2o ciclo problema de relatividad computacional

[alejandrito29]

Me piden resolver el sgte problema usando grtensor maple, ya que mi duda es sobre la parte teórica del problema y no sobre maple, la escribo acá:

$ds^2= e^{-w}*(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+dw^2$

Voy a embeber una subvariedad de coordenadas ,T, X,Y,Z

tal que al embeber la subvariedad en la variedad

t = T, x=X, y=Y, z=Z, w= f(T)....

Tal que al hacer la métrica inducida:
$g_{TT}=-e^{-f(T)}+\frac{df(t)}{dT}^2$
$g_{XX}=g_{YY}=g{ZZ}= e^{-f(T)}$

con lo que obviamente al calcular el determinante de la métrica inducida, det g, me queda una función de f(T)....

El asunto es que me piden calcular las ecuaciones de movimiento para las coordenadas de la variedad, usando:

$\frac{1}{raizg}$$\frac{d}{dX^j}(raizg*g^{ij}\frac{dx^u}{dX^i})$$+ cristofel (u,a,b)g^{ij}\frac{dx^a}{dX^i}\frac{dx^b}{dX^j}$

El asunto es que para $x^u = t$ al reemplezar en la ec. anterior, ya que $g^{TT}=funcion.de.f(T)$ y $dt/dT=1$..a partir de esta ec. diferencial obtengo un valor para f(T).....

Pero, para $x^u= w$, con $w= f(T)$ tambien obtengo una expresión para f(T), o sea...obtengo 2 expresiones distintas para f(T)....¿tendría algun sentido esto?

[Juanma1976]

Re: problema de relatividad computacional

Hola Alejandrito29, no se si te podrá ayudar mucho ya que lo poco que recuerdo de geometria riemmaniana lo tengo un pelín oxidado .

Lo primero, no entiendo bien la fórmula de la geodésica que has escrito, la que a mí me consta como correcta es la

$\frac{\partial^2 x^\mu}{d\tau^2}+\displaystyle\sum_{\sigma,\alpha}\Gamma^{\mu}_{\sigma,\alpha}\frac{dx^{\sigma}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}=0$

Y Los símbolos de Cristoffel dependen de la métrica inducida:

$\Gamma^{i}_{k,l}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{im}\left (\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m}\right )$

Veo que a partir de las ecuaciones de la variedad

$t = T, x=X, y=Y, z=Z, w= F(T)\cdots$

Deduces la métrica inducida, y a partir de ahí las ecuaciones del movimento.

Está claro que la función $F(t)$ te podrá aparecer en las coordenadas de la geódesica, por lo que tendrás diferentes repesentaciones de la función $F(t)$, pero esta será única:

$x=F(t)+t$
$w=F(t)$ (me lo invento...)

La $F(t)$ es la misma en los dos casos.
¿Tu duda venía por ahí?

Saludos.

Me piden resolver el sgte problema usando grtensor maple, ya que mi duda es sobre la parte teórica del problema y no sobre maple, la escribo acá:

$ds^2= e^{-w}*(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+dw^2$

Voy a embeber una subvariedad de coordenadas ,T, X,Y,Z

tal que al embeber la subvariedad en la variedad

t = T, x=X, y=Y, z=Z, w= f(T)....

Tal que al hacer la métrica inducida:
$g_{TT}=-e^{-f(T)}+\frac{df(t)}{dT}^2$
$g_{XX}=g_{YY}=g{ZZ}= e^{-f(T)}$

con lo que obviamente al calcular el determinante de la métrica inducida, det g, me queda una función de f(T)....

El asunto es que me piden calcular las ecuaciones de movimiento para las coordenadas de la variedad, usando:

$\frac{1}{raizg}$$\frac{d}{dX^j}(raizg*g^{ij}\frac{dx^u}{dX^i})$$+ cristofel (u,a,b)g^{ij}\frac{dx^a}{dX^i}\frac{dx^b}{dX^j}$

El asunto es que para $x^u = t$ al reemplezar en la ec. anterior, ya que $g^{TT}=funcion.de.f(T)$ y $dt/dT=1$..a partir de esta ec. diferencial obtengo un valor para f(T).....

Pero, para $x^u= w$, con $w= f(T)$ tambien obtengo una expresión para f(T), o sea...obtengo 2 expresiones distintas para f(T)....¿tendría algun sentido esto?

[alejandrito29]

Re: problema de relatividad computacional

Lo primero, no entiendo bien la fórmula de la geodésica que has escrito, la que a mí me consta como correcta es la

$\frac{\partial^2 x^\mu}{d\tau^2}+\displaystyle\sum_{\sigma,\alpha}\Gamma^{\mu}_{\sigma,\alpha}\frac{dx^{\sigma}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}=0$

.

Ese es el caso partícular cuando $x^u$ es solo función de T y además el sistema de coordenadas es tal que $raiz(g)*g^{ij}$ es igual a la métrica lorentziana...Si reemplazas esas 2 condiciones en mi ecuación llegarás a la tuya (ojo que g es la métrica inducida).

Y Los símbolos de Cristoffel dependen de la métrica inducida:
.

En la ecuación que tu pusiste (que es la correcta) dice $Cristoffel^u_{sigma,alfa}$
Al ver el indice u yo CREO que los deberíamos calcular de la métrica original y no de la inducida.....

.

por lo que tendrás diferentes repesentaciones de la función $F(t)$, pero esta será única:
.

No entiendo a que te refieres....justamente lo que pregunto es que me dan 2 F(t) distintos.....

Igual gracias de todas maneras

[pod]

Re: problema de relatividad computacional

Alejandrito, por favor, intenta escribir bien las ecuaciones. Lo que has puesto no se entiende. Se pueden hacer raíces y Gamma mayúsculas en latex, simplemente con \sqrt{q} y \Gamma. Mira aquí: http://www.lawebdefisica.com/latex/latextest.php

[alejandrito29]

Re: problema de relatividad computacional

Este es la formula:

$\frac{1}{\sqrt{g}}$$\frac{d}{dX^j}(\sqrt{g}*g^{ij}\frac{dx^u}{dX^i})$$+ \Gamma^u_{a,b}g^{ij}\frac{dx^a}{dX^i}\frac{dx^b}{dX^j}$