2o ciclo Tensor de Ricci (duda)

[fisiko88]

Buenas días, estoy aquí liado que mañana tengo examen y me ha surgido una duda de última hora a ver si me podeis echar una mano.

En un sistema de referencia inercial local einsteniano, ¿el tensor de Ricci y la curvatura escalar son cero? Es que como localmente se trata de un espacio plano y vacío..., pero por otro lado los Riemann no son cero, y como al fin y al cabo el Ricci es una contracción del Riemann.

Un saludo y muchas gracias!!! Espero vuestra respuesta lo más pronto posible, gracias de nuevo!

[Entro]

Re: Tensor de Ricci (duda)

El tensor de Riemann da lugar a dos contracciones, el Ricci y el tensor de Weyl, que es un tensor con simetría conforme y sin traza.

Las ecuaciones de Einstein solo hablan del Ricci y de la curvatura escalar pero no fijan el tensor de Weyl.

[fisiko88]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Se que seguro en tu mensaje está implícito la contestación, pero (siento ser tan cazurro) podrías contestarme explicitamente. Es decir, quisiera saber si estar en un SRIL einsteniando me garantiza o no que el tensor de Ricci y la curvatura escalar sean cero, y por qué?.

Gracias Entro! Saludos!

[javiucm]

Re: Tensor de Ricci (duda)

fisiko88 mañana examen de estructura del espacio-tiempo? en la UCM?
MUCHA SUERTE!
De todas formas creo que estás confundiendo planitud con vacío: en el vacío $R_{\mu\nu}=0$ (y el tensor de energía momento también se anula).
En la métrica de Minkowski, plana, todas las componentes del tensor de Riemann se anulan (en Condición necesaria y suficiente de planitud que el Riemann se anule). El Riemann posee dos contracciones independientes como dice Entro (un saludo Entro). Así, si el Riemann se anula también el Ricci y la curvatura escalar.
En un SRILE la métrica es localmente plana y las primeras derivadas de la métrica se anulan.

[fisiko88]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Sí, mañana tengo examen de Estructura en la ucm xD. Centrándonos en el tema.

El Riemann no es cero, o al menos eso tenía bastante claro yo en un SRIL einsteniano. Es decir, los símbolos de Chirstofel nos los podemos cargar, pero no sus derivadas. Los términos lineales se van fuera pero no los cuadráticos, de ahí es donde vienen las fuerzas de marea.

Pero mi duda es, si partiendo de que estos Riemann no son cero, xq la curvatura escalar y el Ricci sí lo son (o no, que no lo se), esa era mi pregunta.

[javiucm]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Sí, mañana tengo examen de Estructura en la ucm xD. Los términos lineales se van fuera pero no los cuadráticos, de ahí es donde vienen las fuerzas de marea.

Recuerda que en el ET Newtoniano los símbolos de Christoffel no son nulos todos: $\Gamma^i_{00}=\partial_i\Phi$, con lo que $R_{00}=\nabla^2\Phi$ y la curvatura escalar es no nula.
En SRILE la métrica es la de Minkowski y es Ricci-plana y creo que el tensor de Riemann también se anula, quizás sea solo Ricci-plana ya lo estoy dudando... Lo voy a mirar

[javiucm]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Según las Lectures de S.M. Carroll, cito textualmente:
"... the metric looks Euclidean or Minkowskian are flat. In fact it works both ways: if the components of the metric are constant in some coordinate system, the Riemann tensor will vanish, while if the Riemann tensor vanishes we can always construct a coordinate system in which the metric components are constant...." (http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9712019 pag. 77, 84 directamente desde el pdf)
o sea que si el espacio es plano (euclídeo o Minkowski) el tensor de curvatura de Riemann se anula

[pod]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Ningún cambio de variables puede conseguir que un tensor que no era nulo pase a serlo (igual que ningún cambio de variables puede conseguir que un tensor nulo deje de serlo).

Es decir, si el tensor de Ricci es cero en un SR en caída libre, entonces también será nulo en cualquier otro SR. Si siempre que tienes un SR en caída libre el tensor de Ricci debiera ser cero, por este razonamiento, siempre sería nulo en todos los SR, lo cual querría decir que no puede existir la gravedad. Eso es absurdo, con lo que sacamos la conclusión de que el tensor de Ricci no tiene por qué ser cero en un sistema de referencia en caída libre.

[fisiko88]

Re: Tensor de Ricci (duda)

o sea que si el espacio es plano (euclídeo o Minkowski) el tensor de curvatura de Riemann se anula

Eso sí, pero el problema es que el espacio no es plano. Vamos que en un SRIL, es Minkowsky pero localmente, y aunque los Christofel son cero, sus derivadas no lo son. Vamos eso es lo que me ha dicho mi profesor (o le he creído etender eso), vamos que el tensor de Riemann es distinto de cero, el problema es que no se si el Ricci y la curvatura lo son.

[fisiko88]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Vale ya me doy por contetado. Muchas gracias POD, Entro y Javiucm. A ver si mañana hay suerte en el examen. Un saludo!!!

[pod]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Otra forma de verlo es directamente aislar el tensor de Ricci de las ecuaciones de Einstein,

$$R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R = \kappa T_{\mu\nu}\ .$$

Si saco la traza (i.e, contrayendo con $g^{\mu\nu}$), tengo (supongo cuatro dimensiones, $g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 4$)

$$R - \frac12 4 R = \kappa T \ ,$$

de donde

$$R = - \kappa T \ .$$

Si meto (2) dentro de (1),

$$R_{\mu\nu} + \frac12 g_{\mu\nu} \kappa T = \kappa T_{\mu\nu}\ .$$

En definitiva,

$$R_{\mu\nu} = \kappa \left( T_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} T \right) \ .$$

De (3) vemos que el tensor de Ricci es nulo si el tensor de energía y momento es nulo. De (2) vemos que la curvatura es cero si la traza del tensor de energía y momento es cero. Si hay materia, esas condiciones no se dan en un sistema en caída libre. Ni siquiera en un sistema de referencia en reposo (siempre aparecerá el término de la masa).

Por cierto, uno puede darse cuenta que las ecuaciones (1) y (2) son idénticas, intercambiando R por T (la $\kappa$ se puede interpretar como un simple cambio de unidades), lo cual no deja de ser notable.

[javiucm]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Ningún cambio de variables puede conseguir que un tensor que no era nulo pase a serlo (igual que ningún cambio de variables puede conseguir que un tensor nulo deje de serlo).

Evidentemente de la definición de tensor... pero podemos evaluar las componentes del tensor en el SR en el que queramos, y particularmente en uno en el que nos sea más sencillo... Carroll no dice que podamos anular el Riemann, dice que en el caso de que se anule podemos encontrar un SR en el que la métrica adquiera forma canónica: euclídea o hiperbólica (Minkowski); y también dice el caso contrario (si la métrica es plana el Riemann se anula).

Si el tensor de Riemann se anula entonces se anula el Ricci. Al revés no sabemos. Pero si la métrica es plana se anulan ambos... ¿si la métrica es plana tan sólo localmente podemos afirmar algo?

[pod]

Re: Tensor de Ricci (duda)

Evidentemente de la definición de tensor... pero podemos evaluar las componentes del tensor en el SR en el que queramos, y particularmente en uno en el que nos sea más sencillo... Carroll no dice que podamos anular el Riemann, dice que en el caso de que se anule podemos encontrar un SR en el que la métrica adquiera forma canónica: euclídea o hiperbólica (Minkowski); y también dice el caso contrario (si la métrica es plana el Riemann se anula).

Si el tensor de Riemann se anula entonces se anula el Ricci. Al revés no sabemos. Pero si la métrica es plana se anulan ambos... ¿si la métrica es plana tan sólo localmente podemos afirmar algo?

Todas las métricas no singulares son localmente planas.

En 2 y 3 dimensiones, que el tensor de Ricci se anules implica que el de Riemman completo también se anula. Pero vivimos en 4 dimensiones, la primera dimensionalidad donde el tensor de Weyl (el que comentaba Entro) puede ser no nulo.