Otras carreras Soluciones sin materia.

[Pola]

Buenas tardes.

Una pregunta muy concreta.

He leído un libro de Carlo Rovelli (El orden del tiempo) y en una de las notas, se dice que las ecuaciones de la relatividad general admiten soluciones sin materia. ¿Esto es así? Yo creí que si se eliminaba la materia, desaparecía el propio espacio (campo).

Gracias y un saludo

[Weip]

Re: Soluciones sin materia.

En realidad ya conoces una solución sin materia de las ecuaciones de Einstein más allá del espaciotiempo de Minkowski (que al ser plano vendría a ser la solución trivial).

[sater]

Re: Soluciones sin materia.

Buenas. Para expandir algo más la respuesta de Weip, resumiré brevemente lo que quieren decir las ecuaciones de Einstein.

Estas ecuaciones relacionan, como seguro que has leído ya, la geometría del espaciotiempo con el contenido de materia y energía de éste, y tienen el siguiente aspecto:

$$G_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}$$

con $\kappa$ una constante de la teoría, la cual se puede encontrar exigiendo que la teoría gravitatoria de Newton se obtenga como límite a bajas energías de la de Einstein (masas pequeñas, velocidades pequeñas,...), y resulta ser $\kappa=8\pi G c^{-4}$.

Desglosando, el tensor $G_{\mu\nu}$ (tensor de Einstein) es proporcional a segunda derivadas de la métrica, la cual es un objeto matemático que nos permite medir distancias espaciotemporales, y el tensor $T_{\mu\nu}$ (tensor de energía-momento) nos dice como actúan los campos de materia (o de energía si piensas en fotones), y al igualarlos estas planteando una ecuación diferencial para encontrar; si la resuelves con suerte, la forma de la métrica. Por tanto, si pones $T_{\mu\nu}=0$ estas diciendo que no hay materia ni energía, y has de solucionar $G_{\mu\nu}=0$, cuyas soluciones serán soluciones de vacío. Por ejemplo, como dice Weip, espaciotiempo plano (Minkowski) es solución. Pero la gracia de estas ecuaciones es que son altamente no lineales, y las soluciones de vacío pueden crear cosas más chulas tales como agujeros negros, por ejemplo la solución de Schwarzschild a la que te enlaza Weip, o las ondas gravitatorias. La solución para este agujero negro sale también de resolver la ecuación de vacío, y te sale una constante de integración que se identifica con la masa, por tanto al hacerla nula (no hay masa) recuperas Minkowski.

No sé si todo esto te aclara algo, espero que sí. Un saludo.

[Pola]

Re: Soluciones sin materia.

Gracias.

Está claro que me faltan conocimientos para entender correctamente vuestras respuestas. Después de leerlas, (incluido el link de Weip), veo que existen ésas soluciones. La región I exterior de la solución del Schwarzschild lo deja bien claro, y lo que dice Sater al suponer que el tensor de energía-momento es cero también.

Pero me quedo hecho un mar de dudas.

Un saludo

[Jaime Rudas]

Re: Soluciones sin materia.

He leído un libro de Carlo Rovelli (El orden del tiempo) y en una de las notas, se dice que las ecuaciones de la relatividad general admiten soluciones sin materia. ¿Esto es así? Yo creí que si se eliminaba la materia, desaparecía el propio espacio (campo).

Como lo menciono en esta entrada, la solución propuesta por de Sitter en 1917 corresponde a un universo con constante cosmológica pero sin materia.

[sater]

Re: Soluciones sin materia.

Como lo menciono en esta entrada, la solución propuesta por de Sitter en 1917 corresponde a un universo con constante cosmológica pero sin materia.

Y corresponde a resolver $G_{\mu\nu}=-\kappa\Lambda g_{\mu\nu}$, con $\Lambda$ la constante cosmológica, que así escrita tiene unidades de densidad de energía. En este caso $T_{\mu\nu}=\Lambda g_{\mu\nu}$. ¿Lo vas viendo así más claro, Pola?

[Pola]

Re: Soluciones sin materia.

Me confunden dos cosas:

1. En el libro "Sobre la Tª de la relatividad especial y general", el propio Einstein, dice lo siguiente: (transcribo algunas de sus frases)

"Según la mecánica clásica y la Tª de la relatividad especial, el espacio (espacio - tiempo) tiene una existencia independiente de la materia o del campo.(…)
Por el contrario, según la Tª de la relatividad general, el espacio no tiene existencia peculiar al margen de aquello que llena el espacio (…)
Si suprimimos mentalmente el campo gravitacional puro, descrito por las g_ik (como funciones de las coordenadas), lo que queda no es algo así como un espacio de tipo 1, sino que no queda absolutamente nada, ni siquiera el espacio topológico. Pues las funciones g_ik describen no sólo el campo, sino al mismo tiempo, la estructura y propiedades topológicas y métricas de la variedad. Un espacio de tipo 1 es, en el sentido de la Tª de la relatividad general, no un espacio sin campo, sino un caso especial del campo g_ik para el cual las g_ik (…) poseen valores que no dependen de las coordenadas; el espacio vacío, es decir, un espacio sin campo, no existe".

Yo, después de leer esto, me he quedado en la cabeza con la idea de que si se elimina la materia, que es aquello que genera el campo, no existe espacio. Igual estoy equivocado.

2. Entiendo que una función se pueda tratar matemáticamente y buscar sus soluciones cuando una de sus variables se iguala a cero. Creo que ésa es la línea de los link de Weip y Jaime y también de la respuesta de Sater.

Pero lo que se está proponiendo si yo lo entiendo bien, es que el tensor de energía momento, (que es el que implica a la masa en la ecuación de la Tª de la relatividad general) sea cero.

Pues si es cero, no hay masa, ni agujero negro, ni campo gravitatorio, ni (según el punto anterior) espacio.

Igual estoy mezclando higos con peras. Vosotros me diréis.

Gracias por las respuestas y un saludo.

[Weip]

Re: Soluciones sin materia.

Hola de nuevo.

Me confunden dos cosas:

1. En el libro "Sobre la Tª de la relatividad especial y general", el propio Einstein, dice lo siguiente: (transcribo algunas de sus frases)

"Según la mecánica clásica y la Tª de la relatividad especial, el espacio (espacio - tiempo) tiene una existencia independiente de la materia o del campo.(…)
Por el contrario, según la Tª de la relatividad general, el espacio no tiene existencia peculiar al margen de aquello que llena el espacio (…)
Si suprimimos mentalmente el campo gravitacional puro, descrito por las g_ik (como funciones de las coordenadas), lo que queda no es algo así como un espacio de tipo 1, sino que no queda absolutamente nada, ni siquiera el espacio topológico. Pues las funciones g_ik describen no sólo el campo, sino al mismo tiempo, la estructura y propiedades topológicas y métricas de la variedad. Un espacio de tipo 1 es, en el sentido de la Tª de la relatividad general, no un espacio sin campo, sino un caso especial del campo g_ik para el cual las g_ik (…) poseen valores que no dependen de las coordenadas; el espacio vacío, es decir, un espacio sin campo, no existe".

No estoy del todo de acuerdo con este párrafo. Esto igual es más por las matemáticas del modelo que por la materia o el campo gravitatorio, pero en todo caso si quitas la métrica $g_{ik}$ lo que queda es justamente un espacio topológico. De hecho es por propia construcción: para hablar de geometría en espaciotiempo curvo primero necesitas una variedad topológica, luego una variedad diferenciable y finalmente una variedad lorentziana que ya es el espaciotiempo del que solemos hablar. Es decir, cojemos un espacio topológico de base y le vamos añadiendo estructura hasta el punto de poder hablar de distancias, áreas, y demás nociones métricas.

Yo, después de leer esto, me he quedado en la cabeza con la idea de que si se elimina la materia, que es aquello que genera el campo, no existe espacio. Igual estoy equivocado.

Si eliminas la materia, la radiación y todo, lo que te queda es espacio vacío. Creo que el problema está en hablar de campo gravitatorio en este contexto como si fuera un campo como el de la mecánica clásica cuando la lección que nos da la relatividad es que el concepto de campo gravitatorio es sustituido por el de la curvatura del espaciotiempo. Es por eso que cuando alguien habla de campo gravitatorio en relatividad o en áreas afines no está hablando de un campo literalmente, sino del espaciotiempo, de la métrica, de la curvatura... Depeniendo del contexto.

2. Entiendo que una función se pueda tratar matemáticamente y buscar sus soluciones cuando una de sus variables se iguala a cero. Creo que ésa es la línea de los link de Weip y Jaime y también de la respuesta de Sater.

Pero lo que se está proponiendo si yo lo entiendo bien, es que el tensor de energía momento, (que es el que implica a la masa en la ecuación de la Tª de la relatividad general) sea cero.

Pues si es cero, no hay masa, ni agujero negro, ni campo gravitatorio, ni (según el punto anterior) espacio.

Igual estoy mezclando higos con peras. Vosotros me diréis.

Gracias por las respuestas y un saludo.

Sí, las soluciones de vacío de las ecuaciones de Einstein se obtienen anulando el tensor de energía momento $T_{\mu \nu}$. Esto es como decir que no quieres ni materia ni radiación en el espaciotiempo. Imponiendo esta condición las ecuaciones de Einstein quedan $R_{\mu \nu}=0$. Este $R_{\mu \nu}$ es lo que se llama tensor de Ricci, y contiene información de la curvatura, pero no toda: así pues en términos geométricos tu duda es si existen espaciotiempos Ricci-planos pero con curvatura no nula, y la respuesta es que sí (ya hemos dado ejemplos pero en este link puedes ver otros 10). El tema de la masa y el agujero negro es un poco largo y complicado de explicar (seguramente sater, Jaime u otros usarios podrán explicártelo mejor que yo) pero de forma divulgativa te puedes quedar con que la masa está concentrada en la singularidad, que estrictamente no forma parte del espaciotiempo pues la métrica "peta" ahí.

Espero haberte ayudado.

[Pola]

Re: Soluciones sin materia.

Pues supongo que tienes razón, Weip.

Como dije antes, me parece que me faltan conocimientos para entender este asunto adecuadamente.

Gracias por las respuestas.