Un saludo.[/FONT]

[carroza]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[FONT=Verdana]Supongamos que tenemos un reloj atómico en la azotea de un rascacielos, acoplado a una gran pantalla que marca la hora con números digitales, con una precisión que llega hasta el microsegundo (millonésima de segundo). Tenemos otro reloj atómico idéntico situado a los pies del rascacielos, inicialmente sincronizado con el primero. Ambos están, lógicamente, en reposo entre sí.[/FONT]

[FONT=Verdana]Si se espera el tiempo suficiente para que la diferencia de potencial gravitatorio entre ambos relojes atómicos provoque un desfase temporal de un microsegundo (previsto por la Relatividad General), resulta lógico que en el instante final del experimento, cuando ya se queden fijas todas las cifras en las pantallas digitales de los relojes, cualquier observador vería las mismas cifras en la pantalla del reloj que se encuentra en lo alto del rascacielos. No parece probable que la pantalla de un mismo reloj vaya a marcar una hora distinta para el observador local (subido a la azotea del rascacielos) que para el observador no-local (el que mira la misma pantalla desde abajo).[/FONT]

Hola. Voy a ir más allá en tu analogía. Si cogemos a dos gemelos, y uno lo dejamos abajo y al otro lo subimos a la torre, al cabo de mucho tiempo, veremos que el gemelo de abajo (sometido a un campo gravitatorio más intenso) es más joven que el gemelo de arriba. Esto es relatividad general pura y dura, bien comprobada experimentalmente.

Si el gemelo de arriba mide la velocidad de la luz, con su aparato de arriba, y sus reglas y relojes de arriba, le sale c. Si el gemelo de abajo mide la velocidad de la luz, con su aparato de abajo, y sus reglas y relojes de abajo, le sale c.

Sin embargo, si el gemelo de abajo, con sus reglas y relojes de abajo, analiza el experimento del aparato de arriba, le sale un valor un poquito más alto que c. Y si el gemelo de arriba, con sus reglas y relojes de arriba, analiza el experimento del aparato de abajo, le sale un valor un poco más bajo que c.

Todo esto sigue siendo relatividad general pura y dura.

Saludos

[Visitante]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Hola.

Estoy de acuerdo con Carroza en esta ultima respuesta.

Voy a añadir, por si sirve de algo, una 'curiosidad' que he visto ahora.

(Esto puede estar relacionado con el hilo de Richard 'Como influye la velocidad del
observador en el calculo...' porque la distancia propia = velocidad x tiempo propio.)

Supongamos que tenemos una masa de prueba (m) a una distancia infinita de un
agujero negro. Y dejamos 'caer' la masa 'm' en caida libre...

¿Cuanto vale la corrección del tiempo propio gravitacional cuando la masa 'm' se encuentre a una
distancia de 3 veces la distancia correspondiente al radio de Schwarzschild del agujero negro?

$\dst{\gamma_G =\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}}$

¿Cuanto vale la velocidad de 'm' a la misma distancia del AN?

Como el Potencial Efectivo de la metrica de Schw. es igual al Potencial Efectivo clasico
de la Mecanica de Newton cuando no hay momento angular, podemos hacer:

$\dst{\frac{1}{2} mv^2 = G \frac{m M}{r}= \frac{c^2}{6}}$

Y

$\dst{v^2 =\frac{1}{3} c^2}$

¿Cuanto vale la corrección del tiempo propio debido a la velocidad cuando la masa 'm' se
encuentre a la misma distancia del AN?

$\dst{\gamma_E =\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}}$

(Son exactamente iguales para todos los valores de 'r' !!!)

Y me pregunto si son 2 efectos diferentes o es el mismo efecto pero visto desde la perspectiva diferente de la RG o de la RE...

Por ejemplo, si cambiamos la masa 'm' por el rascacielos de Carroza, con sus 2 observadores,
y con todos sus instrumentos de medida...y hacemos el mismo analisis pero para
sus 2 observadores separados...¿A distancia fija? ¿A distancia variable? ¿Pasaria lo mismo?
(Porque, yo creo, habría que considerar la contraccion de longitudes de la RE...)
(O es que esta contraccion de longitudes ya está implicita en el Modelo de Schw.?
Richard solo usa la correcion de la RG en su calculo de 'GPS', asi que, deduzco
que son el mismo efecto visto desde perspectivas diferentes...(???))

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: ¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

[...]La relatividad especial predice que la frecuencia de los relojes atómicos moviéndose a velocidades orbitales del GPS, unos v = 4 km/s, marcan más lentamente que los relojes terrestres fijos [...], resultando un retraso de unos 7 μs/día [...]

Desprecie ese efecto pensando que era menor de que lo que es en realidad.

Además las órbitas de los satélite son elípticas, en lugar de perfectamente circulares, lo que causa que los efectos de la dilatación del tiempo y desplazamiento de la frecuencia gravitacional varíen con el tiempo. Este efecto de excentricidad hace que la diferencia de velocidad de reloj entre un satélite GPS y un receptor aumente o disminuya en función de la altitud del satélite."

Para intentar echar luz a como la velocidad del emisor influye, sobre medición del observador terrestre , abrí el hilo Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Richard, si quieres ajustar tu cálculo, el radio de giro de los satélites GPS es de 26.541 km.

Gracias alriga ademas halle algún otro gazapo de calculadora y obtengo $R_s=\notcien{8,8694071406672489428644044024925}{-3}m$

Otra cosa, nota que en algunos de los tiempos que son microsegundos, ($\mu s$), por error mecanográfico pones milisegundos ($ms$)

corregido, siempre atento Gracias

La corrección por Relatividad General es:


$t=\dfrac{t_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{R \ c^2}}}$

Entiendo que esa es la corrección entre la métrica de Schwarzchild (Sch)y la de Minkowski (Min) pero si el calculo se hace entre dos puntos puntos diferentes de la Métrica de Sch entonces hay una doble corrección contra la de minkowski,
$Shc_1\to Min\to Sch_2$ en definitiva es la división de las componentes de la métrica de Sch en ambos puntos , para luego tomar raiz.

(Esto puede estar relacionado con el hilo de Richard 'Como influye la velocidad del
observador en el calculo...' porque la distancia propia = velocidad x tiempo propio.)

No lo he analizado con detalle pero creo que tus $\gamma$ s deban ser iguales siempre, puede que hay una velocidad inicial sin ser ésta provocada por la caída libre. Además los efectos deben variar en función de la dirección de la velocidad radial ascendente o descendente, también vale la pena analizar el caso en que sea tangencial, para órbitas circulares o elípticas, pero no quería mezclar los temas y las dudas de cada hilo.