1r ciclo curvatura intrínseca

[skynet]

¿cómo puede el espacio tridimensional curvarse sobre sí mismo sin necesidad de una cuarta dimensión?

¿existe algún ejemplo de curvatura intrínseca bidimensional?

[Jaime Rudas]

Re: curvatura intrínseca

¿cómo puede el espacio tridimensional curvarse sobre sí mismo sin necesidad de una cuarta dimensión

Según yo lo entiendo, el que un determinado espacio sea curvo significa que en él no se cumple el quinto postulado de Euclides, o sea, que en él la suma de los ángulos internos de un triángulo no equivalen a dos rectos. Si te das cuenta, no se menciona para nada el número de dimensiones.

¿existe algún ejemplo de curvatura intrínseca bidimensional?

Una esfera es un ejemplo de curvatura intrínseca bidimensional, sin embargo, supongo que lo que quieres saber es si existe algún ejemplo físico de curvatura intrínsica bidimensional sin tener que recurrir a tres dimensiones: no, no lo hay; pero no porque sea imposible, sino porque no sabemos cómo crear un espacio bidimensional sin que esté inmerso en uno tridimensional.

[Weip]

Re: curvatura intrínseca

Hola. En mi opinión aunque los postulados de Euclides tienen su importancia histórica, ya están obsoletos. La geometría moderna tiene otros fundamentos y conceptualmente es muy distinta así que no me parece la manera más adecuada de entender la curvatura (pero eso, solo es una opinión, de hecho en ciertos contextos es mejor trabajar así).

La explicación más equilibrada entre visualización y abstracción que conozco es el transporte paralelo. En la wikipedia se puede leer una explicación de esto con animación incluida. El resumen vendría a ser el siguiente. En un espacio plano cuando transportamos un vector a lo largo de una curva cerrada al llegar al punto de partida tenemos el mismo vector, sin ningún cambio. Pero en general esto no es así, el vector transportado y el vector inicial pueden no ser el mismo. Esto pasa cuando el espacio está curvado, y la curvatura mide cuán grande es esta desviación.

Luego se ve que la curvatura se calcula a partir de la métrica (el análogo del producto escalar) con lo cual decimos que es un concepto intrínseco.

El caso bidimensional es más sencillo porque la curvatura intrínseca viene dada por una función escalar. Aún así si la variedad no está metida en un espacio de dimensión superior la interpretación geometrica es complicada porque la curvatura se define con una fórmula monstruosa.

En cuanto a la visualización de la curvatura bidimensional intrínseca no puedo contribuir más pero como dice Jaime piensa que vivimos metidos en un espacio tiempo de cuatro dimensiones así que no podrás construir ningún ejemplo físico. Aunque como ejemplos matemáticos tienes muchos y muy curiosos.

Hay otras formas de explicarlo pero suelen ser o poco geométricas o muy técnicas. Pero no es la única ni mucho menos. Espero haberte ayudado.

[Richard R Richard]

Re: curvatura intrínseca

Solo aporto que el ejemplo mas común para resaltar la curvatura de una superficie bidimensional es la cartografía de la tierra, solo se usan dos parámetros para ubicar cualquier punto de la superficie del geoide, longitud y latitud.

[CharlesMcAndrew]

Re: curvatura intrínseca

Creo que la manera de enfocar el asunto sea considerar el embeding (una definición precisa de lo que entendemos por "colocar" una superficie dentro de un espacio. Para hablar de embeding, cómo queda claro por la entrada de la wiki, necesitamos la formulación rigurosa de la geometría diferencial tendremos que considerar que estamos trabajando con variedades y, dado que hablamos de curvatura y esperamos que todo sea mas o menos regular, variedades diferenciables (https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciable).

Una superficie regular es una variedad de dos dimensiones (localmente difeomorfa a $R^2$). Éso no significa que se pueda hace un embeding de la misma en R². La teoría general de embeding se conoce cómo geometric topology. El caso mas sencillo de esa teoría, pero muy importante es en que Rⁿ se puede embeber una variedad de dimensión m<n. El teorema clásico al respecto es el teorema de embeding de Whitney que dice que cualquier variedad de dimensión m se puede embeber en R^2m, siendo éste el mejor resultado posible en general porqué el espacio proyectivo de dimensión m no puede ser embebido en R^2m-1 sí m es una potencia de 2.

El caso de la esfera viene comentado en el enlace sobre el teorema de Whitney. En concreto la n esfera siempre se va a poder embeber en Rⁿ⁺¹ siendo ése el mejor caso posible.

Desde el punto de vista de la curvatura podrías pensar en que una curvatura gaussiana no nula abre, vía el teorema de Gauss-Bonnet que nos dice que la integral de la curvatura gaussiana al total de la superficie es igual a 2 pi por la característica de Euler. $\int K =2\pi\kappa(M)$. La característica de Euler es la suma, con signo alternado, de los números de betti, que, básicamente, es la dimensión de los grupos de homología (o cohomología). Una característica de Euler no trivial va a implicar que la superficie tiene una topología no trivial y éso ya nos va a dar una pista que no va a poder ser algo que está en R². Sí uno quiere ir mas allá puede ver que la generalización de ése teorema implica el uso de las clases caracteríscicas de Stieffel-Whitney que son una herramienta posible para demostrar el teorema de embedding de Whitney.