Divulgación Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

[inakigarber]

Buenas noches;

Buenas noches, revisando este blog, he encontrado un desarrollo que me parece esta mal y me gustaría me lo aclararais. El tema es relativo a la suma relativista de velocidades, aunque me parece más apropiado ponerlo en este apartado.
Partiendo de las expresiones;
$X'=X+v\left[\dfrac{X\cdot v}{v^2}(\gamma -1)\gamma t\right]$
$t'=\gamma\left[t-\dfrac{X\cdot v}{c^2}\right]$
haciendo;
$U'=\dfrac{dX'}{dt'}$

$$U'=\dfrac{dX+v\left[\dfrac{dX\cdot v}{v^2}(\gamma -1)\gamma dt\right]'}{\gamma\left[dt-\dfrac{dX\cdot v}{c^2}\right]}$$

, luego;
El autor no explica como, pero dice obtener la siguiente expresión;

$$U'=\frac{U\gamma+v\left[\dfrac{u \cdot v}{v^2}(1-\gamma)-1\right]}{1-\dfrac{u \cdot v}{c^2}}$$

Partiendo de (1), y multiplicando numerador y denominador por $1/dt$ y multiplicando ambos por $1/\gamma$, para que el cociente resulte constante; a mi me sale;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¿Como lo veis vosotros?

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

Vamos a intentarlo "a pedal". Como tenemos que obtener $\dst\dfrac{\dd\vec X'}{\dd t'}$ vamos a encontrar los dos diferenciales.

De $\vec X'=\vec X+\vec v\left[\dfrac{\vec X\cdot\vec v}{v^2}(\gamma -1)-\gamma t\right]$ (te has comido un signo menos y los aspectos vectoriales) tenemos que

$\dst \dd\vec X'=\dd\vec X+\vec v\left[\dfrac{\dd\vec X\cdot\vec v}{v^2}(\gamma-1)-\gamma\dd t\right]$

Por otra parte, de $\dst t'=\gamma\left[t-\dfrac{\vec X\cdot\vec v}{c^2}\right]$ tenemos

$\dst \dd t'=\gamma\left[\dd t-\dfrac{\dd \vec X\cdot\vec v}{c^2}\right]$

Dividiendo miembro a miembro

$\dst \dfrac{\dd\vec X'}{\dd t'}=\dfrac{\dd\vec X+\vec v\left[\dfrac{\dd\vec X\cdot\vec v}{v^2}(\gamma-1)-\gamma\dd t\right]}{\gamma\left[\dd t-\dfrac{\dd \vec X\cdot\vec v}{c^2}\right]}$

Dividamos numerador y denominador de la derecha por $\dd t$:

$\dst \dfrac{\dd\vec X'}{\dd t'}=\dfrac{\dfrac{\dd\vec X}{\dd t}+\vec v\left[\dfrac{\dfrac{\dd\vec X}{\dd t}\cdot\vec v}{v^2}(\gamma-1)-\gamma\right]}{\gamma\left[1-\dfrac{\dfrac{\dd\vec X}{\dd t}\cdot\vec v}{c^2}\right]}$

Es decir

$\dst \vec u'=\dfrac{\vec u+\vec v\left[\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{v^2}(\gamma-1)-\gamma\right]}{\gamma\left[1-\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{c^2}\right]}$

Ahora dividiendo numerador y denominador por $\gamma$ tenemos

$\dst \vec u'=\dfrac{\frac{1}{\gamma}\vec u+\vec v\left[\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{v^2}(1-\frac{1}{\gamma})-1\right]}{1-\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{c^2}}$

Por último, como $\dst\frac{1}{\gamma}=\sqrt{1-\beta^2}$

$\dst \vec u'=\dfrac{\vec u \sqrt{1-\beta^2}+\vec v\left[\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{v^2}(1-\sqrt{1-\beta^2})-1\right]}{1-\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{c^2}}$

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta, yo llego a la misma conclusión, el problema está en cuando el autor (anexo el enlace al post) dice;

"[FONT=Georgia]entonces tras unas cuantas manipulaciones algebraicas todo lo anterior se nos reduce a:"[/FONT]

y aparece la expresión que marqué con (2) en mi post inicial y que vuelvo a escribir;

$$\vec u'=\dfrac{\vec u \gamma + \vec v\left[\dfrac{\vec u \cdot \vec v}{v^2}(1-\gamma)-1\right]}{1-\dfrac{\vec u \cdot \vec v}{c^2}}$$

Creo que está equivocada y que lo que debiera poner, (copio de tu post).

$$\dst \vec u'=\dfrac{\frac{1}{\gamma}\vec u+\vec v\left[\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{v^2}(1-\frac{1}{\gamma})-1\right]}{1-\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{c^2}}$$

Creo que el autor comete un segundo error cuando más adelante dice; $\gamma=\sqrt{1-\beta^2}$, debiera decir $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$. En este caso los errores se compensan y llega al resultado correcto.

Creo que con tanto meterme en las fórmulas, he perdido el objeto que se pretende resolver con este problema. Voy a seguir adelante con el. Me conformo de momento con aclarar este paso.

Saludos y gracias.
[FONT=Georgia]

[/FONT]

[arivasm]

Re: Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

Pues no veo otra... Desde luego, la expresión que hemos escrito es la misma que escribe en el enunciado del problema y claramente no es la misma que pone más adelante, y que has puesto tú. De hecho justo después escribe "expandiendo $\gamma=\sqrt{1-\beta^2}$, lo que invalidaría las transformaciones de Lorentz de partida.

La verdad es que ni me fijé en tu expresión, ni en la demostración, sino en el enunciado. Disculpa mi despiste.

Es posible que tanto la expresión que ha motivado tu pregunta como la que viene en la frase "expandiendo..." deberían haber puesto $\gamma^{-1}$ en todos los lugares donde pone $\gamma$

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

Pues no veo otra... Desde luego, la expresión que hemos escrito es la misma que escribe en el enunciado del problema y claramente no es la misma que pone más adelante, y que has puesto tú. De hecho justo después escribe "expandiendo $\gamma=\sqrt{1-\beta^2}$, lo que invalidaría las transformaciones de Lorentz de partida.

La verdad es que ni me fijé en tu expresión, ni en la demostración, sino en el enunciado. Disculpa mi despiste.

Es posible que tanto la expresión que ha motivado tu pregunta como la que viene en la frase "expandiendo..." deberían haber puesto $\gamma^{-1}$ en todos los lugares donde pone $\gamma$

Parece que nuestros comentarios se han solapado. ¿es correcto lo que he escrito en mi último post?

[arivasm]

Re: Consulta sobre desarrollo matemático de la suma relativista de velocidades

Parece que nuestros comentarios se han solapado. ¿es correcto lo que he escrito en mi último post?

Desde luego concuerdo contigo. Y sí, creo que nos hemos solapado.