Otras carreras Curvatura del espacio-tiempo

[Pola]

Buenos días.
Vengo dándole vueltas a la idea de cómo se puede curvar el espacio – tiempo conforme a la Tª General de la Relatividad.

Si uno piensa en el espacio vacío, lo primero que se pregunta es qué es lo que se curva….. Y a mí no me es fácil encontrar una respuesta.

Olvidándonos de ésa cuestión, si pensamos en el espacio como un continuo, uno piensa inmediatamente en el espacio como una sucesión de puntos. ¿Cómo se puede curvar un punto?

Obviamente no se puede.

La única solución que se me ocurre entonces es pensar es en un plano horizontal donde hay dos puntos A y B uno al lado del otro. Como no se pueden curvar, si introducimos un campo gravitatorio, lo único que podría pasar es que B se desplazase verticalmente respecto a A, de manera que ya no estuviera sobre el plano, sino “un poco más abajo”

Pero creo que eso no valdría de nada, porque otro punto C ocuparía su lugar, de manera que según yo lo imagino, una partícula con masa que se estuvieras desplazando a lo largo del plano anterior, al llegar al punto A seguiría desplazándose a lo largo de ése plano a través de C y no de B. Salvo que algún tipo de información le dijera que tiene que pasar de A a B y no de A a C.

Pero no se me ocurre qué información pueden guardar los puntos del plano para informar de ése modo a la partícula.

Total, que la única solución que se me ocurre, es que el espacio no sea continuo, sino discreto. Y que en lugar de estar compuesto por puntos, esté formado por segmentos. En ése caso un campo gravitatorio no desplazaría el segmento, sino que inclinaría el segmento B en cierto ángulo respecto al plano inicial.
La partícula con masa que siguiera la trayectoria a través de los segmentos se desplazaría siguiendo su inclinación.

¿Tiene algún sentido?

[carroza]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Hola. El concepto de curvatura no es fácil de imaginar. Por ello, es mejor que nos olvidemos de relatividad general, de masas, e incluso de la física para imaginarlo. La curvatura es un concepto matemático, que luego los físicos hemos utilizado porque nos resulta util.

Imaginate que eres una hormiga, que se mueve sobre una enorme superficie elástica, de la que no ves los límites. Como buena hormiga, no te importa nada lo que pasa arriba o abajo, solo lo que ocurre en dos dimensiones: Delante-atrás, e izquierda-derecha. No tienes ni idea de cómo se ve esta superficie elástcia desde fuera. Tu solo ves delante y detrás, e izquierda y derecha, y para tí todas las direcciones son equivalentes, y todos los puntos son equivalentes.

Sobre la superficie elástica, pintas un punto rojo. Ahora, te mueves en lo que para tí es una linea recta, una distancia fija (contada, por ejemplo por un numero fijo de tus pasos), en todas las direcciones, y pintas puntos azules a una distancia fija del punto rojo.

Ahora, recorres los puntos azules, desde uno dado, y cuentas la distancia recorrida hasta que vuelves al punto inicial. Si eres una hormiga que ha aprendido matemáticas elementales, esperarias que esa distancia sea 2 pi veces la distancia al punto rojo. Y eso puede ocurrir solamente si la superficie elástica, vista desde fuera, es plana.

Si tu superficie elástica tiene curvatura positiva (es decir, si visto desde fuera parece un casquete esférico), el perimetro de los puntos azules es menos que 2 pi veces la distancia al punto rojo. Si tu superficie elástica tiene curvatura negativa (es decir, si visto desde fuera parece una silla de montar a caballo) el perimetro de los puntos azules es más de 2 pi veces la distancia al punto rojo.

Espero que te resulte util esta imagen. No te compliques con relatividad general, por ahora.

Saludos

[Pola]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Gracias Carroza. Es clara tu explicación.

Me doy cuenta de que mi imagen es de andar por casa. Hasta un poco infantil, si se quiere.

Pero la curvatura del espacio tiempo es la explicación geométrica a la naturaleza de la fuerza de la gravedad, conforme a la Relatividad General.

Pues habrá que encontrar una respuesta geométrica convincente, ¿no te parece?

Yo no encuentro que lo sea en un espacio continuo. Preguntaba porque es fácil que sea por limitaciones propias.

Un saludo

[Jaime Rudas]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Vengo dándole vueltas a la idea de cómo se puede curvar el espacio – tiempo conforme a la Tª General de la Relatividad. Si uno piensa en el espacio vacío, lo primero que se pregunta es qué es lo que se curva….. Y a mí no me es fácil encontrar una respuesta.

Quizás esto te ayude a visualizarlo: trazas un triángulo cualquiera y mides sus ángulos. Si la suma es mayor que 180°, estás en un espacio de curvatura positiva; si es menor, la curvatura es negativa, y si es igual, la curvatura es nula.

[Pola]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Gracias Jaime.

Leyendo tu respuesta y la de Carroza, está claro que en los dos casos, la geometría que describís es la geometría de un espacio curvo.

Pensando en ello, lo que pasa es que lo que yo me estoy preguntado, es cómo se curva ése espacio.

Cuando ése espacio, en sus componentes elementales viene definido por puntos, la verdad es que no encuentro respuesta. Y no veo la forma de encontrarla. Un punto por definición no tiene longitud. Así que no se puede curvar. Y si uno piensa en la disposición o el orden de los puntos en ése espacio, tampoco ve la forma de que conformen una geometría curva...

Con segmentos de tamaño infinitesimal, es mucho más claro. Localmente pueden ser planos y sin embargo, formar un espacio curvo.

[skynet]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

lo que yo me estoy preguntado, es cómo se curva ése espacio.

no sabemos cómo se curva el espacio .... lo que sabemos es que el universo puede ser curvo y lo que te explican carroza y jaime es cómo detectaríamos esa curvatura .... aunque las mediciones indican que es bastante plano ...

también sabemos que la TGR dice que la masa deforma el espacio-tiempo, y explica la gravedad como una consecuencia de esta deformación .... pero no dice cómo lo hace, que es lo que tú preguntas.

- - - Actualizado - - -

Si uno piensa en el espacio vacío, lo primero que se pregunta es qué es lo que se curva….. Y a mí no me es fácil encontrar una respuesta.

la cuestión es que identificas el espacio vacío con la nada y no son lo mismo, el espacio-tiempo es algo, aunque no sea algo material .... y lo que sabemos de ese algo es que es deformable.

piensa en el tiempo .... el tiempo es algo inmaterial y según la TER se puede dilatar .... y si el tiempo se puede dilatar ¿por qué el espacio-tiempo no se va a poder curvar?

[Jaime Rudas]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Leyendo tu respuesta y la de Carroza, está claro que en los dos casos, la geometría que describís es la geometría de un espacio curvo.

Pensando en ello, lo que pasa es que lo que yo me estoy preguntado, es cómo se curva ése espacio.

Ah, ya veo: creo que el problema podría estar en que ves la curvatura com algo que se pandea y, en este caso particular, no es exactamente así. Para que algo se pandee, se requiere una dimensión adicional sobre la cual se pandea, pero la curvatura de la que estamos hablando es una propiedad intrínseca, o sea, que no requiere de dimensiones adicionales para manifestarse: solo se requiere de correlaciones entre la características de una circunferencia (el ejemplo de Carroza) o de un triángulo (el ejemplo que yo puse). La diferencia entre pandeo y curvatura intrínseca se puede ver en, por ejemplo, la superficie de un cono: en tres dimensiones, está pandeada, pero, intrínsecamente (en dos dimensiones) es plana, porque, si dibujas una circunferencia sobre ella, se cumplen las condiciones que mencionó Carroza para ello.

[Weip]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Con segmentos de tamaño infinitesimal, es mucho más claro. Localmente pueden ser planos y sin embargo, formar un espacio curvo.

En tu día a día te mueves por la superfície de la Tierra, que es localmente plana, pero globalmente es una esfera. Lo mismo aplica al espaciotiempo: por muy curvado que esté siempre es plano localmente.

[Pola]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Gracias por las respuestas.

Jaime, es muy curioso eso que dices sobre que en éste caso no es necesaria una dimensión adicional más.

...Al final se queda uno siempre con dudas.

Un saludo

[Jaime Rudas]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Jaime, es muy curioso eso que dices sobre que en éste caso no es necesaria una dimensión adicional más.

Sí, así es: fíjate que solo se requieren las características de las circunferencias o los triángulos trazados 'dentro' de las dimensiones del espacio considerado. Por eso se le llama curvatura intrínseca, en contraposición a la extrínseca, que sí se refiere al pandeo en una dimensión extra.

[Pola]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Gracias de nuevo, Jaime. No conocía ésa distinción.

Y también gracias a Weip. No sé por qué, no leí su primera respuesta (sí la segunda) , que acabo de ver ahora. Es muy aleccionadora y la verdad es que estoy totalmente de acuerdo con él: no sabemos cómo se curva.

Un saludo

[Alriga]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Con permiso de Weip y del resto de matemáticos del foro, voy a intentar explicar a nivel divulgación lo que yo entiendo como diferencia entre la curvatura intrínseca de una variedad y la curvatura extrínseca debido a que la variedad está incrustada en una variedad de dimensión superior.

Grosso modo,

* La curvatura es intrínseca, si un habitante de esa variedad haciendo medidas sin salir de ella obtiene diferencias respecto de las medidas euclídeas.

* Si un habitante de una variedad haciendo medidas sin salir de ella no puede obtener diferencias respecto de las medidas euclídeas, esa variedad no tiene curvatura intrínseca, a lo sumo puede tener curvatura extrínseca, si esta variedad está incrustada en otra de dimensión superior.

Vamos a poner ejemplos:

1. Variedades de dimensión 1 = Curvas unidimensionales derivables.

Las curvas no tienen curvatura intrínseca. Los pequeños habitantes unidimensionales quasipuntuales de una curva, haciendo medidas locales “dentro” de su curva (sin salirse de ella), no tienen manera de detectar diferencias respecto de las medidas realizadas en una línea recta.

Las variedades de dimensión 1 = curvas unidimensionales, solo tendrán curvatura extrínseca, es decir solo podemos decir que están curvadas y definirles una curvatura si las incrustamos en una variedad de dimensión superior y hacemos medidas allí, por ejemplo:

- Incrustada en variedad de dimensión 2, curvas en el plano



- Incrustada en variedad de dimensión 3, curvas en el espacio



2. Variedades de dimensión 2 = Superficies bidimensionales derivables. Aquí resultará que las hay de los dos tipos:

a) Las que no tienen curvatura intrínseca. Los pequeños habitantes bidimensionales “quasipuntos” de esas superficies, haciendo medidas locales “dentro” de su superficie (sin salirse de ella), no tienen manera de detectar diferencias respecto de las medidas que se hubiesen realizado en un plano euclídeo. Ejemplo, el cilindro parabólico:

• -La longitud de todas las circunferencias que se pueden dibujar en él cumplen $L=2\pi r$
• -La suma de los ángulos internos de todos los triángulos que se dibujen en él es 180º
• -Partiendo de un punto cualquiera y transportando un vector paralelo a sí mismo recorriendo cualquier circuito cerrado, el vector regresa siempre con la misma orientación con la que inició el recorrido.

Del cilindro parabólico solo podremos decir que es una superficie curvada si está incrustada en el espacio tridimensional (o uno de dimensión superior) Todos los cilindros, así como los conos son ejemplos de superficies sin curvatura intrínseca.

b) Las que sí tienen curvatura intrínseca. Los pequeños habitantes bidimensionales “quasipuntos” de esas superficies, haciendo medidas locales “dentro” de su superficie (sin salirse de ella), detectan diferencias respecto de las mismas medidas si éstas se hubiesen realizado en un plano euclídeo. Ejemplo, paraboloide:

• -La longitud de todas las circunferencias que se pueden dibujar en él cumplen $L < 2\pi r$
• -La suma de los ángulos internos de todos los triángulos que se dibujen en él es menor de 180º
• -Partiendo de algún punto y transportando un vector paralelo a sí mismo, existen recorridos en circuito cerrado en los que el vector regresa con una orientación distinta a la que tenía cuando inició el recorrido.

El paraboloide es un ejemplo de una superficie intrínsecamente curvada, no es necesario que esté incrustado en una dimensión superior para presentar curvatura. Otras variedades intrínsecamente curvadas son naturalmente las esferas, paraboloides hiperbólicos, ….

3. De forma similar, el espacio-tiempo cuatridimensional de la Relatividad General admite una generalización del concepto de curvatura, solo que aquí la definición de esa curvatura ya no es un simple numerito, sino un Tensor 4x4 (16 números) Y esa curvatura generalizada es intrínseca, es decir no es necesario que nuestro espaciotiempo cuatrodimensional esté incrustado en una variedad 5-dimensional para que podamos medirla.

... la verdad es que estoy totalmente de acuerdo con él: no sabemos cómo se curva ...

Sí lo sabemos, las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General te dicen exactamente como calcularla a partir de la distribución masa-energética dada por el Tensor Energía-Impulso (diferente es que sepamos hacer el cálculo en cualquier caso arbitrario). Y sabemos hacer los cálculos para algunos casos de geometría sencilla, como por ejemplo

• un Universo homogéneo e isótropo, (solución de Friedmann),
• el vacío que rodea a una distribución esférica de masa, (solución de Schwarzschild), …

Saludos.

[Pola]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Muchas gracias, Alriga. Muy interesante la explicación.

Entonces. ¿Por qué no estamos actualmente seguros de si el Universo es plano o no?

[Alriga]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

... ¿Por qué no estamos actualmente seguros de si el Universo es plano o no? ...

Porque para que sea espacialmente plano, el ratio de densidad debe ser exactamente 1. El ratio de densidad hay que medirlo, pero no sabemos hacer medidas con precisión infinita, la precisión que tenemos actualmente es la que te expliqué aquí: Tamaño del Universo Observable y del Universo en su totalidad

La conclusión es que el universo es plano con 3 cifras significativas. En el futuro es posible que se pueda aumentar el número de cifras, aunque si fuera exactamente plano, $\Omega \equiv 1$ , eso no vamos a poder saberlo nunca por esta vía.

Pero esto no debería sorprenderte: por ejemplo un ángulo físico real nunca vas a poder decir que es un ángulo recto. Haciendo medidas tal vez puedas decir que es de 90.00º +/- 0.01º O si realizas medidas con mejores instrumentos, tal vez puedas afirmar que mide 90.000000º +/- 0.000001º pero nunca podrás afirmar con absoluta seguridad que es un ángulo recto.

La cosa es diferente en casos claros de ángulos obtusos y agudos: Si tú mides en un ángulo físico real 87.2º +/ 0.1º estás seguro que tu ángulo es agudo. Del mismo modo, si por ejemplo al medir el ratio de densidad del Universo obtuviésemos $\Omega = 1.143 \pm 0.001$ , estaríamos seguros de que nuestro universo es esférico.

Saludos.

[Weip]

Re: Curvatura del espacio-tiempo

Y también gracias a Weip. No sé por qué, no leí su primera respuesta (sí la segunda) , que acabo de ver ahora. Es muy aleccionadora y la verdad es que estoy totalmente de acuerdo con él: no sabemos cómo se curva.

Diría que no me has leído a mí sino a skynet. Creo que no es la primera vez que me confundes con alguien jaja.