2o ciclo Notación tensorial en la métrica de Minkowski

[Lorentz]

Buenas a todos,

Mi duda es la siguiente. ¿Cuál es el motivo de que la matriz de Lorentz en notación tensorial venga representada como un tensor mixto?
Porque siempre que lo veo escrito me viene del siguiente modo:

$x'^\mu=\Lambda_{\nu}^{\mu} x^\nu$

Puede que sea porque todavía no tengo una base sólida en cálculo tensorial pero no veo por qué motivo esto no podría ser

$x'^\mu=\Lambda_{\mu \nu} x^\nu$.

Aunque tengo una idea en mente y que es la siguiente:

Si es un tensor mixto se cumple la condición de que sea mantenga la métrica de Minkowski invariante.

Es decir, $g_{ij} a_{r}^{i} a_{s}^{j} =g_{rs}$, o escrito en notación matricial $A^TGA=G$.

Pero tengo un poco de lío, así que agradecería cualquier cosa que me pudiérais decir.

Un saludo

[Mossy]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

Hola,

si fuera como tú dices convertirías un 4-vector contravariante en uno covariante, pues has de respetar la posición de los índices. Esta operación no se puede hacer a través de la matriz de transformación, sino que se hace a través de la métrica. El convenio es que índices repetidos arriba y abajo se suman, y que todos los sumandos dentro de un mismo miembro y al otro lado de una ecuación han de tener los mismos índices en las mismas posiciones (a no ser que estén contraídos). No puedes poner el mu abajo y luego al otro lado arriba, eso no está bien. Índices arriba o abajo no son lo mismo, sobre todo en relatividad general.

Saludos

[Lorentz]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

Hola Mossy, primero, gracias por contestar
Perdona pero no me ha quedado del todo claro, si no te importa, podría exponerte mis dudas?

El convenio es que índices repetidos arriba y abajo se suman, y que todos los sumandos dentro de un mismo miembro y al otro lado de una ecuación han de tener los mismos índices en las mismas posiciones (a no ser que estén contraídos).

Podrías ejemplificarme esto que mencionas por favor? La segunda parte de la frase me resulta algo confusa.

si fuera como tú dices convertirías un 4-vector contravariante en uno covariante, pues has de respetar la posición de los índices. Esta operación no se puede hacer a través de la matriz de transformación, sino que se hace a través de la métrica.

Sí, a eso no le veía problema, si no me equivoco escrito matemáticamente es así $dx_{\mu}=g_{\mu \nu} dx^\nu$. El problema es que no comprendo por qué los índices deben estar colocados de ese modo en $\Lambda$. Según tengo entendido superíndices indican componentes contravariantes del tensor y subíndices covariantes, pero por qué deben estar donde están en $\Lambda$ el $\mu$ arriba y el $\nu$ abajo para que la operación mantenga el cuadrivector contravariante en el otro sistema?

Un saludo

[Mossy]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

Por ejemplo, esto está bien $A^{\mu}_{\nu \sigma} + B^{\mu}_{\nu \sigma \lambda} C^{\lambda \mu}_{\nu \sigma} = D^{\mu}_{\nu \sigma}$ pues se respeta la posición de los tres índices libres $\mu$, $\nu$ y $\sigma$ y el índice $\lambda$ es mudo pues está contraído, es decir, que se está sumando en todos los posibles valores del índice. Por el contrario, esto está mal $A^{\mu} + B_{\mu} = C^{\mu}$ pues no estás respetando la posición de los índices libres (arriba y abajo, contravariante y covariante); has de tener los mismos índices en la misma posición en todos los sumandos, y a ambos miembros de las ecuaciones. Si tienes algún índice contraído no cuenta, pues está sumado.

Ahora según esto, el sistema de ecuaciones de la transformación viene dada por

$\displaystyle x'^0 = \Lambda ^0_0 x^0 + \Lambda ^0_1 x^1+ ...$
$\displaystyle x'^1=\Lambda ^1_0 x^0+\Lambda ^1_1 x^1 + ...$

Que en notación tensorial vendrá condensado en $x'^{\mu} = \Lambda ^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$. De esta forma, el convenio de suma de índices está activo y preservas el carácter contravariante del tensor. Te da igual que la matriz tenga índices mixtos, sigue siendo una matriz con sus filas y sus columnas.

[Lorentz]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

De acuerdo, muchas gracias, me ha resultado útil tu explicación para entender mejor otros conceptos, aunque realmente lo que estaba buscando era el siguiente resultado que he encontrado en unos apuntes que me ha proporcionado hoy un amigo:

Sea $E$ un espacio de dimensión finita, entonces los tensores de tipo $(1,1)$ son los endomorfismos de $E$. Esto indica que al ser $\Lambda$ efectivamente un endomorfismo, se puede expresar como un tensor contravariante en $\mu$ y covariante en $\nu$. Correspondiendo $\mu$ a las filas de la matriz y $\nu$ a las columnas, si no me equivoco.

Un saludo, y gracias de nuevo.

[Weip]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

De acuerdo, muchas gracias, me ha resultado útil tu explicación para entender mejor otros conceptos, aunque realmente lo que estaba buscando era el siguiente resultado que he encontrado en unos apuntes que me ha proporcionado hoy un amigo:

Sea $E$ un espacio de dimensión finita, entonces los tensores de tipo $(1,1)$ son los endomorfismos de $E$. Esto indica que al ser $\Lambda$ efectivamente un endomorfismo, se puede expresar como un tensor contravariante en $\mu$ y covariante en $\nu$. Correspondiendo $\mu$ a las filas de la matriz y $\nu$ a las columnas, si no me equivoco.

Un saludo, y gracias de nuevo.

Hola. No estoy seguro de si esto es lo que buscas, pero en este enlace puedes encontrar una demostración de la afirmación que has leído en los apuntes de tu amigo.

[Lorentz]

Re: Notación tensorial en la métrica de Minkowski

Hola. No estoy seguro de si esto es lo que buscas, pero en este enlace puedes encontrar una demostración de la afirmación que has leído en los apuntes de tu amigo.

De hecho, sí muchas gracias Weip, era justo lo que buscaba. Los apuntes que me pasó no eran suyos, los encontró en Internet, y por si a alguien le viene bien en algún momento lo adjunto en este mensaje. Tratan sobre tensores sobre espacios vectoriales y creo que están bastante completos.

Un saludo