Divulgación Representaciones matriciales y relatividad general

[inakigarber]

Buenas noches;
Siguiendo este foro, me encuentro con un texto que me está causando problemas;
Cuando dice el siguiente texto;
[FONT=Georgia]la representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notación matricial [/FONT][FONT=Georgia]compacta[/FONT][FONT=Georgia] resulta ser:
[/FONT]A continuación aparece una expresión matricial en forma compacta que no consigo escribir en Latex;
Me gustaría saber si dicha expresión se corresponde con lo que creo haber entendido (en forma matricial)
$X^t=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3\\x_4 \end{pmatrix}$
$\Lambda^t=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 &x_3& x_4 \end{pmatrix}$
$G=\begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 &x_3&x_4 \end{pmatrix}$
$\Lambda=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3\\ x_4 \end{pmatrix}$
¿Sería esto asi?
$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3\\x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 & x_2 &x_3& x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 & x_2 &x_3&x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3\\ x_4 \end{pmatrix}$
Lo cual no estoy muy seguro de que sea muy acertado.
¿Como se representaría dicha expresión en forma no compacta?
Saludos y gracias;

[Lorentz]

Re: Representaciones matriciales y relatividad general

Buenas, la matriz $\Lambda$ se está refiriendo a la matriz de Lorentz, además para que se pueda realizar el producto matricial es necesario que $X^T$ sea un vector renglón. Entonces, la representación matricial de $X^T \Lambda^T G \Lambda X$ se escribiría si no me equivoco:

$(x_1, x_2 ,x_3, x_4) \begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$


Lo único que yo diría que se podría simplificar, teniendo en cuenta:

$\begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$

De modo que:

$(x_1, x_2 ,x_3, x_4)$$\begin{pmatrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\0 & 0 & 1 & 0 \hspace{0.05 cm} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \hspace{0.05 cm} \end{pmatrix}$


Un saludo

[inakigarber]

Re: Representaciones matriciales y relatividad general

Gracias por tu respuesta, creo que ahora empiezo a tenerlo mas claro. Seguiré tratando el tema.