Grupo de isometrías de la Relatividad General

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Por ejemplo si estás en un espaciotiempo de Minkowski entonces el grupo de isometrías es el de Poincaré, si estás en un espaciotiempo de Sitter entonces su grupo de isometrías es $\text{SO}(4,1)$, si es anti de Sitter entonces es $\text{SO}(3,2)$...

El grupo de isometrías de la métrica FLRW es $G_6$ porque hay seis campos de Killing linealmente independientes. Tres de ellos dependen de la curvatura así que teniendo en cuenta las tres posibilidades los grupos de isometría son los siguientes: $SO(3)\rtimes \mathbb{R}^3$ si $k=0$, $SO(4)$ si $k>0$ y $SO(3,1)$ si $k<0$.

Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?

Gracias

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?

No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con $k=0$ no es el grupo de Poincaré?

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola.

Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare ($SO(3,1) \times R^4$), $SO(4,1)$ y $SO(3,2)$, mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano ($SO(3) \times R^3$), $SO(4)$ y $SO(3,1)$.

Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW

Saludos

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare ($SO(3,1) \times R^4$), $SO(4,1)$ y $SO(3,2)$, mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano ($SO(3) \times R^3$), $SO(4)$ y $SO(3,1)$.

Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW

En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_t$ tipo espacio de manera que dados dos puntos de $\Sigma_t$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_t$ para todo tiempo $t$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_t$ de forma que al hacer $t$ constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo $\Sigma_t$.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con no es el grupo de Poincaré?

Sí, me refería a esa métrica.

Teniendo en cuenta lo que acabas de explicar de por qué el tiempo "desaparece" de la métrica, lo que he entendido de todo lo mencionado anteriormente es:

• Si $k<0$, entonces su grupo de isometrías es $SO(1,3)$, es decir el grupo de Lorentz. Aquí se deja invariante el hiperboloide.

• Si $k=0$, entonces su grupo de isometrías es $\mathbb{R}^3 \rtimes SO(3)$. Las isometrías aquí serían las rotaciones y traslaciones en el espacio tridimensional.

• Si $k>0$, entonces su grupo de isometrías es $SO(4)$. Aquí se deja invariante la 3-esfera.

Y además si no me equivoco, hay una invariancia local $SO(1,3)$, independientemente de $k$.

Es correcto esto?

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Sí, es correcto.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Y además si no me equivoco, hay una invariancia local $SO(1,3)$, independientemente de $k$.

Es correcto esto?

Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es $R^4 \rtimes SO(3,1)$

Me equivoco?

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es $R^4 \rtimes SO(3,1)$

Me equivoco?

No te equivocas no, si nos acercamos mucho al espaciotiempo éste nos parece plano al igual que la Tierra de cerca nos parece plana, con lo que la Relatividad Especial es válida localmente y por eso se recupera la invarianza Poincaré.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_t$ tipo espacio de manera que dados dos puntos de $\Sigma_t$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_t$ para todo tiempo $t$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_t$ de forma que al hacer $t$ constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo $\Sigma_t$.

Hola. Weip. Ahora que voy entendiendo algo más este tema de "isometrias" vs "simetrias", dejame que te haga una pregunta naif, para entender el párrafo anterior. Una de las cosas que crei entender de relatividad es que coordenadas espaciales (x,y,z) y tiempo t son equivalentes, salvo un signo en el tensor métrico. Si esto es correcto, por qué no podría cambiar en tu frase el tiempo por una coordenada, por ejemplo x, y decir algo de tipo

En efecto, la coordenada x "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW-x. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_x$ tipo espacio-tiempo de manera que dados dos puntos de $\Sigma_x$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_x$ para toda coordenada $x$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_x$ de forma que al hacer $x$ constante el grupo de isometrías no ve la coordenada x, sino solo $\Sigma_x$.

Gracias de antemano

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola de nuevo carroza.

Puedes reescribir la frase con $x$ en vez de $t$ sin problemas sí. La diferencia es que ahora estás interpretando $x$ como el tiempo. Lo único que yo cambiaría de la frase es que realmente $\Sigma_x$ es de tipo espacio porque $\Sigma_x$ es la hipersuperfície $x=\text{cte}$ con lo que todos sus vectores tangentes en cada punto son tipo espacio.