¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

[carroza]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

No veo por qué consideras esto un argumento para que la gravedad deba ser descrita por tensores de rango 2. A las ecuaciones de Einstein se llega por argumentos heurísticos, y las aceptamos porque concuerdan con los experimentos. Posteriormente es "fácil" encontrar una acción de la cual se deriven.

Creo que, aunque la acción sea en física la manera más fundamental que tenemos de presentar una teoría, es la última parte del proceso; o al menos en gravedad (no soy experto, pero creo que en partículas suele ser al revés). Por tanto no me parece la mejor manera de responder a la pregunta.

Hola. Considerando que tu hiciste la pregunta inicial, parece adecuado que tu fijes el tipo de respuesta que esperas.

No obstante, dejame argumentar mi linea de respuesta:

Yo diría que, actualmente, "describir" un sistema es sinónimo a dar el lagrangiano (o la densidad lagrangiana, o la acción) que gobierna el movimiento de ese sistema. Si sabes el lagrangiano, puedes deducir las ecuaciones de movimiento, por las ecuaciones de Euler-lagrange.
Por ejemplo, si queremos "describir" el electromagnetismo, daríamos la densidad lagrangiana electromagnética, con sus campos $A_\mu$, de la cual se derivan las ecuaciones de Maxwell. Una posterior cuantización de este campo nos lleva al fotón, de espín uno y masa cero. Si queremos "describir" la interacción débil, daríamos el lagramgiano de la interaccion debil, con sus campos $W_\mu$, de la que se derivan los diagramas de feynmann con intercambio de bosones de espín 1 $W^\pm$. Si queremos "describir" el bosón de Higgs, desarrollamos el lagrangiano de la teoría electrodébil con ruptura espontanea de la simetría, en el que nos aparece un campo escalar $h$ asociado al boson de Higgs, de espín cero, $H$.

De la misma forma, opino que si queremos "describir" la gravedad, en un formalismo relativista, lo podemos hacer con una densidad lagrangiana aproximada que depende de un campo tensorial $h_{\mu \nu}$. En una hipotética cuantización de este campo, aparecería una partícula de espín 2 y masa cero que llamamos gravitón.

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Buenas de nuevo Carroza. Lo siento por mi cabezonería, pero sigo sin ver eso una explicación.

Para poder escribir un lagrangiano para el electromagnetismo por ejemplo, no se nos ocurriría de golpe y porrazo hacerlo así. Aunque sea cierto que es la manera más precisa/fundamental de describir un sistema, no me parece la razón por la cual los objetos de nuestra teoría deban ser esos. Es decir, yo primero observo fenómenos (cargas se atraen y repelen, necesito vectores para describir eso). Luego en lenguaje relativista veo que las fuentes de campo se agrupan en un cuadrivector y los campos en otro, y veo que entonces la estructura vectorial de las ecuaciones de Maxwell se puede simplificar con esos cuadrivectores (tensores de rango 1).

En gravedad observo que masas se atraen. Necesito vectores para describirlo. Pero luego nos topamos con el principio de equivalencia, y con la propia inconsistencia de la gravedad newtoniana. Por tanto renunciamos a vectores. El principio de equivalencia nos lleva a sugerir la metrización de la gravedad. Funciona. Encontramos ecuaciones para la métrica, y resulta que engloban al paradigma anterior y explican los fenómenos. Nos planteamos encontrar finalmente una acción de la que se deriven pues es la manera en que presentamos actualmente la teoría (además nos permite discutir más cosas sobre la teoría, como consecuencias de invarianza bajo difeomorfismos, qué ocurre si no imponemos compatibilidad de la métrica, torsion, etc).

Pero me parece que la respuesta a "¿por qué así y no de otra forma?" no puede hacerse diciendo "porque este es el lagrangiano que lo describe".

[carroza]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Pero me parece que la respuesta a "¿por qué así y no de otra forma?" no puede hacerse diciendo "porque este es el lagrangiano que lo describe".

Hola. Y que te parece la respuesta:

"¿por qué así y no de otra forma?" : "porque no existe ningun lagrangiano alternativo que lo describa"


En nuestro caso, a la pregunta

"por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos"

respondería:

"Porque no existe ninguna densidad lagrangiana, o acción, que no contenga tensores de rango dos, que permita describir la gravedad ".

(Inciso: la curvatura escalar R que aparece en la acción de Hilbert-Einstein es la contracción del tensor métrico, de rango 2, $g^{\mu \nu}$, con el tensor de Riemann, de rango 2, $R_{\mu \nu}$).

Entiendo, Sater, que tu prefieres una respuesta más descriptiva, que permita entender qué aspectos de la gravitación nos van llevando a la necesidad de una formulación aparentemente compleja, que serían los tensores de rango 2, en lugar de los vectores
normales y corrientes que aparecen en la gravitación clásica.

Yo lo que estoy proponiendo es una respuesta corta, simple (pero no fácil), y general, que presupone que el lector está familiarizado con la formulación lagrangiana.

No entro en qué respuesta es mejor. Que cada uno elija la que mejor satisfaga su curiosidad.

Saludos

[Weip]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

"Porque no existe ninguna densidad lagrangiana, o acción, que no contenga tensores de rango dos, que permita describir la gravedad ".

Si cuando se plantea la cuestión del hilo nos referimos a cualquier tensor de rango dos y no al campo dinámico de la acción que todos conocemos entonces todas las interacciones fundamentales se describen con tensores de rango dos porque todas pueden ser descritas mediante teorías gauge. Quizás esta interpretación de la pregunta es más aburrida porque acabamos aquí y ya está. Por tu mensaje me ha parecido que ibas por aquí pero en anteriores intervenciones respondías la pregunta comparando los campos dinámicos $A_{\mu}$ y $g_{\mu \nu}$ (o $h_{\mu \nu}$) con lo cual la respuesta a la cuestión es muy distinta en este caso y tiene más gracia pues $g_{\mu \nu}$ no es imprescindible para describir la gravedad en el sentido que se pueden escribir acciones donde la métrica no sea explícitamente el campo dinámico.

Un detalle aparte:

(Inciso: la curvatura escalar R que aparece en la acción de Hilbert-Einstein es la contracción del tensor métrico, de rango 2, $g^{\mu \nu}$, con el tensor de Riemann, de rango 2, $R_{\mu \nu}$).

Supongo que es despiste pero $R_{\mu \nu}$ no es el tensor de Riemann, si no el tensor de Ricci. El tensor de Riemann tiene rango cuatro.

[carroza]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Weip, tienes toda la razón. En la densidad lagrangiana de cualquier campo gauge aparece el tensor de rango 2 $F_{\mu \nu}$, que se obtienen a partir de las derivadas cruzadas del campo $A_{\mu}$, y eso no es razón para decir que para describir los campos gauge como el electromagnético requieren de tensores de rango dos. También tienes razón en que me refería al tensor de Ricci, no al de Riemann.

Corrijamos: La interacción gravitatoria clásica se describe por un potencial gravitatorio $\Phi_g(\vec r, t)$, que, multiplicado por la masa, nos da la energía potencial gravitatoria. El campo gravitatorio viene dado en función del gradiante del potencial gravitatorio.

En una descripción de relatividad general del movimiento de partículas en un campo gravitatorio se realiza con un tensor métrico $g_{\mu \nu}$. La conexión entre la relatividad general y la gravitación clásica se hace porque, en el limite de velocidades pequeñas y poteniales gravitatorios débiles, comparados con $c^2$ el elemento $g_{0 0} \simeq -c^2 (1 +2 \Phi_g(\vec r, t)/c^2)$.

Si queremos describir la gravedad, en toda su gloria, tenemos que considerar que el tensor métrico que describe el campo gravitatorio es una variable dinámica, que puede modificarse espacial y temporalmente.

Para describir la gravedad, es decir, para describir la evolución en el espacio y en el tiempo de este tensor $g_{\mu \nu}$, necesito una densidad lagrangiana, que es una cierta función que depende de $g_{\mu \nu}$ y sus derivadas. Si tengo esa función, puedo definir la acción, y derivar las ecuaciones de movimiento de $g_{\mu \nu}$ a partir de las ecuaciones de Euler-lagrange. Si no tengo una densidad lagrangiana, no hay ecuaciones de movimiento, luego no hay descripción de la gravedad. La función densidad lagrangiana para el campo gravitatorio existe, y es, salvo constantes, la curvatura escalar $R$, que es la contracción de $g_{\mu \nu}$ con el tensor de Ricci $R^{\mu \nu}$. Este tensor depende de las derivadas de $g^{\mu \nu}$

Aqui es relevante la comparación con la interacción elecrostática. La interaccion electrostática clásica también se describe por un potencial $\Phi_e(\vec r, t)$, que multiplicado por la carga, nos da la energía potencial eléctrica. El gradiente de este potencial nos da el campo eléctrico. En mecánica clásica, el tratamiento del potencial electrostático es formalmente idéntico al potencial gravitatorio, simplemente, cambiando masas por cargas.

Sin embargo, el tratamiento relativista es diferente. El potencial electrostático se convierte en la componente $A_0$ de un cuadrivector $A_\mu$, que es un tensor de rango 1, no uno de rango 2. Este cuadrivector es una variable dinámica, que llamamos campo elecromagnético. Para describir la evolución de esta variable dinámica, necesitamos una densidad lagrangiana. La densidad lagrangiana del campo electromagnético la conocemos. Es la suma de un término $A_\mu j^\mu$, que describe las interacciones del campo con las cargas, y de un término $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$, que depende de las derivadas del campo elecromagnético, y describe el campo libre de cargas.


¿Por qué esa diferencia de tratamientos? ¿Por que el campo gravitatorio lo englobo en un tensor de rango 2, mientras el campo electrostático lo englobo en un tensor de rango uno?

La respuesta es porque la carga, que es la fuente del campo eléctrico clásico, es invariante frente a transformaciones de Lorentz, mientras que la masa (o la energía), que es la fuente del campo gravitatorio clásico, cambia frente a transformaciones de Lorentz.
En un tratamiento relativista, las cargas en movimiento vienen descrita por un cuadrivector (o un tensor de rango uno) $j_\mu$, mientras que las masas (o energías) en movimiento vienen descritas por un tensor de rango 2, $T_{\mu \nu}$

Un saludo

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

¿Por qué esa diferencia de tratamientos? ¿Por que el campo gravitatorio lo englobo en un tensor de rango 2, mientras el campo electrostático lo englobo en un tensor de rango uno?

La respuesta es porque la carga, que es la fuente del campo eléctrico clásico, es invariante frente a transformaciones de Lorentz, mientras que la masa (o la energía), que es la fuente del campo gravitatorio clásico, cambia frente a transformaciones de Lorentz.
En un tratamiento relativista, las cargas en movimiento vienen descrita por un cuadrivector (o un tensor de rango uno) $j_\mu$, mientras que las masas (o energías) en movimiento vienen descritas por un tensor de rango 2, $T_{\mu \nu}$

Un saludo

Este último párrafo es lo que me faltaba para terminar de dar (mi humilde) visto bueno a la argumentación desde lagrangianos. (Y ahora que lo leo recuerdo que lo había leído antes: en el libro "QFT in a nutshell" de A.Zee, apéndice 2 del capítulo 1.5 en la segunda edición).