Divulgación Aceleración relativista.

[inakigarber]

Buenas noches;

Repasando este blog sobre la dinámica relativista, he encontrado esta fórmula relativa a la aceleración relativista;
$a_{x}=\dfrac{a'_{x}}{\gamma^3\left(1+\dfrac{v u'x}{c^2}\right)^3}$
Fórmula que el autor no demuestra (al menos hasta donde he leído del blog).
Sin seguir adelante, he tratado de demostrarlo yo. La fórmula que utiliza el autor me recuerda a la suma relativista de velocidades, supongo que el autor va por esa dirección. Yo he tratado de hacerlo por otro medio, pero no se si mi razonamiento es correcto y es aplicable a la mecánica relativista.
Yo hago una analogía clásica;
En física clásica;

$$P=mv$$

$$F=ma=\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d}t }$$

En física relativista;

[FONT=Verdana]

$$P=\dfrac{mv}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$

[/FONT]

Parto de esta fórmula que conozco (aunque no su deducción) para deducir la expresión de la fórmula de la fuerza relativista, partiendo de la fórmula (2)
Establezco $v=at$.
Por tanto;

[FONT=Verdana]$A=mat$[/FONT],[FONT=Verdana]

$$P=\dfrac{mat}{\sqrt{1-\dfrac{(at)^2}{c^2}}}$$

Aplicando la derivada del cociente y tras varios pasos para simplificar me sale lo siguente;

$$\boxed{\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}=F=\dfrac{ma}{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{(3/2)}}}$$

Dividiendo por $m$.
[/FONT]

[FONT=Verdana]

$$\boxed{a_r=\dfrac{a}{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{(3/2)}}}$$

Por una parte, esta fórmula no se parece a la facilitada al principio del hilo, pero por otra si mi desarrollo esta mal pensado, no comprendo el porque. ¿Es posible que ambas expresiones fueran correctas?

Saludos y gracias.
[/FONT]

[Alriga]

Re: Aceleración relativista.

El resultado de tu deducción

$F=m \gamma^3 a$

es correcto, como puedes ver aquí: ¿Se puede viajar a la velocidad de la luz, o a una mayor?

Saludos.

[Ulises7]

Re: Aceleración relativista.

Tu fórmula es correcta como ya han indicado. Lo que has obtenido es la fuerza en mecánica relativista pero fíjate que la fuerza que quieres averiguar es la fuerza de un observador S' que se mueve a velocidad V repecto al observador S en reposo, no conozco la demostración pero es de suponer que se parte de las transformaciones de Lorentz y se deriva la velocidad respecto al tiempo para obtener las aceleraciones relativas.

[Richard R Richard]

Re: Aceleración relativista.

Tu fórmula es correcta como ya han indicado. Lo que has obtenido es la fuerza en mecánica relativista pero fíjate que la fuerza que quieres averiguar es la fuerza de un observador S' que se mueve a velocidad V repecto al observador S en reposo, no conozco la demostración pero es de suponer que se parte de las transformaciones de Lorentz y se deriva la velocidad respecto al tiempo para obtener las aceleraciones relativas.

Solo acoto que el complemento temporal de la Fuerza espacial F para hacer la transformación de esta a otro sistema de referencia es la potencia W , y usando las transformaciones de Lorentz tienes

$W'=\dfrac{W-vF_x}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}<br /> {c^2}}}<br />$



$F_x'=\dfrac{F_x-\dfrac{Wv}{c^2}}<br /> {\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}<br />$

[Alriga]

Re: Aceleración relativista.

El resultado de tu deducción

$F=m \gamma^3 a$

es correcto, como puedes ver aquí: ¿Se puede viajar a la velocidad de la luz, o a una mayor?

Barkatu Iñaki, ayer por la noche iba con prisas y no tuve tiempo de responder a todo:

... Repasando este blog sobre la dinámica relativista, he encontrado esta fórmula relativa a la aceleración relativista;

$a_{x}=\dfrac{a'_{x}}{\gamma^3\left(1+\dfrac{v u'x}{c^2}\right)^3}$

Observa que has copiado mal en LaTeX la fórmula del blog, la expresión correcta es:

$a_{x}=\dfrac{a'_{x}}{\gamma^3\left(1+\dfrac{v u'_x}{c^2}\right)^3}$

Aquí te explica los pasos que hay que seguir para hacer la demostración, (debe ser bastante largo, supongo): Three-acceleration

Saludos.

[inakigarber]

Re: Aceleración relativista.

Buenos dias;

Gracias por vuestras resupestas.
Ayer enciontré este video en Youtube, creo que es bastante didáctico, voy a tratar de desarrollarlo a mi manera.
Partiendo de las transformaciones de Lorentz;
$x=\gamma(x'+vt')$
$y=y'$
$z=z'$
$t=\gamma(t'+\dfrac{vx'}{c^2})$
Sus derivadas;
[FONT=Verdana]

[FONT=Verdana]$dx=\gamma(dx'+vdt')$[/FONT]

$dz=dz'$

[FONT=Verdana]

$$dt=\gamma(dt'+\dfrac{vdx'}{c^2})$$

[/FONT]

y la velocidad;
$U_x=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\gamma(dx'+vdt')}{\gamma(dt'+\dfrac{vdx'}{c^2})}$
Que simplificando queda;
$U_x=\dfrac{u'_x+v}{1+\dfrac{v u'_x}{c^2}}$
Bien, ahora se trata a calcular la derivada de esta velocidad respecto al tiempo, para ello establezco;
$A=u'_x+v$ y $B=1+\dfrac{vu'_x}{c^2}$
$A'=\dfrac{du'_x}{dt}$ y $B'=\dfrac{v du'_x}{c^2 dt}$
[/FONT]

Aplicando la derivada del cociente;
$\dfrac{dU_x}{dt}=\dfrac{A'B-AB'}{B^2}$
y simplificando, me sale;
$a_x=\dfrac{\dfrac{du'_x}{dt}(1-\dfrac{v^2}{c^2})}{1+\dfrac{vu'_x}{c^2}}$
Sustituyendo $dt$ por el valor obtenido en (1) y simplificando me sale;

$$\boxed{a_r=\dfrac{a'_x}{\gamma^3\left(1+\dfrac{vu'_x}{c^2}\right)^3}}$$

donde $a'_x=\dfrac{du'_x}{dt'}$ y $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

El resultado obtenido en el primer post es simplemente un caso particular de este último;
Bien, obviamente, así como en le mecánica clásica el espacio y el tiempo son absolutos, distintos observadores inerciales medirán la misma aceleración y la misma fuerza independientemente de sus velocidades relativas. En relatividad especial no, distintos observadores inerciales medirán diferentes valores de aceleración en función de sus diferentes velocidades relativas.