1r ciclo Choque frenético relativista

[Moto321]

Buenos días. Habiendo entendido (creo) la cinemática relativista hasta un punto importante, he querido dar el paso de adentrarme en la dinámica. Me hallo intentando resolver este ejercicio:

Una partícula de masa $m$ y momento $p$ se dirige hacia otra partícula de masa $3m$ y momento $p/3$ que se mueve en sentido contrario a la primera en el sistema del laboratorio. ¿Cuál es la velocidad del centro de masas del sistema?

Mi razonamiento es el siguiente:

Escribimos $E_1, p_1, E_2, p_2$ en función de $m$ y $p$ de manera que se tiene

$(m\gamma c^2, p)$ y $(3m\gamma c^2, p/3)$ en el sistema del laboratorio.

Aplicando las transformaciones de Lorentz llegamos, para el sistema del centro de masas, a

$(\gamma(E_1-\beta cp), \gamma (p-\frac{\beta E_1}{c}))$ y $(\gamma(E_2-\beta cp/3), \gamma(p/3-\frac{\beta E_2}{c}))$

Utilizando la propiedad de que el momento total del centro de masas es cero en su propio sistema y sustituyendo las expresiones de $E_1$ y $E_2$ llego a

$\beta=\sqrt{\frac{p^2/9}{m^2c^2+p^2/9}}$, que cumple que $\beta<1$.

Mi duda es, además de si el planteamiento es correcto, si me tendría que quedar un número sólo en el resultado final de $\beta$ en lugar de quedarme en función de $m$ y de $p$.

[pod]

Re: Choque frenético relativista

No me lo he mirado con extremo detalle, pero hay dos cosas que creo deberías mirar con algo más de cuidado:

1) No todas las $\gamma$ que has escrito son iguales entre si. La $\gamma$ no es más que una expresión de la velocidad que utilizamos para no escribir tantas raíces cuadradas, pero cuando escribes el momento de la partícula de masa $m$ debes usar la velocidad de esa partícula, que no tiene por qué ser la misma velocidad que la otra partícula. Luego, hay una tercera $\gamma$ que corresponde a la velocidad de la transformación de Lorentz. De hecho, como has hecho más adelante, seguramente no es conveniente utilizar la $\gamma$ porque te introduce una incógnita más (la velocidad); usar la expresión de la energía parece más prometedor. A saber, $E_1^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2$ y $E_2^2 = 9 m^2 c^4 + c^2 p^2 / 9$. Pero si usas la $\gamma$ tienes que diferenciar cual es con un índice o similar.

2) En algún momento has de tener en cuenta que las partículas se mueven en sentido contrario. Uno de los dos momentos (parte espacial) debe tener signo contrario.

Teniendo en cuenta esto, repasa tus cálculos.

[Richard R Richard]

Re: Choque frenético relativista

Como dice Pod, No es tan sencillo, los "gamma" factores de lorentz de ambas particulas no tienen porque ser iguales ya que sus velocidades no lo son.

cuando quieres averiguar la masa en reposo con respecto al laboratorio de las particulas usas

$(m_oc^2)^2=E^2-|p|^2c^2$

que te lleva indefeciblemente a que

$\gamma m_o =m$

y

$\gamma m_o v =p$



Creo con mucho temor a equivocarme que el Centro de masas se calcula haciendo la sumatoria de cada una de las masas en reposo de las particulas por su gamma y por las velocidades desarrolladas siempre con respecto al laboratorio, y eso es igual la sumatoria de todas las masas en reposo, por el gamma del centro de masas por la velocidad del centro de masas, así tomando coraje te transcribo como encararia yo el problema...

lo anterior quedaria como

$\dst\sum\limits_{i=1}^{n}\gamma_im_{oi}v_i=\gamma_{CM}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} m_{oi}\right)V_{CM}$

para calcular la velocidad de cada partícula puedes usar


$v_1=\dfrac{p_1}{m_1}=\dfrac{p}{m}$

$v_2=\dfrac{p_2}{m_2}=\dfrac{\dfrac p3}{3m}=\dfrac{p}{9m}$

es decir $9v_2=v_1$

para calcular $\dst\sum\limits_{i=1}^{n} m_{oi}$

usas

$\dst\left(\sum\limits_{i=1}^{n}m_{oi}c^2\right )^2=\sum\limits_{i=1}^{n}E_i^2-|\sum\limits_{i=1}^{n}p_i|^2c^2$

que entiendo no es lo mismo que

$\cancel{\dst\sum\limits_{i=1}^{n}m_{oi}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{m_i}{\gamma_i}}$

que resultaba bastante intuitivo , pero he mirado algo la web y no se usa de este modo, (creo que si es posible cuando a priori sabemos que el CM esta en reposo).

asi

$\sum\limits_{i=1}^{n} m_{oi}=\dfrac{\sqrt{m^2c^4-p^2c^2+9m^2c^4-\dfrac {p^2c^2}{9}}}{c^2}$

usando las velocidades calculadas antes puedes calcular los gammas como

$\gamma_1=\dfrac 1{\sqrt{1-\dfrac{p^2}{m^2c^2}}}$


$\gamma_2=\dfrac 1{\sqrt{1-\dfrac{p^2}{81m^2c^2}}}$


las masas en reposo seran entonces


$m_{o1}=\dfrac{m}{\gamma_1}$


$m_{o2}=\dfrac{3m}{\gamma_2}$


luego la velocidad del centro de masas sale desarrollando toda la expresión


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

hacer una unica ecuación en funcion de m y p es bastante complejo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Solo he hecho unos pocos ejercicios de estos, hace una veintena de años, mas la practica habitual de ayudar en este foro, así que es mas probable que me equivoque en algo o en todo a que este correcto de buenas a primeras.

[Moto321]

Re: Choque frenético relativista

Buenas de nuevo. Muchas gracias tanto a Richard como a Pod. Realmente creo que he comprendido bastantes aspectos.

2) En algún momento has de tener en cuenta que las partículas se mueven en sentido contrario. Uno de los dos momentos (parte espacial) debe tener signo contrario.

Tienes razón, no lo he tenido en cuenta. He modificado mis cálculos y creo que he llegado a algo comprensible, aunque no he usado las $\gamma$ de cada una de las partículas, puesto que, tal y como ha demostrado Richard, el procedimiento es demasiado largo. Y considero que el ejercicio es resoluble atacando de una manera que se torna mucho más corto.

para calcular la velocidad de cada partícula puedes usar

En mecánica clásica entiendo que sí se puede hacer esto, pero en mecánica relativista no estoy muy seguro.

En cualquier caso, volveré a intentarlo de la manera que mencionáis. Muchas gracias de nuevo y un saludo!

Felices fiestas, por cierto!

[carroza]

Re: Choque frenético relativista

Hola.

Hay una manera muy facil de resolver este problema. Para una partícula se cumple

$\vec v =\vec p c^2 /E$

Para un sistema de partículas, es igualmente válido que su velocidad, es decir, la velocidad del sistema "centro de momentos", con respecto al sistema laboratorio

$\vec v_{cm} = \sum_i \vec p_i c^2 / \sum_i E_i$

El sistema "centro de momentos" (que no centro de masas), se caracteriza porque, en ese sistema, el momento es cero. La energía en el sistema "centro de momentos" (que podemos identificar con la masa del sistema), es

$E_{cm} = \sqrt{(\sum_i E_i)^2 - (c \sum_i \vec p_i)^2}$

[Richard R Richard]

Re: Choque frenético relativista

En mecánica clásica entiendo que sí se puede hacer esto, pero en mecánica relativista no estoy muy seguro.

$v_1=\dfrac{p_1}{m_1}=\dfrac{p}{m}]$

$m_1=\dfrac{E_1}{c^2}$

y con ella llegas a la expresión similar a la que te recomienda carroza

$\vec v =\vec p c^2 /E$

es decir $v_1=\dfrac{p_1}{m_1}=\dfrac{p_1}{\dfrac{E_1}{c^2}}=\dfrac{p_1c^2}{E_1}$

encontre este Pdf, de muy amena lectura,

la ecuación 28 es a lo que creo hace referencia.

Felices fiestas, por cierto!

Gracias igualmente

[Moto321]

Re: Choque frenético relativista

Buenas de nuevo. Muchas gracias carroza y Richard, otra vez Todavía me estoy peleando con el problema jaja Creo que es tremendamente sencillo, pero no termino de hallar con la respuesta. En cualquier caso, tendré en cuenta vuestras aportaciones y a ver si con eso lo consigo.

Un saludo!