Avanzado Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

[Richard R Richard]

En el hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...o-gravitatorio carroza desarrollo un calculo que permitio calcular distancias y tiempos medidos por dos observadores ubicados en distintas coordenadas del espacio tiempo utilizando la Métrica de Schwarzchild.

La variante del problema que propongo analizar es que diferencia tenemos al considerar que el observador mas cercano al horizonte de sucesos se mueve con velocidad relativista v radialmente, considerando los casos en que sentido hacia el agujero negro y el contrario.

Le he dado vuelta al tema desde hace mucho tiempo y con la claridad de la explicación de ese hilo y el ejemplo de por medio mi curiosidad ha despertado nuevamente, porque creo estar un pequeño escalón más a la altura que hace un tiempo para comprenderlo y abro este nuevo hilo para no desviar la atención del otro.

Mi punto de vista es que en primer medida tengo que transformar la medición del observador solidario al sistema de referencia que se mueve con velocidad v, mediante la trasformaciones de Lorentz, para obtener la distancia propia de un observador con velocidad nula con respecto a la métrica de Schwarzchild y luego transformar esa medida para un observador en el infinito, cuya métrica en esas coordenadas es similar la de Minkowski.

Pregunto si el método es ese o cual sino entonces?.

Gracias de antemano.

[carroza]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Mi punto de vista es que en primer medida tengo que transformar la medición del observador solidario al sistema de referencia que se mueve con velocidad v, mediante la trasformaciones de Lorentz, para obtener la distancia propia de un observador con velocidad nula con respecto a la métrica de Schwarzchild y luego transformar esa medida para un observador en el infinito, cuya métrica en esas coordenadas es similar la de Minkowski.

Yo creo que sí. La cosa es que, por muy intenso que sea un campo gravitatorio, localmente (es decir, a distancias y tiempos pequeños con respecto al punto de referencia), la métrica es la de Minkowsky. Dicho de otra manera, si estoy en caida libre, y solo puedo observar unas distancias pequeñas (el interior de mi nave), no puedo darme cuenta de que estoy en un campo gravitatorio. Por tanto, localmente las transformaciones de Lorentz son perfectamente válidas, y así puedo relacionar las observaciones de distintos observadores, todos en caida libre (localmente), y a distintas velocidades.

Saludos

[Visitante]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Hola.
El calculo de orbitas, es decir, calcular (x,y,t) de una masa de prueba en torno a
una Masa central que genera un campo gravitatorio, es relativamente facil, tanto desde
el punto de vista de la Mecanica Clasica (MC) como desde la metrica de Schwarzschild (RG),
por calculo numerico.
(En el caso de la MC, 't' es tiempo absoluto. Y en el caso de la RG, 't' es tiempo propio).
Todo consiste en definir el Potencial Efectivo, uno para la MC y otro para la RG,
y luego, aplicar las leyes de Conservacion de la Energia y Conservacion del
Momento angular.
Como al final, vamos a obtener una lista de puntos (x,y,t), pues siempre podemos
calcular distancias...en el caso de la MC, será distancia absoluta y en el caso de
la RG, será distancia propia. (Velocidades y lo que queramos calcular...)

(Ver ´´Geodesicas en la metrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numerico´´
de Rafael Zamora Ramos. Universidad de Sevilla.)

1.- Si el calculo está bien hecho...la orbita debe cumplir las Leyes de Kepler para
el caso de la MC.
2.- La unica diferencia entre los 2 calculos es la funcion del Potencial Efectivo.
3.- Si para los 2 Modelos, tomamos los mismos parametros iniciales, y en los
2 casos tomamos una distancia a la Masa central suficientemente grande,
debemos obtener casi los mismos resultados.
(Distancia absoluta = Distancia propia y Tiempo absoluto = Tiempo propio)
4.- Con estos 2 cálculos (programas), se puede jugar con todos los casos posibles en
funcion de los 2 parametros fundamentales, Momento angular inicial y
Nivel de Energia inicial...y comparar resultados.

En resumen:
No veo en este proceso una correcion de tiempos propios por velocidad...
(que seria propia de la Relatividad Especial).

Y esto está relacionado con el hilo ´Cuanto vale la velocidad de la luz en
un campo gravitatorio?´´

Me imagino que si en el Sistema GPS se hacen correcciones por altura y
velocidad, deben ser de tipo 'practico' y no teorico...
Los satelites deben seguir teoricamente geodesicas y la unica correccion que
deberia hacerse con sus relojes deberia ser por altura...(La Luna, el Sol, pequeñas
diferencias en el campo gravitatorio de la Tierra...deben alterar sus orbitas y
por ende, sus tiempos propios).
Pero los relojes terrestres, si deben tener correcciones por altura y velocidad porque
están situados a diferente altura, tienen diferentes velocidades de rotación, no se
corresponden al geoide teorico y estos no siguen ninguna geodesica.
(Estamos hablando de correcciones de nano.segundos...).

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

1.- Si el calculo está bien hecho...la orbita debe cumplir las Leyes de Kepler para
el caso de la MC.

Para velocidades bajas de órbita, seguro.

2.- La unica diferencia entre los 2 calculos es la funcion del Potencial Efectivo.

Son matematicas diferentes claro y en los limites de bajas velocidades u observadores lejanos, se reducen en complejidad notablemente, y son similares.

3.- Si para los 2 Modelos, tomamos los mismos parametros iniciales, y en los
2 casos tomamos una distancia a la Masa central suficientemente grande,
debemos obtener casi los mismos resultados.

Aqui disiento , pues el objeto del hilo es estudiar los efectos de la curvatura y de las altas velocidades..... a mi parecer las velocidades relativistas tienen que jugar un papel importante, no es lo mismo el potencial con velocidad tangencial nula que con velocidad 0.99c, y no es igual hacer el calculo con mecanica clasica, que si hacemos el calculo relativisticamente, al menos yo no se como se cuela la velocidad del "observador" a los tensores de la RG para que las geodésicas de caida libre sean orbitas.
Puse al observador entre comillas para referirme a un sistema de referencia que se mueva solidario al observador o viceversa.

No veo en este proceso una corrección de tiempos propios por velocidad...
(que seria propia de la Relatividad Especial).

Pues entonces el tensor de energía "momento" de la RG debería ser el mismo con velocidad que sin velocidad, y lo dudo, la RG dice que podemos trasformar las medidas de un SR en otro transportandolo paralelamente, pero la medida local me temo que es influida por la velocidad del sistema de referencia, pues esta velocidad es independiente de la curvatura de la métrica en el punto analizado.

No se si esto es cierto, divulgativa y teóricamente, un ejemplo numérico requiere una tarea laboriosa, pero al menos quiero entenderlo, para ver si alguna vez a futuro en alguna entrada de mi blog, me animo a poner un ejemplo numérico completo resuelto.

Como ejemplo arrancaría con el siguiente ,supongamos un agujero negro supermasivo central, y alejado de él un planeta arrancado de su órbita con respecto a su estrella creadora, supongamos que el tirón que recibió cuando le quitaron a su estrella fue tal que su velocidad se incremento tanto como para ponerlo a orbitar el AN, cual sería su velocidad orbital? mucho mayor a la que tiene la tierra con el sol no? bueno me pregunto si su velocidad es elevada en términos relativistas cual es el efecto de la velocidad orbital sobre un sistema de referencia en el planeta, sera el mismo si el planeta solo cayera radialmente hacia el AN? me temo que no.

[Alriga]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

... Si para los 2 Modelos, tomamos los mismos parámetros iniciales, y en los 2 casos tomamos una distancia a la Masa central suficientemente grande, debemos obtener casi los mismos resultados ...

... Aquí disiento, pues el objeto del hilo es estudiar los efectos de la curvatura y de las altas velocidades..... a mi parecer las velocidades relativistas tienen que jugar un papel importante, no es lo mismo el potencial con velocidad tangencial nula que con velocidad 0.99c, y no es igual hacer el calculo con mecánica clásica, que si hacemos el cálculo relativísticamente, ...

Perdonad que me entrometa, pero entiendo que si la distancia es lo suficientemente grande como plantea FVPI, entonces la velocidad deberá ser necesariamente pequeña, puesto que la velocidad es (aproximadamente) inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia:

$v \sim \dfrac 1 {\sqrt r}$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Quisiera ser mas claro con la profundidad de la pregunta. Aver si puedo

La tierra gira alrededor del sol a 30km/s si la masa del sol fuera 100 veces mas grande, debería hacerlo a una velocidad 10 veces superior ya que

$v\sim \sqrt{M}$

Si conservamos el radio de giro pero la masa es mil millones de veces la del sol como aparenta tener Sagitario A un planeta que lo orbite debería girar muy próximo a $c$.

Permítanme olvidar el efecto de marea que desgarraría el planeta al primer intento de giro sobre su propio eje, y que despreciemos la gravedad propia del planeta , pues eso hace la métrica de Schwarzchild.( métrica en el vacío para objetos de masa despreciable y con el objeto central masivo con simetría esférica).

hay tres forma de tener un observador en una posición $(t,r,\theta,\phi)$

• Un observador fijo en el punto, es un habitante acelerado.
• Un observador en caída libre,en dirección radial, es un SRI o no?, su velocidad depende de las condiciones iniciales del problema.
• Y un observador solidario al planeta , o solamente cualquier objeto que orbite el AN con velocidad relativista,

Pensandolo bien los dos ultimos estan en caida libre.Pero en este último caso el tiempo debe ser muy distinto al que mida el observador lejano, incluso puedo entender que los tres tiempos son claramente distintos, pero como se calcula cado uno?



El calculo de carroza del otro hilo, es util para el instante t=0 pero cuando el objeto se mueve, como entra al calculo su energía cinetica?

por ahí viene los tiros de lo que quiero consultar.

[carroza]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

A ver, imaginemos que tengo una nave cuya longitud, por construcción, es 100 m. Nos olvidamos por ahora de campos gravitatorios.

Si la observo desde un sistema de referencia que se mueve con velocidad cero desde la nave, mido una longitud de 100 m (la longitud propia). Si la observo desde un sistema de referencia que se mueve a 0.6 c con respecto a la nave, veo la nave con la contracción de Lorentz, o sea con una longitud de 80 metros. Si la observo desde un sistema de referencia acelerado, pero que en el instante de medida se mueve con velocidad cero con respecto a la nave, la veré con su longitud propia, 100 m. Si la observo desde un sistema de referencia acelerado, pero que en el instante de la medida se mueve a 0.6 c con respecto a la nave, la veré contraida, con 80 m.

Ahora usamos el principio de equivalencia, y sustituimos campos gravitatorios por sistemas acelerados.

Saludos

[Visitante]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Siento discrepar con Carroza y con Richard.

O bien estamos hablando de RE...Donde no hay campos gravitatorios ni movimientos
acelerados...O bien estamos hablando de RG, y en particular de la metrica de Schwarzschild...
donde hay 1 solo campo gravitatorio y 1 solo sistema de referencia.

1.- En RG, el factor de contraccion de Lorentz de la RE:

$\dst{\gamma_E =\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Está sustituido por el factor de contraccion de Schwarzschild:

$\dst{\gamma_G =\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}}$

2.- No veo como se puede expresar la metrica de Schwarzschild desde otro punto
diferente del centro del agujero negro central porque esto supondría complicar
las ecuaciones y yo creo que no tendría mucho sentido.

3.- Esto de tratar la RG como si fuese una integral de la RE es un 'truco' que solo
sirve para justificar problemas del tipo ¿Como se veria desde un sistema de referencia..?
Pero no justifica de ninguna manera el movimiento acelerado de ninguna masa de prueba.

4.- Siempre podemos calcular problemas del tipo ¿Como se veria una masa de prueba 'm1'
en orbita alrededor de un AN desde otra masa de prueba 'm0' en orbita alrededor del
mismo AN...? Pero para esto, primero debemos calcular la orbita de 'm1' (x1,y1,t1)
y la de 'm0' (x0,y0,t0) y para esto necesitamos la metrica de Schwarzschild de la RG y no la RE...
(Aunque esto es bastante complicado porque los fotones no siguen trayectorias rectas).

5.- Si añadimos aceleraciones extras, entonces ya no estamos hablando de RG y entonces,
SI, debemos hacer correcciones del tiempo propio por gravedad y por velocidad...
Por ejemplo: Un reloj situado en el Polo Norte y uno situado en el Ecuador, deben
corregirse por altura, porque el Polo Norte está mas cerca del centro de la Tierra
que el Ecuador...y esto debe corregirse por RG...Y debe corregirse por RE porque
el reloj del Polo Norte no tiene velocidad tangencial pero el del Ecuador, si tiene
velocidad tangencial...

Gracias y un saludo.

[carroza]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

O bien estamos hablando de RE...Donde no hay campos gravitatorios ni movimientos
acelerados...

Hola. Esto es incorrecto, y es un tema que conviene aclarar.

Para ello, comparemos la mecánica clásica, la relatividad especial y la relatividad general.

1. En mecánica clásica, el espacio y el tiempo son absolutos. Se aplican las transformaciones de Galileo. Y, por supuesto, hay movimientos acelerados (segunda ley de Newton), y también hay campos gravitatorios (ley de la gravitación de newton).

2. En relatividad especial, el espacio-tiempo es plano. La métrica es la de Minkowsky. Se aplican las transformaciones de Lorentz. Por supuesto, hay movimientos acelerados. En particular, la electrodinámica clásica gobierna los movimientos acelerados de particulas cargadas en campos electromagnéticos. El ejemplo más claro de estos movimientos acelerados los da el movimiento de electrones, muones u otras particulas en aceleradores, en los que se observan efectos de la relatividad especial como el incremento de la masa, o la dilatación del tiempo. Con respecto a la gravedad, no hay ningun problema en incluirla en relatividad especial de la misma manera que se hace en mecánica clásica, mediante un potencial externo. Esto nos daría una descripción más precisa que la gravedad de Newton, pero menos que la relatividad general.

3. En relatividad general, el espacio tiempo tiene una geometría arbitraria. La métrica es la que resulte de resolver las ecuaciones de Einstein. Las transformaciones de coordenadas son totalmente generales. Hay, como en los otros casos, movimientos acelerados, que se deben a fuerzas no gravitatorias, como pueden ser las electromagnéticas. La gravedad no requiere ya un potencial externo como en los casos anteriores, sino que surge implícita en la curvatura del espacio-tiempo.

En resumen, la mecánica clásica es un caso particular de la relatividad especial (para velocidades pequeñas), y la relatividad especial es un caso particular de la relatividad general (para campos gravitatorios débiles). Todo lo que está en la mecáncia clásica (movimientos acelerados y campos gravitatorios incluidos), también está en la relatividad especial, y en la relatividad general. Lo que ocurre es que la relatividad especial es más precisa que la mecánica clásica (porque incluye contracciones espaciales, dilataciones temporales y modificación de la masa), y la relatividad general es más precisa que la relatividad espacial (porque incluye curvatura del espacio tiempo).


Saludos

[Richard R Richard]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

5.- Si añadimos aceleraciones extras, entonces ya no estamos hablando de RG y entonces,
SI, debemos hacer correcciones del tiempo propio por gravedad y por velocidad...
Por ejemplo: Un reloj situado en el Polo Norte y uno situado en el Ecuador, deben
corregirse por altura, porque el Polo Norte está mas cerca del centro de la Tierra
que el Ecuador...y esto debe corregirse por RG...Y debe corregirse por RE porque
el reloj del Polo Norte no tiene velocidad tangencial pero el del Ecuador, si tiene
velocidad tangencial...

para mi es totalmente cierto, el tema es como se hacen simultaneamente esas correcciones, para cualquier combinación de masa, velocidad de rotación y radio.

con respecto a las afirmaciones de carroza, me interesa repasarlas , solo con la intención de ver si he aprendido algo.

RG nos permite calcular la trayectoria en función de geodesias definidas como

$$\begin{cases}<br /> \cfrac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \cfrac{dx^\sigma}{ds}\cfrac{dx^\nu}{ds} = 0 \\<br /> x(0) = x_0 \quad \cfrac{dx}{ds} \Big|_{x_0} = \mathbf{v} \end{cases}<br />$$

Según lo veo la velocidad del objeto es un parámetro o condición inicial que nos permitirá calcular cualquier trayectoria.

Del mismo modo en la mecánica clásica necesitabamos el potencial efectivo para saber que tipo de trayectoria se obtendría.

Pero con el tiempo se me escapaba la idea, pero ahora he visto que solo es necesario conocer el modulo de la velocidad en el punto y aplicar las transformaciones de lorentz, entonces sin importar hacia adonde apunte el vector velocidad, el $\gamma_E$ sera el mismo para ese modulo tal cual lo dice la RE y el $\gamma_G$ variara en funcion la distancia al centro el AN o el radio como denominamos en la métrica de Schwarzchild.

porque? porque $v$ puede tener componentes tales como $\frac{\partial r}{\partial t}$ ,o puede ser $r\frac{\partial \theta}{\partial t}=r\omega$ y tambien $r\sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t}$ o la combinación de todas ellas pero el factor $\gamma_E$ depende solo de su modulo(siempre en RE vimos que las contracciones y dilataciones son observables en dirección tangencial al movimiento y no en la normal es decir dos observadores que corren paralelos a la misma velocidad , tienen las mismas transformaciones ) así se puede transportar la medida de un objeto móvil a uno fijo en ese mismo punto del espacio tiempo.
Luego aplicando los conceptos del otro hilo que se ha abierto $\gamma_E$ depende solo la posición radial,

Releyendo el hilo ,me doy cuenta que es justo lo que me has contestado en el primer post, solo que ahora creo entenderlo.

entonces

1.- En RG, el factor de contraccion de Lorentz de la RE:

$\dst{\gamma_E =\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Está sustituido por el factor de contraccion de Schwarzschild:

$\dst{\gamma_G =\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}}$

No es así no es una sustitución de uno por otro sino que ambos se aplican a la vez. Intuyo se multiplican o dividen en función de la posición de los observadores y por supuesto la combinación de ambos factores no puede arrojar velocidad c a un objeto para un observador y una diferente para otro cusalquiera sea su estado de movimiento.


Gracias

[Visitante]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Bueno.
- Si usamos solo RE, (con campos extra añadidos...como dice Carroza),
solo usaremos $\dst{\gamma_E}$ y no encontraremos $\dst{\gamma_G}$.
- Si usamos solo RG, (metrica de Schwarzschild), usaremos $\dst{\gamma_G}$
y no encontraremos $\dst{\gamma_E}$ . Porque los efectos de contraccion de
longitudes y dilatación del tiempo ya están incluidos en la propia metrica cuando las
trayectorias son geodesicas.
- Pero si usamos RG con trayectorias de masas de prueba que no son geodesicas, entonces
tendremos que usar $\dst{\gamma_E}$ y $\dst{\gamma_G}$.
- Lo que no sé es si estos dos factores combinados de suman o se multiplican o que...???
Un saludo.

[Alriga]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

... lo que no sé es si estos dos factores combinados de suman o se multiplican o que...??? ...

Observa que en el caso de GPS calculan las influencias de cada factor por separado y a continuación las suman:

1) R.E. ralentización de $7.2138 \ \mu s/dia$ del reloj del satélite respecto del de tierra.

2) R.G. ralentización de $45.8377 \ \mu s/dia$ del reloj de tierra respecto del reloj del satélite.

$\text{TOTAL} = 45.8377-7.2138 = 38.8624 \ \mu s/dia$ es lo que adelanta el reloj del satélite respecto del de tierra.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Creo que puedo postear un problema numéricamente, para desglosarlo completo.

Tenemos un observador A que se mueve en una órbita supongamos circular a una distancia de $\frac 43 R_s$ de un agujero negro, supongamos también que su velocidad orbital es 0.8c.
Contamos con otro observador B que se ubica fijo a una distancia de $\frac 32 R_s$ del agujero negro.

El observador hace 4 mediciones de eventos próximos a su sistema de referencia.

	t	r	$\theta$	$\phi$
1	0	$\frac 43 Rs$	0	0
2	0	$\frac 43 Rs$	1	0
3	1ms	$\frac 43 Rs$	0	0
4	1ms	$\frac 43 Rs$	1	0

Lo que pretendemos es ver que lecturas tomará el observador B.

Lo que primero hacemos es transformar estas medidas a un sistema de referencia fijo en $\frac 43 Rs$

sabemos que $v=0.8c$ sus componentes son

$V_r=\frac{\partial r}{\partial t}=0$
$V_{\theta}=\frac 43 Rs\omega=0.8c$
$V_{\phi}=0$

de aqui $\gamma_E=\gamma_{\theta}=\frac {5}{3}$

$x=\theta r$

las medidas se transformaran como

	$t'=\gamma_E(t+xv/c^2)$	r'=r	$r\theta'=\gamma_{\theta}(r\theta+r\omega t)$	$\phi'=\phi$
A	0	$\frac 43 Rs$	0	0
B	0	$\frac 43 Rs$	$\frac 53(\frac 43 Rs \cdot 1+\frac 43 Rs \dfrac{3\cdot 0.8c 0}{4Rs}=\dfrac{20}{9}Rs$	0
C	$\frac 53 \cdot (1ms+0) =\frac 53 ms$	$\frac 43 Rs$	$\frac 53(\frac 43 Rs \cdot 0+\frac 43 Rs \dfrac{3\cdot 0.8c 1ms}{4Rs}=\dfrac{1}{750}c$	0
D	$\frac 53\cdot (1ms+0) =\frac 53 ms$	$\frac 43 Rs$	$\frac 53(\frac 43 Rs \cdot 1+\frac 43 Rs \dfrac{3\cdot 0.8c 1ms}{4Rs}=\dfrac {20}{9}Rs+\dfrac{1}{750}c<br />$	0

luego tenemos que convertir esas mediciones a lo observaría alguien ubicado a $\frac 32 Rs$

la equivalencia entre sistemas de referencia queda dada por la invariancia de la distancia propia

$ds_1^2 = (1-{R_s \over R_1}) c^2 dT_1^2 - (1-{R_s \over R_1})^{-1} dR_1^2 = \dfrac14 c^2 dT_1^2 - 4 dR_1^2=$$\dfrac13 c^2 dT_2^2 - 3 dR_2^2= (1-{R_s \over R_2}) c^2 dT_2^2 - (1-{R_s \over R_2})^{-1} dR_2^2=ds_2^2$


al no hacer torsiones se puede ver que


$\dfrac14 c^2 dT_1^2 = \dfrac13 c^2 dT_2^2$

$dT_2=\sqrt{\dfrac 34}dT_1$

Ademas

$- 4 dR_1^2= - 3 dR_2^2$

$dR_2=\sqrt{\dfrac 43}dR_1$

el resto de las componentes no se modifican

Por lo que las medidas para un observador fijo en $R_2$ seran

	$T_2=\sqrt{\dfrac 34}t'$	$R_2=\sqrt{\dfrac 43}r'$	$R_2\theta_2=r'\theta'$	$R_2\sin\theta_2\phi_2=r'\sin\theta'\phi'$
A	0	$\frac 43 \sqrt{\dfrac 43}Rs=\left [ \dfrac 43\right ]^{\frac32}$	0	0
B	0	$\left [ \dfrac 43\right ]^{\frac32}$	$\dfrac{20}{9}Rs$	0
C	$\frac 53 \cdot \sqrt{\dfrac 34} =\frac {5}{2\sqrt 3} ms$	$\left [ \dfrac 43\right ]^{\frac32}$	$\dfrac{1}{750}c$	0
D	$\frac {5}{2\sqrt 3} ms$	$\left [ \dfrac 43\right ]^{\frac32}$	$\dfrac {20}{9}Rs+\dfrac{1}{750}c<br />$	0

para un lapso de tiempo $\Delta t=T_A+T_C$ del observador A el lapso observado por B es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es decir $\frac {5}{2\sqrt 3}$ veces $\Delta t$ no lo veo como una suma y resta directa.

Si bien el caso de los satélites es diferente al que expuse, no creo que lleguen a esa suma y resta, de momento lo veo como forma simplificada de como plantear la solución. Para dar una analogía, pienso que en ese caso, la suma sería el uso de polinomios de Taylor para hallar el valor de una función, algo muy aproximado pero no exacto.

Me gustaria leer alguna critica al respecto.

Voy a tratar de resolver del mismo modo el problema de los satélites GPS con datos lo mas próximos a la realidad, y lo posteare en mi blog, si no me equivoco de concepto ahora y si logro algo que cuadre con la realidad,claro esta.

Saludos

[Visitante]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Lo siento Richard.
Creo que si quieres que el observador A siga una orbita circular alrededor del AN
a 4/3 R_s...no puedes asignar cualquier velocidad...

Esto lo puedes hacer calculando el Momento angular (L) del observador A para
R = 4/3 x R_s:

$\dst{V_{ef} =\frac{L^2}{2mR^2}- \frac{GMm}{R} - \frac{GML^2}{mc^2R^3}= 0}$

(Puedes hacer lo mismo para el observador B)

Las orbitas en la métrica de Schw. se calculan con estas 3 ecuaciones:

$\dst{V_{ef} =\frac{L^2}{2mR^2}- \frac{GMm}{R} - \frac{GML^2}{mc^2R^3}}$

$\dst{\frac{1}{2} E_0^2= m (\frac{dR}{d\tau })^2 - V_{ef} = cte}$

$\dst{L\: d\tau = m R^2d\theta}$

Gracias y un saludo.

P.S.
Ten en cuenta que los fotones a estas distancias que has escogido no siguen trayectorias rectas. Y a estas
distancias, un foton emitido por A, nunca llegará a B sino que caerá en el horizonte de sucesos. (Hay una
'zona gris' que vale 2 x R_s donde los fotones después de describir orbitas caen sobre el agujero negro...

[Richard R Richard]

Re: Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio

Hola FVPI , con tal de hacer números fáciles no me había planteado la situación que expones, he visto que si $R<2R_S$ entonces para seguir una órbita circular cualquier masa $m$ debe ir a mayor velocidad que $c$???

entonces debo replantearme el problema, quiza en otro momento de mayor lucidez.