1r ciclo Desintegración de pion

[HanT]

Buenas tengo una duda respecto a este ejercicio:

Un pion que viaja a velocidad $v$ se desintegra en un muon y un neutrino. El neutrino emerge a 90º de la dirección original del pion, ¿a qué ángulo emerge el muon?.

Planteo la conservación de la energía y la del momento:

$E_\pi=E_\mu+E_\nu$

$\vec{p}_\pi=\vec{p}_\mu+\vec{p}_\nu$

Momento:

-Eje x: $p_\pi=p_\mu\cos\theta$
-Eje y: $p_\nu-p_mu\sin\theta=0$

$\tan \theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta }=\frac{p_\nu}{p_\pi}$


Hasta aquí llega el solucionario, aunque por otra vía. Mi duda viene a la hora de calcular $p_\nu$. Yo planteo lo siguiente:

$E_\pi=m_\pi \gamma_\pi c^2$
$E_\mu=m_\mu \gamma_\mu c^2$
$E_\nu=p_\nu c$

Usando la conservación de la energía:

$m_\pi \gamma_\pi c^2=m_\mu \gamma_\mu c^2+p_\nu c$

Despejando:

$p_ \nu=(m_\pi \gamma_\pi-m_\mu \gamma_\mu)c$

Sin embargo en el solucionario llega a que:

$(m_\pi^2-m_\mu^2)c^2=2\gamma_\pi m_\pi p_\nu c$

y como resultado final algo diferente a lo que obtengo también. Quería saber si hago algo mal, o sin son equivalentes las expresiones o no sé.

Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Desintegración de pion

$E_\pi=E_\mu+E_\nu$

$\vec{p}_\pi=\vec{p}_\mu+\vec{p}_\nu$

correcto

Ahora aclaremos algunas suposiciones que has hecho porque sino no se ve de donde salen las cosas

el angulo inicial $\beta$ con que inicia el movimiento con velocidad $v$ el Pion es nulo con respecto a tu sistema de referencia.

asi

Momento:

-Eje x: $p_{\pi_x}=p_{\pi}\cos \beta =p_{\mu}\cos\theta+p_{\nu}\cos 90^o$

entonces

$$p_{\pi}=p_{\mu}\cos\theta$$

-Eje y: $p_{\pi_y}=p_{\pi}\sin \beta =0=p_{\nu}\sin 90^o-p_{\mu}\sin\theta$

entonces

$$p_{\nu}=p_{\mu}\sin\theta$$

de 1 y 2

$$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta }=\dfrac{p_\nu}{p_\pi}$$

osea vas bien

Hasta aquí llega el solucionario, aunque por otra vía. Mi duda viene a la hora de calcular $p_{\nu}$. Yo planteo lo siguiente:

creo que eso esta mal debería ser

$$E_{\pi}=\frac 12 m_{\pi} \gamma_{\pi} v_{\pi}^2$$

$$E_{\mu}=\frac 12m_{\mu} \gamma_{\mu} v_{\mu}^2$$

$$E_{\nu}=p_{\nu} c$$

$$v_{\mu}=\dfrac{p_{\mu}}{m_{\mu}\gamma_{\mu}}$$

vuelve a usar la conservación de la energía a aver si te da

[HanT]

Re: Desintegración de pion

Efectivamente ese es el planteamiento que he hecho. Gracias por aclararlo.

Puede ser que esté mal la expresión que he puesto pero he resuelto otros ejercicios con ella, y es la que hemos deducido ymanejado en la teoría junto a $E^2=p^2c^2+m^2c^4$

No sé que decirte. A ver si alguien puede aclararlo.

Gracias por la ayuda.

[Richard R Richard]

Re: Desintegración de pion

puede ser que me equivoque yo he planteado la conservación de la energía cinética,

fijate si te sirve https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%...ca_relativista

asi

$E_{\pi}=E_{\mu}+E_{\nu}$

si

$<br /> E^2=p^2c^2+m^2c^4$

entonces

$\sqrt{p_{\pi}^2c^2+m_{\pi}^2c^4}=\sqrt{p_{\mu}^2c^2+m_{\mu}^2c^4}+p_{\nu} c$

[The Higgs Particle]

Re: Desintegración de pion

$E_\nu=p_\nu c$

Esto estrictamente está mal. El neutrino ni es una partícula sin masa ni viaja exactamente a la velocidad de la luz.

$<br /> E^2=p^2c^2+m^2c^4$

Pero eso es la ecuación de la energía total (cinética + energía en reposo)



Y la energía cinética, que yo sepa, no se conserva. De hecho, parte de la energía en reposo del pión inicial - es decir, energía e ligadura - se va a invertir en dar energía cinética a los productos.

[arivasm]

Re: Desintegración de pion

Esto estrictamente está mal. El neutrino ni es una partícula sin masa ni viaja exactamente a la velocidad de la luz.

Pero su masa (en reposo, si se prefiere decirlo así) es tan pequeña que es usual manejarla como si fuese nula, lo que equivale a aproximar su velocidad con la de la luz.

Sobre el ejercicio: Yo no veo error en el planteamiento de HanT. Tan sólo señalar que la expresión que escribe HanT incluye el $\gamma_\mu$, mientras que en la del solucionario no.

Por supuesto, se trata de un ejercicio de conservación del cuadrimomento.

Como $p_\pi=p_\mu\cos\theta$ y $p_\nu=p_\mu\sin\theta$, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro tenemos que $p_\pi^2+p_\nu^2=p_\mu^2$ (este resultado lo usaremos enseguida). Por otra parte tenemos que $E_\pi=E_\mu+E_\nu$, que, para llegar con cierta comodidad al resultado del solucionario, escribiremos como $E_\mu=E_\pi-E_\nu$.

De manera explícita, esta última igualdad es

$\sqrt{p_\mu^2 c^2+m_\mu^2c^4}=\sqrt{p_\pi^2 c^2+m_\pi^2c^4}-p_\nu c$

Elevando al cuadrado, y teniendo en cuenta la relación anterior encontramos que

$m_\mu^2c^4=m_\pi^2c^4-2p_\nu c\sqrt{p_\pi^2 c^2+m_\pi^2c^4}=m_\pi^2c^4-2p_\nu c E_\pi = m_\pi^2c^4-2p_\nu c \gamma_\pi m_\pi c^2$

de donde resulta inmediatamente lo que pone el solucionario.

[The Higgs Particle]

Re: Desintegración de pion

Pero su masa (en reposo, si se prefiere decirlo así) es tan pequeña que es usual manejarla como si fuese nula, lo que equivale a aproximar su velocidad con la de la luz

Claro, por eso he dicho que no es *estrictamente* correcto pero no le he dado más vueltas (de hecho he leído que es (0.12 eV/c², ¡5 veces menos que un mísero electrón!)), pero no ha explicado por qué hace esa aproximación. Así a simple vista parece un error (aunque imagino que HanT sí lo sabe ) y, dependiendo de lo estricto que sea el profesor, puede restarte nota por ello. Me estoy haciendo a los profesores tiquismiquis, Arivasm!

Un saludo

[Alriga]

Re: Desintegración de pion

... por eso he dicho que no es *estrictamente* correcto pero no le he dado más vueltas ... de hecho he leído que es 0.12 eV/c² ...

Ese es un límite superior dado por determinados experimentos, la masa real del neutrino es aún desconocida.

... ¡5 veces menos que un mísero electrón! ...

No, la masa de un electrón es 511 keV/c², por lo tanto ese límite superior para la masa del neutrino es 4.26 millones de veces inferior a la masa del electrón.

Saludos.

[HanT]

Re: Desintegración de pion

Muchas gracias a todos, me han sido muy útiles vuestras intervenciones.

[Alriga]

Re: Desintegración de pion

HanT, no sé si has visto que aquí hay aplicadas estas reglas de conservación a otro problema, échale un vistazo a ver si te es útil, saludos: http://forum.lawebdefisica.com/entri...-el-vac%C3%ADo

[HanT]

Re: Desintegración de pion

Le echaré un vistazo

Un saludo.

[The Higgs Particle]

Re: Desintegración de pion

No, la masa de un electrón es 511 keV/c², por lo tanto ese límite superior para la masa del neutrino es es 4.26 millones de veces inferior a la masa del electrón.

He leído genial, vaya