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Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria
Al principio interpreté mal la pregunta. Pensaba que metaleer se refería a casos donde hubiera conversión de "energía gravitatoria" a masa. pero ahora veo que era otra cosa.
Bueno, para empezar, la respuesta corta es que la pregunta carece de sentido. Es el típico caso en que se mezclan conceptos de varios paradigmas muy diferentes. En relatividad general, el concepto de "energía del campo gravitatorio" no existe, por que no existe el campo gravitatorio. La gravitación deja de ser una interacción usual, entre partículas, y pasa a ser una relación dinámica entre las partículas y el espacio-tiempo.
Ahora bien, igual que yo se que para deformar un muelle gasto energía (), uno se podría plantear la energía necesaria para curvar el espacio-tiempo. Esto sería la generalización natural al concepto de energía gravitatoria. Pues bien, esto es muy fácil de decir, pero casi imposible de hacer. ¿Por qué? Bueno, está claro que un objeto de este tipo no puede ser ni un tensor ni local.
Vamos a razonarlo de la siguiente forma: Yo se que cambiando a un sistema en caída libre, localmente no hay ningún efecto gravitatorio (esto es lo que dice el principio de equivalencia débil -o el fuerte, siemper los confundo
). Es decir, en un sistema en caída libre, localmente la energía es cero. Pero en cualquier otro sistema de referencia que no esté en caída libre, esto no será así. Un cambio de sistema de referencia, matemáticamente se traduce en un cambio de coordenadas. Un tensor que sea cero en un sistema de referencia, será cero en todos los sistemas de referencia. Así que la energía no puede ser un tensor.
Esto es una dificultad muy grande, no esta muy claro como tratar entidades que no son tensores. Se emplean cosas que se les parecen, "pseudotensores". Einsten ya propuso un pseudo tensor de energía-momento, pero el suyo fue un poco una caca ya que no era simétrico. El que ha pasado a la posteridad es Landau-Lifshit. Para que veáis lo complicado que es este asunto, se tardo unos 50-60 años en poder demostrar el teorema de positividad de la energía para este pseudotensor (lo demostró un tal Israel, si no recuerdo mal; aunque apenas un año más tarde Witten consiguió una demostración más elegante). De hecho esto de los pseudotensores sigue siendo debatido por mucha gente. Es bastante "feo" tener que utilizar algo que no sea un tensor.
Una forma más práctica de definir energías es utilizar el límite clásico. Sabemos que si estamos muy lejos de cualquier acumulación de masa (o energía), las leyes de la Física según la relatividad especial se tienen que cumplir (esto también debido al principio de equivalencia). Básicamente, esto nos permite definir una energía de cualquier cosa que esté muy lejos de nosotros (y en reposo relativo). Básicamente, esto es equivalente al teorema de Gauss, cuando estamos muy lejos, los detalles de la forma de la distribución de masas no nos importa, y podemos suponer que tiene simetría esférica y la gravedad será la de una partícula Newtoniana.
La energía definida de esta forma se llama ADM (por Arnowitt, Deser y Misner). Por definición, se toma . Esta relación no es casual o un capricho, viene directamente de la definición moderna de masa: la energía necesaria para el objeto. Como en este límite nos estamos situando muy lejos del objeto, esto es equivalente a imaginar que el objeto es muy pequeño, idealmente una partícula puntual. Una partícula puntual (en reposo relativo) no tiene más energía que su masa; así quen o quedan más pepinos que se cumpla esa relación.
Esta es la misma justificación que se usa para muchas definiciones de masa: por ejemplo (en un campo totalmente diferente), la masa de un protón se define como la masa de los tres quarks menos la energía de ligadura (es decir, cuando acercas los quarks la energía disminuye, por eso la masa definida de esta forma es menor que la de los quarks por separado).
En resumen: en general, esta pregunta no tiene sentido en relatividad general, ya que los elementos que preguntas no existen en ella. Pero en la aproximación semi-Newtoniana (por llamarla así), se cumple por definición.
Al principio interpreté mal la pregunta. Pensaba que metaleer se refería a casos donde hubiera conversión de "energía gravitatoria" a masa. pero ahora veo que era otra cosa.
Bueno, para empezar, la respuesta corta es que la pregunta carece de sentido. Es el típico caso en que se mezclan conceptos de varios paradigmas muy diferentes. En relatividad general, el concepto de "energía del campo gravitatorio" no existe, por que no existe el campo gravitatorio. La gravitación deja de ser una interacción usual, entre partículas, y pasa a ser una relación dinámica entre las partículas y el espacio-tiempo.
Ahora bien, igual que yo se que para deformar un muelle gasto energía (), uno se podría plantear la energía necesaria para curvar el espacio-tiempo. Esto sería la generalización natural al concepto de energía gravitatoria. Pues bien, esto es muy fácil de decir, pero casi imposible de hacer. ¿Por qué? Bueno, está claro que un objeto de este tipo no puede ser ni un tensor ni local.
Vamos a razonarlo de la siguiente forma: Yo se que cambiando a un sistema en caída libre, localmente no hay ningún efecto gravitatorio (esto es lo que dice el principio de equivalencia débil -o el fuerte, siemper los confundo
). Es decir, en un sistema en caída libre, localmente la energía es cero. Pero en cualquier otro sistema de referencia que no esté en caída libre, esto no será así. Un cambio de sistema de referencia, matemáticamente se traduce en un cambio de coordenadas. Un tensor que sea cero en un sistema de referencia, será cero en todos los sistemas de referencia. Así que la energía no puede ser un tensor.Esto es una dificultad muy grande, no esta muy claro como tratar entidades que no son tensores. Se emplean cosas que se les parecen, "pseudotensores". Einsten ya propuso un pseudo tensor de energía-momento, pero el suyo fue un poco una caca ya que no era simétrico. El que ha pasado a la posteridad es Landau-Lifshit. Para que veáis lo complicado que es este asunto, se tardo unos 50-60 años en poder demostrar el teorema de positividad de la energía para este pseudotensor (lo demostró un tal Israel, si no recuerdo mal; aunque apenas un año más tarde Witten consiguió una demostración más elegante). De hecho esto de los pseudotensores sigue siendo debatido por mucha gente. Es bastante "feo" tener que utilizar algo que no sea un tensor.
Una forma más práctica de definir energías es utilizar el límite clásico. Sabemos que si estamos muy lejos de cualquier acumulación de masa (o energía), las leyes de la Física según la relatividad especial se tienen que cumplir (esto también debido al principio de equivalencia). Básicamente, esto nos permite definir una energía de cualquier cosa que esté muy lejos de nosotros (y en reposo relativo). Básicamente, esto es equivalente al teorema de Gauss, cuando estamos muy lejos, los detalles de la forma de la distribución de masas no nos importa, y podemos suponer que tiene simetría esférica y la gravedad será la de una partícula Newtoniana.
La energía definida de esta forma se llama ADM (por Arnowitt, Deser y Misner). Por definición, se toma . Esta relación no es casual o un capricho, viene directamente de la definición moderna de masa: la energía necesaria para el objeto. Como en este límite nos estamos situando muy lejos del objeto, esto es equivalente a imaginar que el objeto es muy pequeño, idealmente una partícula puntual. Una partícula puntual (en reposo relativo) no tiene más energía que su masa; así quen o quedan más pepinos que se cumpla esa relación.
Esta es la misma justificación que se usa para muchas definiciones de masa: por ejemplo (en un campo totalmente diferente), la masa de un protón se define como la masa de los tres quarks menos la energía de ligadura (es decir, cuando acercas los quarks la energía disminuye, por eso la masa definida de esta forma es menor que la de los quarks por separado).
En resumen: en general, esta pregunta no tiene sentido en relatividad general, ya que los elementos que preguntas no existen en ella. Pero en la aproximación semi-Newtoniana (por llamarla así), se cumple por definición.
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