Divulgación relatividad y metrica

[eljose]

si la metrica de Minkowski hubiera sido

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dt^{2}$

donde x,y,z y t son REALES ¿habria relatividad?.. porque haciendo los calculos saldria que hay una dilatacion espacial y temporal PERO que son complejas

[alshain]

Re: relatividad y metrica

Con una métrica así no hay problemas de valores iniciales, sino sólo problemas con condiciones de contorno. No existe la ecuación de ondas, los conos de luz, etc., sino que $\partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi = f$ da lugar a las ecuaciones de Poisson y Laplace (ecuaciones diferenciales elípticas y no hiperbólicas), y la determinación instantanea de soluciones en todo el espacio. En definitiva, no hay tiempo; la $t$ es sólo el nombre de una dimensión espacial más.

Un saludo.

[Entro]

Re: relatividad y metrica

si la metrica de Minkowski hubiera sido

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dt^{2}$

donde x,y,z y t son REALES ¿habria relatividad?.. porque haciendo los calculos saldria que hay una dilatacion espacial y temporal PERO que son complejas

Solo un comentario al margen de la excelente respuesta de alshain...

Habría relatividad solo que el grupo de la simetría no sería el grupo de Poincaré.

Y por cierto en la relatividad Einsteniana x,y,z y t son reales.

[pod]

Re: relatividad y metrica

Solo un comentario al margen de la excelente respuesta de alshain...

Habría relatividad solo que el grupo de la simetría no sería el grupo de Poincaré.

Y por cierto en la relatividad Einsteniana x,y,z y t son reales.

Supongo que con lo de "realidad" se refiere a que algunos textos (sobre todo antiguos) usan una métrica euclidea de este tipo pero dicen que el tiempo es imaginario. Es una forma de "justificar" que tenga signo contrario. Una especie de rotación de Wick, para entendernos.

En cualquier caso, históricamente la métrica de Minkowsky es posterior a la relatividad, así que la métrica de Minkowsky se elije para explicar la relatividad, no al revés. De todas formas, la relatividad de Galileo funciona en cualquier dimensión con métrica euclidea, así que al menos esa relatividad estaría siempre ahí.

[Entro]

Re: relatividad y metrica

Historicamente la métrica de Minkowski es posterior a la relatividad especial, pero conceptualmente no... Uno puede construir toda la relatividad simplemente diciendo que el espaciotiempo ha de ser tipo Minkowski. Establecer esta métrica es algo muy básico dentro de la teoría.

Y respecto a elegir un tiempo imaginario, efectivamente, era para respetar que la métrica fuera definida positiva. Pero como ha quedado claro no es una característica que uno tenga que mantener para poder hacer geometría de forma consistente.

[pod]

Re: relatividad y metrica

Historicamente la métrica de Minkowski es posterior a la relatividad especial, pero conceptualmente no... Uno puede construir toda la relatividad simplemente diciendo que el espaciotiempo ha de ser tipo Minkowski. Establecer esta métrica es algo muy básico dentro de la teoría.

Eso nadie lo discute, desde luego. Hice mi comentario por que tenía la impresión que el OP pensaba que el asunto fue "ale, vamos a medir la métrica del despacio-tiempo, y a partir de ahí veremos que teoría de relatividad tenemos". Y no, fue más bien "mira Albertito, este formulismo matemático con esta métrica tan chula es equivalente a lo que tú has hecho".

Y menos mal que Minkowsky se dio cuenta, por que tuve la oportunidad desgracia de escuchar en 10 minutos un resumen de como se desarrolla la relatividad general sin utilizar geometría... ¡Imaginate tuvieras que hacer loops con ese bodrio de formulación!

[Adosgel]

Re: relatividad y metrica

A ver chicos, el torpe en estos menesteres (y muchos otros) soy yo... ¿Minkowski o Minkowsky?. A mi me da igual de cual de las dos maneras se escriba el apellido del susodicho, pero creia saberlo, y ahora tengo mis dudas.He mirado en google y salen las dos opciones en demasía ¿.....?

Un saludo y os sigo leyendo.

[alshain]

Re: relatividad y metrica

De todas formas, la relatividad de Galileo funciona en cualquier dimensión con métrica euclidea, así que al menos esa relatividad estaría siempre ahí.

Hay que notar que la relatividad de Galileo (espacio y tiempo) en n dimensiones funciona con métrica euclídea en n-1. La métrica en n dimensiones no es euclídea. O dicho de otra forma, la métrica en el post inicial de este hilo no corresponde con un espacio-tiempo de Galileo de 4 dimensiones.

Un saludo.

[Entro]

Re: relatividad y metrica

Eso es cierto, en el espacio-tiempo Galileano hay una parte afín. La métrica solo es espacial.

[eljose]

Re: relatividad y metrica

pero la metrica que yo he puesto NO deja de ser euclidea.. es decir NO habria relatividad de Einstein , el mundo seria como el de Galileo pero en 4 dimensiones

si intentases calcular la dilatacion con la metrica que yo he dado NO habria dilatacion de tiempo ni espacial .. es decir si la metrica es (1,1,1,1) en vez de (-1,1,1,1) entonces NO habria relatividad de Eisntein y el mundo seria galileano del todo pero en cuatro dimensiones.

[Entro]

Re: relatividad y metrica

El espacio Galileano también es de cuatro dimensiones, solo que la métrica Galileana solo está definida en la foliación espacial. La física de toda la vida de Dios ha sido formulada en cuatro dimensiones, la relatividad solo unifico el espacio y el tiempo en una estructura mucho más simple que en la formulación Galileana o Newtoniana. Pero para quedar con alguien de toda la vida había que decir dónde y a que hora, eso son cuatro coordenadas, por lo tanto cuatro dimensiones.

Así que lo que tendrías sería en todo caso un espaciotiempo Euclideo. Pero eso no te libraría de la relatividad Einsteniana a no ser que restringieras tus coordenadas a ser reales.

alshain ya ha indicado que eso no es Galileano en un post anterior.

[pod]

Re: relatividad y metrica

Hay que notar que la relatividad de Galileo (espacio y tiempo) en n dimensiones funciona con métrica euclídea en n-1. La métrica en n dimensiones no es euclídea. O dicho de otra forma, la métrica en el post inicial de este hilo no corresponde con un espacio-tiempo de Galileo de 4 dimensiones.

Un saludo.

Depende. Como estamos haciendo física-ficción uno puede elegir hacer lo que le de la gana. Con eso quiero decir que las preguntas del tipo "que pasaría si esto que es así no fuera así, sino asá" no se pueden responder con la física que conocemos, por que la física que conocemos dice que las cosas no son "asá" sino "así".

Podríamos imaginar que Einstein en vez de descubrir la relatividad especial hubiera descubierto que también hay suma de velocidades en la dirección temporal, aunque hasta ese entonces no había forma de cambiar la "velocidad temporal" lo suficiente como para notarlo. Esto hubiera sido posible por qué galileo(3) es subgrupo de galileo(4).

Pero bueno, igual que esa física-ficción se puede hacer otra...

El espacio Galileano también es de cuatro dimensiones, solo que la métrica Galileana solo está definida en la foliación espacial. La física de toda la vida de Dios ha sido formulada en cuatro dimensiones, la relatividad solo unifico el espacio y el tiempo en una estructura mucho más simple que en la formulación Galileana o Newtoniana. Pero para quedar con alguien de toda la vida había que decir dónde y a que hora, eso son cuatro coordenadas, por lo tanto cuatro dimensiones.

Eso me recuerda a aquellas construcciones del "espacio-tiempo neoclásico", que venia a ser un intento de formular la física de Newton en 4 dimensiones (con cuadrivetores) buscando las representaciones del grupo de Galileo. Lo típico que se hice y se dijo "mira que bien, se puede hacer" y nunca más se ha utilizado para nada (por que la versión tridimensional es equivalente y funciona a las mil maravillas).

[alshain]

Re: relatividad y metrica

A ver, que creo que nos estamos liando.

El grupo de Galileo en $n$ dimensiones ($n$ dimensiones del espacio-tiempo) es el que deja invariante la métrica $diag(0, 1,...,1)$ con $n-1$ unos.

Es decir, el grupo de Galileo en cuatro dimensiones (del espacio-tiempo) es el que deja invariante la métrica $diag(0, 1, 1, 1)$. No es difícil mostrar que el grupo que deja invariante esta métrica contiene a las rotaciones y traslaciones en tres dimensiones espaciales, más los boosts de Galileo.

El grupo que deja invariante la métrica $diag(1, 1, 1, 1)$ propuesta en este hilo es uno diferente. Se trata del grupo de rotaciones y traslaciones en cuatro dimensiones. Es un subgrupo del grupo de Galileo en cinco dimensiones espacio-temporales (que deja invariante la métrica $diag(0, 1, 1, 1, 1)$).

La física en un espacio con métrica $diag(1, 1, 1, 1)$ carece de sentido porque viola la causalidad. No digo con esto nada nuevo y supongo que a los que han participado en este hilo les es conocido, pero conviene hacerlo notar.

Si tomas por ejemplo una línea de mundo apuntando hacia el futuro $\dot x^{\mu}(\lambda) \tau_{\mu} > 0$ con $\tau_{\mu}$ el vector paralelo al eje temporal, puedes hacerla apuntar hacia el pasado con un cambio de coordenadas. Y puedes hacer apuntar el vector temporal en cualquier dirección del espacio-tiempo.

Dicho de otra forma, no hay manera de diferenciar entre espacio y tiempo. Realmente no es un "espacio-tiempo". Esto queda más claro si uno intenta definir problemas de valores iniciales. En realidad tal cosa carece de sentido ahí.

Esto no ocurre en el espacio-tiempo Galileano de cuatro dimensiones ni en el de cinco, porque en ellos existe una clara diferenciación entre el tiempo y el espacio. Y el la relatividad especial también.

Pero como ciencia ficción vale

Un saludo.

[Entro]

Re: relatividad y metrica

Eso me recuerda a aquellas construcciones del "espacio-tiempo neoclásico", que venia a ser un intento de formular la física de Newton en 4 dimensiones (con cuadrivetores) buscando las representaciones del grupo de Galileo. Lo típico que se hice y se dijo "mira que bien, se puede hacer" y nunca más se ha utilizado para nada (por que la versión tridimensional es equivalente y funciona a las mil maravillas).

Justo eso, se ve que Cartan tenía tiempo libre y se puso a ello. Y aunque la única utilidad aparente es que se puede hacer, a mi me gustó cuando lo estudié porque es realmente más jodido que el espacio de Minskowski....

*alshain:

Me parece que todo lo que dices raya en lo perfecto... pero creo que el que propuso la pregunta no estaba pensando exactamente en eso, ya que indicó claramente una referencia a coordenadas REALES, lo cual me lleva a pensar que imagina que en algún momento en la métrica de Minkowski piensa que hay algo complejo.

Me parece que pod fué el primero en percatarse.

Pero tu respuesta merece estar en los altares de este sacrofisico lugar....