2o ciclo tensores

[alejandrito29]

Hola. El semestre que viene tendré el ramo de Relatividad General y estoy empezando a leer tensores, la teoría la estoy leyendo del Arkfen de métodos matematicos.
Como aún no tengo un profesor que me valla guiando quisiera preguntar si está bien un ejercicio:

En la base e1 = (1,0) y e2 = (0,1) las componentes de el tensor:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si se hace el siguiente cambio de base:

[FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMSY7]′[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMR10]= [/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMR10]+[/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]2[/FONT]

[FONT=CMSY7]e′[/FONT][FONT=CMR7]2 [/FONT][FONT=CMR10]= [/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMSY10]−[/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]2[/FONT][FONT=CMMI10],[/FONT]

[FONT=CMMI10]¿Cuales son las componentes del tensor en la nueva base?[/FONT]
_______________________________________________________________

Lo que yo haría es lo siguiente (pero no se si está bien):

Como el rango es 2 , serían 2 deribadas parciales y ambas contravariantes_

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que a mi me daría la multiplicación de 3 matrices:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Esta bien?

Mas adelante me gustaría preguntar por lo otro que piden en el ejercicio que adjunto

[alejandrito29]

parte b) del mismo ejercicio:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si se hace el mismo cambio de base:
e′1 = e1 +e2
e′2 = e1 −e2,
_______________________________________________________________
yo pienso lo siguiente :
Como el rango es 2 , serían 2 deribadas parciales, una contravariante (i) y una covariante (j)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Para la transformación covariante calculo la matriz inversa de la contravariante, o sea
-0,5[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo que ahora me daría la multiplicación de 3 matrices:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] -0,5[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¿Estaria bueno o malo??

[pod]

Re: tensores

Hola. El semestre que viene tendré el ramo de Relatividad General y estoy empezando a leer tensores, la teoría la estoy leyendo del Arkfen de métodos matematicos.
Como aún no tengo un profesor que me valla guiando quisiera preguntar si está bien un ejercicio:

En la base e1 = (1,0) y e2 = (0,1) las componentes de el tensor:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si se hace el siguiente cambio de base:

[FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMSY7]′[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMR10]= [/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMR10]+[/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]2[/FONT]

[FONT=CMSY7]e′[/FONT][FONT=CMR7]2 [/FONT][FONT=CMR10]= [/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]1 [/FONT][FONT=CMSY10]−[/FONT][FONT=CMMI10]e[/FONT][FONT=CMR7]2[/FONT][FONT=CMMI10],[/FONT]

[FONT=CMMI10]¿Cuales son las componentes del tensor en la nueva base?[/FONT]
_______________________________________________________________

Lo que yo haría es lo siguiente (pero no se si está bien):

Como el rango es 2 , serían 2 deribadas parciales y ambas contravariantes_

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que a mi me daría la multiplicación de 3 matrices:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Esta bien?

Mas adelante me gustaría preguntar por lo otro que piden en el ejercicio que adjunto

Cuando escribas latex en el foro, no incluyas el $, el sistema lo hace por si mismo

Me parece que tienes dos errores; en primer lugar, la matriz del cambio de base no es la que has usado. Fíjate que

$$\begin{aligned}<br /> e_1 & = \frac12 (e_1' + e_2 ' ) \ , \\<br /> e_2 & = \frac12 (e_1' - e_2 ' ) \ , <br /> \end{aligned}$$

de donde tienes

$$x^1 e_1 + x^2 e_2 = \frac12 (x^1+x^2) e_1' + \frac12 (x^1-x^2) e_2' = {x'}^1 e'_1 + {x'}^2 e'_2 \ ,$$

por tanto

$$\begin{pmatrix} {x'}^1 \\ {x'}^2 \end{pmatrix}<br /> =<br /> \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} {x}^1 \\ {x}^2 \end{pmatrix}$$

fíjate que los $x^i$ en realidad transforman con la matriz inversa que los $e_i$; por eso unos tienen el índice arriba y los otros abajo.

El otro error está aquí:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que a mi me daría la multiplicación de 3 matrices:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Fíjate que el producto matricial multiplica filas por columnas. Eso significa que cuando escribes la multiplicación matricial, los dos índices que sumas tienen que ir juntos en la expresión. Por ejemplo,

$$(A B)_{ij} = \sum_k (A)_{ik} (B)_{kj}\ .$$

En la matriz de cambio de base, el índice de arriba da las filas, y el de abajo las columnas,

$$\Lambda^i_{\ j} = \frac{\dd {x'}^i}{\dd x^j}\ .$$

Eso significa que tienes que hacer lo siguiente,

$$\begin{aligned}<br /> {T'}^{kl} <br /> & = \frac{\dd{x'}^k}{\dd{x}^i} \frac{\dd{x'}^l}{\dd{x}^j} T^{ij} \\<br /> & = \Lambda^k_{\ i} \Lambda^l_{\ j} T^{ij} \\<br /> & = \Lambda^k_{\ i} T^{ij} \Lambda^l_{\ j} \ ,<br /> \end{aligned}<br />$$

en el primer caso, ya tienes los dos índices contraídos juntos, pero en el segundo no; así que tienes que darle la vuelta. ¿Que es lo que te intercambia filas y columnas? La matriz transpuesta. O sea,

$$T ' = \Lambda T \Lambda^T \ .$$

Esta es la multiplicación que tienes que hacer Recuerda que la $\Lambda$ es la que di yo.


En el caso del tensor (1,1), es similar.

$$\begin{aligned}<br /> {T'}^i_{\ j} <br /> & = \frac{\dd {x'}^i}{\dd x^k} \frac{\dd x^l}{\dd {x'}^j} T^k_{\ l} \\<br /> & = \Lambda^i_{\ k} (\Lambda^{-1})^l_{\ j} T^k_{\ l} \\<br /> & = \Lambda^i_{\ k} T^k_{\ l} (\Lambda^{-1})^l_{\ j} \ ,<br /> \end{aligned}$$

lo que se traduce en

$$T' = \Lambda T \Lambda^{-1}\ .$$

[alejandrito29]

Re: tensores

Muchas gracias por tu ayuda pod.
¿Hay algún libro que alguien me pueda recomendar?...Los libros de métodos matemáticos que yo tengo abarcan los tensores en forma muy abstracta...mucha teoría, pero muy poco ejercicio resuelto.

[pod]

Re: tensores

Muchas gracias por tu ayuda pod.
¿Hay algún libro que alguien me pueda recomendar?...Los libros de métodos matemáticos que yo tengo abarcan los tensores en forma muy abstracta...mucha teoría, pero muy poco ejercicio resuelto.

¿Libros? No se... Estas cosas como siempre son cosa de práctica. Puedes probar con el Schutz, que ademas trae geometría diferencial que te vendrá muy bien para relatividad.

[alshain]

Re: tensores

Creo que ya lo hemos mencionado en algún hilo, pero si quieres aprender a manejar tensores de forma práctica, sin pasar por mucha teoría, un buen libro es el Schaum's Outline "Tensor Calculus".