1r ciclo Un par de cuestiones sobre relatividad.

[Mayhem]

Hola, tengo que resolver un par de ejercicios de relatividad especial y aunque supongo que serán fáciles, no me salen (este tema se me está atragantando bastante). Gracias por adelantado

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El primero es este:

"Dos naves espaciales, cada una de longitud propia 100 metros, se aproximan entre sí con velocidades de 0,85c, medidas ambas desde la Tierra.

...
b. ¿Qué velocidad lleva cada nave medida por la otra?
c. ¿Qué longitud tiene cada nave medida desde la otra?
d. En el instante t=0, se ve desde la Tierra que las dos naves comienzan a cruzarse, ¿qué tiempo necesitan para hacerlo?"

Bien, el problema de este ejercicio es que no veo como encontrar las velocidades entre los sistemas de referencia de cada nave... tendría que ser 1,7c, pero eso es absurdo. ¿Cómo resuelvo este problema?

Supongo que si tengo la solución del b no tendré ningún problema con el c, así que con que me echéis un cable en el b basta.

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La otra pregunta es:

"Un tren de longitud propia L atraviesa un tunel de longitud L. El tren se mueve con respecto al tunel a velocidad v. Una bomba colocada al comienzo del tren está preparada para explotar cuando el frente del tren sale del túnel. Sin embargo, hay además un dispositivo al final del tren que envía una señal al dispositivo de la bomba para que se desactive, justo cuando este punto entra en el túnel. ¿Explota o no la bomba?".

Este ni idea de por donde cogerlo... tengo un cacao mental de contracciones de longitud y dilataciones del tiempo que no me aclaro xD

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Muchas gracias por vuestra ayuda

[pod]

Re: Un par de cuestiones sobre relatividad.

Hola, tengo que resolver un par de ejercicios de relatividad especial y aunque supongo que serán fáciles, no me salen (este tema se me está atragantando bastante). Gracias por adelantado

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El primero es este:

"Dos naves espaciales, cada una de longitud propia 100 metros, se aproximan entre sí con velocidades de 0,85c, medidas ambas desde la Tierra.

...
b. ¿Qué velocidad lleva cada nave medida por la otra?
c. ¿Qué longitud tiene cada nave medida desde la otra?
d. En el instante t=0, se ve desde la Tierra que las dos naves comienzan a cruzarse, ¿qué tiempo necesitan para hacerlo?"

Bien, el problema de este ejercicio es que no veo como encontrar las velocidades entre los sistemas de referencia de cada nave... tendría que ser 1,7c, pero eso es absurdo. ¿Cómo resuelvo este problema?

Utiliza la transformación de velocidades. Seguro que te la han explicado en teoría.

La otra pregunta es:

"Un tren de longitud propia L atraviesa un tunel de longitud L. El tren se mueve con respecto al tunel a velocidad v. Una bomba colocada al comienzo del tren está preparada para explotar cuando el frente del tren sale del túnel. Sin embargo, hay además un dispositivo al final del tren que envía una señal al dispositivo de la bomba para que se desactive, justo cuando este punto entra en el túnel. ¿Explota o no la bomba?".

Este ni idea de por donde cogerlo... tengo un cacao mental de contracciones de longitud y dilataciones del tiempo que no me aclaro xD

Elije un sistema de referencia y sólo uno. Hazlo todo en ese sistema de referencia. Ten en cuenta que la señal de desactivación viaja a la velocidad de la luz (como mucho).

Este este es un ejemplo muy típico, ya que a priori hay una contradicción. En el sistema tierra, el tren está contraído y parece que todo el tren debería caber dentro del túnel, y por lo tanto la bomba se desactivaría. Sin embargo, en el sistema tren, es el túnel el que está contraído y el tren no cabe dentro de él, así que parece que la bomba si explota. Está claro que el hecho de que haya explosión no debe depender del sistema de referencia, y la contradicción se soluciona teniendo en cuenta lo que te he dicho (que la señal de desactivación viaja como mucho a c), se ve que en el primer caso no le da tiempo a llegar a la bomba y aunque el tren parezca caber en el túnel, sigue habiendo explosión.

[Mayhem]

Re: Un par de cuestiones sobre relatividad.

Muchas gracias por tu contenstación.

La primera pregunta ya está clara, efectivamente era utilizando la transformación en velocidades, me he liado con una chorrada...me había equivocado de sistema de referencia

Respecto al segundo, gracias a lo que me has dicho y la ayuda que me ha prestado otra persona crei que ya lo tengo más o menos claro. Hay que contar el tiempo desde los dos sistemas de referencia: desde el tren se ve claro que explota porque la estación contrae su longitud, pero desde la estación el tren es el que encoge, así que hay que comprobar que el tiempo que tarda la señal en recorrer todo el tunel es mayor que el tiempo que tarda la cabeza del tren en salir del tunel. Una cosa así:

tiempo señal=L/c
tiempo tren=(L-L/gamma)/v

Y efectivamente, el tiempo del tren es menor que el tiempo de la señal. Aunque tengo que admitir que lo he hecho sustituyendo las letras por numeros, no analíticamente .

[pod]

Re: Un par de cuestiones sobre relatividad.

Muchas gracias por tu contenstación.

La primera pregunta ya está clara, efectivamente era utilizando la transformación en velocidades, me he liado con una chorrada...me había equivocado de sistema de referencia

Respecto al segundo, gracias a lo que me has dicho y la ayuda que me ha prestado otra persona crei que ya lo tengo más o menos claro. Hay que contar el tiempo desde los dos sistemas de referencia: desde el tren se ve claro que explota porque la estación contrae su longitud, pero desde la estación el tren es el que encoge, así que hay que comprobar que el tiempo que tarda la señal en recorrer todo el tunel es mayor que el tiempo que tarda la cabeza del tren en salir del tunel. Una cosa así:

tiempo señal=L/c
tiempo tren=(L-L/gamma)/v

Y efectivamente, el tiempo del tren es menor que el tiempo de la señal. Aunque tengo que admitir que lo he hecho sustituyendo las letras por numeros, no analíticamente .

Bueno, esta bien aprender a trabajar con inecuaciones. Tú quieres demostrar que

$$L / c > (L - L/\gamma) / v \ .$$

Estas cosas se operan prácticamente igual que las ecuaciones normales. Sólo hay problemas cuando se multiplica por algo que sea negativo. Para empezar, cancelamos las $L$ y multiplicamos por $\gamma v c$ (que es positivo si la velocidad lo es, y por el convenio de signos que tomamos lo debe ser) ambos lados

$$\gamma v > c ( \gamma - 1 ) \ ,$$

reordenando

$$c > (c-v)\gamma\ ,$$

dividiendo por $c$ y elevando al cuadrado (elevar a una potencia preserva la desigualdad), por comodidad defino la velocidad adimensional $\beta = v/c$,

$$1 > (1- \beta)^2 / ( 1 - \beta^2 ) \ .$$

Usando uno de los productos notables más conocidos, $1-\beta^2 = (1+\beta)(1-\beta)$ queda

$$1+\beta > 1-\beta\ ,$$

que se traduce en $\beta > 0$. Como el tren se mueve, y en el pasado hemos impuesto que $v > 0$, esta condición se cumple. QED