Divulgación ¿Qué significa que el espacio se curve?

[alexpglez]

Buenas foreros!
Me gustaría saber ¿qué significa que el espacio se curve por la masa?
Tengo dos ligeras ideas de cómo puedo interpretarlo, me explico:

1) Hace tiempo pensaba que el espacio-tiempo era una variedad diferencial de dimensión 4 en el espacio afín $R^4$ dotada de una forma cuadrática $Q(t,x,y,z)=t^2-x^2-y^2-z^2$. Y lo que venía a responder la relatividad es que si en un sistema de referencia observamos distribuciones de momento y energía en el espacio, significa que el sistema de coordenadas escogido no es el cartesiano.
Pongo el ejemplo del campo gravitatorio de la Tierra: si un observador parado en la superficie terrestre sitúa unos ejes de sus coordenadas $(x,y,z,t)$, sentirá que los objetos a su alrededor caen por acción de una aceleración debido a la gravedad, mientras que si un observador en caída libre sitúa sus ejes coordenados no observará aceleración gravitatoria ninguna siendo sus ejes las coordenadas cartesianas rectilíneas de toda la vida.

2) Hoy nuestro profesor de análisis, nos ha contado que además de las variedades EN $\mathbb R^n$, existen otro tipo de variedades que no están en ningún espacio afín ambiente, aunque hay un teorema que dice que estas variedades son isomorfas (no sé la palabra técnica para describir esto...) a alguna variedad en algún $\mathbb R^n$. Nos puso el ejemplo del conjunto, $X=\{x \subset R^3 | \exists v \in R^3 \; x=\{y \in R^3| \exists t \in [0,+ \infty) \; y=vt\}\}$ de todas las semirrectas de R^3 pasando por el origen, que es ""igual"" a la superficie de una esfera en $R^3$.
He leído en wikipedia que hay una manera de generalizar el concepto de espacio tangente y de derivada direccional, si bien creo que al no estar la variedad en ningún espacio ambiente no sabes cómo derivar vectores, siempre puedes inventar una forma de medir distancias: una métrica, y hacer que la nueva derivada preserve las distancias.
Creo que en el lenguaje técnico estoy hablando de variedades dotadas de una métrica y con una conexión afín. Creo que también se le llama variedad de Riemann (o pseudo-Riemman, en el caso de la relatividad, al tener una forma cuadrática y no un producto escalar de métrica).
Por ejemplo, imagino que el campo gravitatorio terrestre se podría interpretar de la siguiente manera: la variedad de dimensión 4 viviente en un espacio afín de dimensión superior se "arruga" por el efecto de la Tierra, de la misma manera que una canica situada en una hoja de papel, situada en el aire pero sujeta por los extremos, hace que el papel "se arrugue". Es decir, la "curvatura" se da en una dimensión superior y sólo somos capaz de observar sus efectos ya que vivimos en el subespacio.

Aquí van mis preguntas:
1: ¿El espacio es una variedad de dimensión 4 EN $R^4$ (1)), o es una variedad (pseudo)Riemman de dimensión 4 (2))?
1.1: Si fuese el primer caso. ¿Existiría por tanto un observador que no viese aceleración gravitatoria ninguna?
1.2: En el segundo caso. Por el teorema mencionado de que toda variedad es ""igual"" a una variedad en algún $R^n$, ¿tienen algún significado físico estas dimensiones "extra"?

Y esta es una duda de carácter matemático:
2. Ya que toda variedad es ""igual"" a una variedad EN un espacio afín más alto, me preguntaba si la conexión afín apareciese de reestringir la derivada direccional en el espacio afín a la subvariedad que estamos tratando.

Gracias, saludos

[Weip]

Re: ¿Qué significa que el espacio se curve?

¡Hola! Primero voy con las preguntas del final y luego ya comento algunas cosillas de antes.

1: ¿El espacio es una variedad de dimensión 4 EN $R^4$ (1)), o es una variedad (pseudo)Riemman de dimensión 4 (2))?

Una variedad de dimensión 4 no la puedes meter en $\mathbb{R}^4$. Igual te ayuda en pensar en variedades de dimensión 2: es evidente que una esfera no la puedes meter en el plano. En todo caso el espacio tiempo que se usa en Relatividad General es una variedad lorentziana de dimensión 4, es decir, una variedad diferenciable de dimensión 4 equipada con una métrica pseudoriemanniana de signatura (-,+,+,+) (o (+,-,-,-), ya sabes, cosas de convenios). Dicho esto decir que el espacio tiempo en principio no vive en ningún espacio ambiente.

1.2: En el segundo caso. Por el teorema mencionado de que toda variedad es ""igual"" a una variedad en algún $R^n$, ¿tienen algún significado físico estas dimensiones "extra"?

Según entiendo, tal como está planteada la Relatividad, la respuesta es no. Aún así espérate porque otros usuarios te lo podrán explicar mucho mejor que yo.

Por ejemplo, imagino que el campo gravitatorio terrestre se podría interpretar de la siguiente manera: la variedad de dimensión 4 viviente en un espacio afín de dimensión superior se "arruga" por el efecto de la Tierra, de la misma manera que una canica situada en una hoja de papel, situada en el aire pero sujeta por los extremos, hace que el papel "se arrugue". Es decir, la "curvatura" se da en una dimensión superior y sólo somos capaz de observar sus efectos ya que vivimos en el subespacio.

Esa imagen es incorrecta. El espacio tiempo no vive en ningún espacio de dimensión superior. Para resumir esto se suele dice que la curvatura es un concepto intrínseco. Como lo que te estoy diciendo plantea un problema de visualización, te recomiendo leer este hilo de hace pocos meses donde se trata el tema. También si mal no recuerdo usando el buscador del foro hay explicaciones de pod sobre el tema que son muy buenas.

2) Hoy nuestro profesor de análisis, nos ha contado que además de las variedades EN $\mathbb R^n$, existen otro tipo de variedades que no están en ningún espacio afín ambiente, aunque hay un teorema que dice que estas variedades son isomorfas (no sé la palabra técnica para describir esto...) a alguna variedad en algún $\mathbb R^n$.

Existen varios resultados que te permiten "meter" una variedad en un espacio de dimensión superior. Es posible que tu profesor se refiriera al teorema del embedding de Nash o al teorema de Whitney, que son los más importantes. Te dejo los links por si tienes curiosidad acerca de este tipo de resultados.

He leído en wikipedia que hay una manera de generalizar el concepto de espacio tangente y de derivada direccional, si bien creo que al no estar la variedad en ningún espacio ambiente no sabes cómo derivar vectores, siempre puedes inventar una forma de medir distancias: una métrica, y hacer que la nueva derivada preserve las distancias.

Es cierto que al no existir espacio ambiente entonces el enfoque clásico del espacio tangente y la derivada direccional no los puedes seguir, pero sí se pueden adaptar para convertirlos en conceptos intrínsecos. La idea es definir el espacio tangente como un conjunto de derivaciones en sentido algebraico definidas como aplicaciones que cumplen la regla del producto. Luego se ve que ese conjunto tiene estructura de espacio vectorial y a través de sus propiedades vemos que la construcción da lugar a lo que vendría a ser el espacio tangente con la ventaja de que no necesitas una dimensión superior para hablar de él aunque a cambio hay que sacrificar la interpretación geométrica típica de $\mathbb{R}^n$. Aún así va muy bien pensar en el espacio tangente como "si me acerco mucho a la variedad, localmente, veo que el espacio es plano". En Relatividad General esto se traduce en que "localmente el mundo cumple las leyes de la Relatividad Especial", pues "de cerca" el espacio tiempo es de Minkowski.

[alexpglez]

Re: ¿Qué significa que el espacio se curve?

Una variedad de dimensión 4 no la puedes meter en $\mathbb{R}^4$. Igual te ayuda en pensar en variedades de dimensión 2: es evidente que una esfera no la puedes meter en el plano. En todo caso el espacio tiempo que se usa en Relatividad General es una variedad lorentziana de dimensión 4, es decir, una variedad diferenciable de dimensión 4 equipada con una métrica pseudoriemanniana de signatura (-,+,+,+) (o (+,-,-,-), ya sabes, cosas de convenios). Dicho esto decir que el espacio tiempo en principio no vive en ningún espacio ambiente.

No me refería a esto. Con variedad EN $\mathbb R^4$ me refería a subvariedad (creo que se dice así... como acabamos de empezar las clases no hemos visto...). Es decir, me refiero a abiertos de $R^4$.
Pongo un ejemplo, consideremos el tensor métrico en coordenadas cilíndricas, al no ser la diagonal (+1 -1 -1 -1) uno podría pensar que el espacio está curvado por el campo gravitatorio. Me refiero preguntaba entonces, si la curvatura del espacio-tiempo está únicamente producida por no escoger el sistema de coordenadas adecuado. Pero por lo que comentas de la curvatura intrínseca en relatividad general, creo entender que es falso esto.

Esa imagen es incorrecta. El espacio tiempo no vive en ningún espacio de dimensión superior. Para resumir esto se suele dice que la curvatura es un concepto intrínseco. Como lo que te estoy diciendo plantea un problema de visualización, te recomiendo leer este hilo de hace pocos meses donde se trata el tema. También si mal no recuerdo usando el buscador del foro hay explicaciones de pod sobre el tema que son muy buenas.

Realmente, sobre los teoremas que mencionas sólo he leído el resultado del de Whitney. Por lo que también preguntaba era por si existía algún resultado como el teorema de Nash, si además de cierta variedad poderse incluir en una subvariedad de un espacio afín de más alta, conservaba la geometría... en la wikipedia española no me aparecía mencionado este teorema, hago mal mis deberes de búsqueda xD
Respondiendo a lo que has dicho creo que no he sabido explicarme. Por el teorema de Nash, la variedad pseudoRiemann $(\mathbb R^4,g)$ se puede "meter" como subvariedad del espacio afín $(R^8,Q)$ con una cierta forma cuadrática. Entonces mi pregunta es si la geometría intrínseca y en concreto la curvatura, se puede ver como una curvatura de la subvariedad en el espacio afín y entonces esta curvatura es tan """similar""" como cuando doblas un trozo de papel en el espacio, una curvatura intrínseca para seres bidimensionales que se creen que viven en un R^2 euclídeo dentro del papel, pero natural a los seres de R^3 que ven un papel curvo.
Si esto es así enlazo con mi anterior duda, ¿tiene algún significado físico este $R^8$?

[Weip]

Re: ¿Qué significa que el espacio se curve?

Buenas.

No me refería a esto. Con variedad EN $\mathbb R^4$ me refería a subvariedad (creo que se dice así... como acabamos de empezar las clases no hemos visto...). Es decir, me refiero a abiertos de $R^4$.

Sí, se dice subvariedad. Pero aún así, en general, una variedad de dimensión 4 no es subvariedad de $\mathbb{R}^4$ porque no cabe. Pero bueno si estás preguntando si el espacio puede ser un abierto de $\mathbb{R}^4$ la respuesta es no porque en un espacio como ese no hay fenómenos gravitatorios.

Pongo un ejemplo, consideremos el tensor métrico en coordenadas cilíndricas, al no ser la diagonal (+1 -1 -1 -1) uno podría pensar que el espacio está curvado por el campo gravitatorio. Me refiero preguntaba entonces, si la curvatura del espacio-tiempo está únicamente producida por no escoger el sistema de coordenadas adecuado. Pero por lo que comentas de la curvatura intrínseca en relatividad general, creo entender que es falso esto.

No, la curvatura no tiene que ver con que expreses el tensor métrico en coordenadas cartesinas, cilíndricas o las que sean. Eso es indiferente. Como ejemplo tienes el propio $\mathbb{R}^2$ o el espaciotiempo de Minkowski. En ambos casos por mucho que pases a, por ejemplo, polares, siguen siendo variedades planas. De la misma forma si tienes un espaciotiempo curvado, es indiferente en qué coordenadas tengas el tensor métrico. Por ejemplo el espaciotiempo alrededor de un agujero negro de Schwarzschild lo puedes describir mediante las coordenadas de Schwarzschild o las de Kruskal. Y eso no cambia para nada a efectos conceptuales de curvatura (aunque cada sistema de coordenadas sí son útiles para otras cosas, claro está).

Realmente, sobre los teoremas que mencionas sólo he leído el resultado del de Whitney. Por lo que también preguntaba era por si existía algún resultado como el teorema de Nash, si además de cierta variedad poderse incluir en una subvariedad de un espacio afín de más alta, conservaba la geometría... en la wikipedia española no me aparecía mencionado este teorema, hago mal mis deberes de búsqueda xD

Sí, lo que te dice Nash es que al hacer un embedding (palabra técnica de "meter" una variedad en otra) lo puedes hacer "respetando la geometría" y además esa geometría está inducida por la estructura de la variedad de dimensión superior.

Por cierto, no busques en la wikipedia española xD. Por curiosidad me he metido en el teorema del embedding de Nash y hay 5 líneas (no exagero).

Respondiendo a lo que has dicho creo que no he sabido explicarme. Por el teorema de Nash, la variedad pseudoRiemann $(\mathbb R^4,g)$ se puede "meter" como subvariedad del espacio afín $(R^8,Q)$ con una cierta forma cuadrática. Entonces mi pregunta es si la geometría intrínseca y en concreto la curvatura, se puede ver como una curvatura de la subvariedad en el espacio afín y entonces esta curvatura es tan """similar""" como cuando doblas un trozo de papel en el espacio, una curvatura intrínseca para seres bidimensionales que se creen que viven en un R^2 euclídeo dentro del papel, pero natural a los seres de R^3 que ven un papel curvo.

Sí, una vez metes tu variedad en otra variedad de dimensión superior, conceptualmente la curvatura es la que visualizas en tu día a día doblando trozos de papel en el espacio. De hecho originalmente la curvatura se investigó de esta manera (Gauss es el gran nombre de esta parte de la geometría diferencial clásica). Fué más tarde que se descubrió que la curvatura es un concepto intrínseco y todo esto acabó derivando en variedades que no tenían porqué estar metidas en otra de dimensión superior.

Si esto es así enlazo con mi anterior duda, ¿tiene algún significado físico este $R^8$?

No. Piensa que usar un modelo teórico en el que hay dimensiones superiores que no suponen ninguna ventaja en la compresión de los fenómenos y que no vemos en la naturaleza, no es un buen camino (aquí no me meto en alternativas más modernas que como sabes, usan dimensiones extra; pero considero que esos caminos son distintos a los que estamos siguiendo aquí).