2o ciclo Rotaciones espaciales - Grupo de Lorentz

[mbgfh]

Hola.
¿Cómo puedo demostrar que el grupo de rotaciones espaciales es un subgrupo del grupo de Lorentz?

[Weip]

Re: Rotaciones espaciales - Grupo de Lorentz

Hola mbgfh.

Por fijar notaciones, el grupo de rotaciones es $\text{SO}(3)=\left\{M \in \text{O}(3) | det(M)=1 \right\}$ y el grupo de Lorentz es $\text{O}(1, 3)=\left\{ \Lambda\in M_4(\mathbb{R})|\Lambda^T \eta \Lambda=\eta \right\}$ donde $\eta$ es la métrica de Minkowski. Para demostrar que $\text{SO}(3)$ es subrgupo de $\text{O}(1, 3)$ considera la matriz $\Lambda$ definida por:

$\Lambda=\left(\begin{matrix}1&0\\0&M\end{matrix}\right)$

Con $M\in \text{SO}(3)$. Observa que $\Lambda \in \text{O}(1, 3)$. Ahora usa el criterio que quieras para ver que $\text{SO}(3)$ es subgrupo de $\text{O}(1, 3)$. Por ejemplo mira que la operación es cerrada y determina la identidad y el elemento inverso.

[carroza]

Re: Rotaciones espaciales - Grupo de Lorentz

Hola.

En estas cosas, los físicos solemos ser más pragmáticos (o más marrulleros) que los matemáticos.

Para demostrar que el grupo de las rotaciones O(3) es un subgrupo del grupo de Lorentz O(3,1), bastaría (para un físico), demostrar que, dentro de los generadores de O(3,1), que son $L_x, L_y, L_z, K_x, K_y, K_z$, puedes elegir tres generadores, $L_x, L_y, L_z$, que cierran frente a conmutación y tienen las reglas de conmutación propias de O(3).

Se que aquí no hacemos mucha distinción entre grupos y álgebras, pero eso suele valernos.

Saludos