¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

[Adosgel]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Sistema T:
S: (0,0) E: (L,L/v) F: (0,2L/v) M: (0,L/v)

¿Qué pasa con ese "v"?, devería ser variable, o ¿cómo te crees que Juan se traslada a la estrella y luego vuelve a la Tierra partiendo del SR de la Tierra y de Pepe, y además volviendo al mismo SR de salida, de la Tierra y de Pepe?. Por cuijóns aceleración; nunca con una "v" constante.

Sistema 1 (se obtienen las coordenadas haciendo las transformaciones de Lorentz, desde el sistema T, teniendo en cuenta que los sistemas 1 y T coinciden para el suceso S, y su velocidad relativa es v):

El sistema 1 sería un sistema referencial acelerado, correspondiente a Juan. Y en él, Juan carece de "v" alguna, sería la Tierra con Pepe los que poseerían una velocidad variable.

S: (0,0) E: (0,f L/v) F: (-2L/f, 2L/(vf)) M: (-L/f,L/(vf))

E: tenemos el problema de que v es variable, y en la medida en que lo es, L varía tambien, al acelerar, dilatándose, y al desacelerar, contrayendose. Date cuenta de que cuando Juan se acelera, se dilata la métrica de su retaguardia y se contrae su frente de aceleración, además de relentizar su transcurrir temporal.

F: ¿no sería tambien la coordenada x 0?. El tema de v y L ya no lo repito más.

M: en M, x sería distinto de 0, pero seguimos teniendo el proplema de L y v variables.

Sistema 2 (se obtienen haciendo las transformaciones de Lorentz, desde el sistema 1, teniendo en cuenta que los sistemas 1 y 2 coinciden para el suceso E, y su velocidad relativa es u = -2 v /(1+v^2) ):
S: (-2L/f, -2vL/(c^2 f)) E: (0, f L/v) F: (0, 2 f L/v) M: (-L/f, (2f-1/f)L/v)

Tanto el sistema 1 como el 2, pertenecen al sistema referencial que acompaña a Juan, por lo que son uno solo. Un sistema particular, con una identidad material como referencia. el único tipo de SR real, en este caso de Juan; tal y como yo lo veo.

Espero que todo este correcto. Hasta ahora, simplemente he aplicado transformaciones de Lorentz. Agradeceria que alguien comprobara estos valores.

Jeje, y yo espero que alguien comprobara mi interpretación de ello, y asi tambien aprender. La RG es bastante más compleja que la RE.

Toda aceleración es un reajuste del espaciotiempo observado desde la referencia real que se acelera (da igual que sea por un campo gravitatorio que por uno eléctrico o del tipo que sea con sus peculiares decrimentos de intensidad con la distancia; solo nos referimos a la consecuencia, no a la causa); en este caso de Juan. Mientras que para Pepe, como no se acelera (despreciando la aceleración de la Tierra) y por lo tanto, no existe reajuste de la métrica de su espaciotiempo, el reajuste de Juan se percibe como un cambio exclusibo del estado de Juan en la métrica del espaciotiempo de Pepe, tanto en v como en t.

Saludos.

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

No estoy de acuerdo. En cualquier caso, muéstranos los cálculos

Bueno, vamos con la paradoja de los gemelos, con relatividad especial.

Relato: Pepe se queda en la Tierra. Juan viaja a una estrella que esta una distancia L, y vuelve. En el viaje de ida va a una velocidad v, y en el de vuelta a -v. El mismo argumento seria valido para una variacion continua v(t), solo que necesitariamos muchos sistemas acompañantes.

Consideramos tres sistemas inerciales de referencia:

T: Sistema fijo en la tierra, que acompaña a Pepe todo el tiempo.
1: Sistema que acompaña a Juan en el viaje de ida.
2: Sistema que acompaña a Juan en el viaje de vuelta.

Vamos a considerar cuatro sucesos:
S: Salida de Juan desde la tierra.
E: Llegada de Juan a la estrella.
F: Fin del viaje: Llegada de Juan a la tierra.
M: Instante medio del viaje, en la tierra.

La clave del argumento es que Juan va de S a E, y luego de E a F, mientras que Pepe va de S a M, y luego de M a F.

Vamos a ver las coordenadas espacio-temporales de estos sucesos. La notación es (x (coordenada), t(tiempo)). Voy a llamar $f = \sqrt{1 - v^2/c^2}$ (f<1).

Sistema T:
S: (0,0) E: (L,L/v) F: (0,2L/v) M: (0,L/v)

Sistema 1 (se obtienen las coordenadas haciendo las transformaciones de Lorentz, desde el sistema T, teniendo en cuenta que los sistemas 1 y T coinciden para el suceso S, y su velocidad relativa es v):
S: (0,0) E: (0,f L/v) F: (-2L/f, 2L/(vf)) M: (-L/f,L/(vf))

Sistema 2 (se obtienen haciendo las transformaciones de Lorentz, desde el sistema 1, teniendo en cuenta que los sistemas 1 y 2 coinciden para el suceso E, y su velocidad relativa es u = -2 v /(1+v^2) ):
S: (-2L/f, -2vL/(c^2 f)) E: (0, f L/v) F: (0, 2 f L/v) M: (-L/f, (2f-1/f)L/v)

Espero que todo este correcto. Hasta ahora, simplemente he aplicado transformaciones de Lorentz. Agradeceria que alguien comprobara estos valores.

Ahora, la interpretacion de estas expresiones:

Relato de Pepe, desde la tierra, basandose en el sistema T

Yo (Pepe) tardare un tiempo t=2L/v en ver a mi hermano (L/v entre S y M y L/v entre M y F). Este es mi tiempo propio, porque yo no me muevo del sistema de referencia T. Sin embargo, como Juan se mueve con respecto a mi (va de S a E, y luego de E a F), el tiempo propio de Juan estara contraido por el factor $f=\sqrt{1-v^2/c^2}$, ya que f es el mismo a la ida (Entre S y E) que a la vuelta (entre E y F).

Por tanto, para Pepe:
Tiempo propio de Pepe, hasta la reunión: t(pepe)=2L/v.
Tiempo propio de Juan, hasta la reunion: t(juan)=f 2L/v.

Relato de Juan, desde el cohete, basandose en los sistemas 1 y 2.

Yo, Juan, tardare un tiempo t=f 2L/v en ver a Pepe (fL/v entre S y E, y fL/v entre E y F). Segun mis sistemas de referencia, hay un intervalo de tiempo L/(vf) entre los sucesos S y M de Pepe (medido en mi sistema 1), y un intervalo de tiempo L/(vf) entre los sucesos M y F de Pepe (medido en mi sistema 2). Por tanto, pasarian 2L/(vf). Sin embargo, como Pepe se mueve con respecto a mi, su tiempo propio estara contraido por el factor f.

Por tanto, para Juan:
Tiempo propio de Juan, hasta la reunion: t(juan)=f 2L/v.
Tiempo propio de Pepe, hasta la reunión: t(pepe)=2L/v.


No hay paradoja, si se hacen bien las cosas en relatividad especial.

[pod]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Bueno, a ver si convergemos a una respuesta comun:

Curioso que la respuesta común a la que propones converger es la que llevas manteniendo desde el principio Cabezones los físicos, ¿eh?

1) La relatividad especial permite estudiar todo lo que pasa en un sistema acelerado, en concreto el tiempo propio de un "gemelo" acelerado arbitrariamente, si se le describe desde un sistema inercial.

En esto sí, aunque la expresión "lo que pasa en un sistema acelerado" es algo confuso. Las cosas pasan, y luego se observan desde un sistema u otro. Pero sí, desde un sistema inercial, la RE puede describir un móvil acelerado.

2) La relatividad especial permite estudiar todo lo que pasa en sistemas inerciales o no inerciales, desde la prespectiva de un observador en movimiento acelerado. Para ello, se utiliza un sistema "acompañante", que consiste en un conjunto infinito de sistemas de referencia inerciales, que coinciden en posicion y velocidad con el observador en movimiento acelerado en cada instante del tiempo propio de dicho observador.

Y esto es una aproximación válida cuando la aceleración es pequeña (de forma que el campo gravitatorio en el sistema comóvil es pequeño). Y, por lo tanto, útil dentro de cierto margen de precisión únicamente.

Hay otro método, basado en pasar a cordenadas de Rindler (¿miraste el problema que mencioné?). Pero: 1) Esto no cubre todo el espacio tiempo, 2) Rindler es un espacio curvo, con símbolos de Cristoffeld y todo eso, por lo que a la práctica uno no ahorra mucho al usar este método.

3) En la "paradoja de los gemelos", el gemelo que esta en la tierra puede calcular su tiempo propio y el tiempo propio del gemelo que viaja, desde que se separan hasta que se vuelven a encontrar. Encontrando que su tiempo propio es mas largo que el tiempo del gemelo viajero.

Esto es evidente.

El gemelo que viaja puede utilizar su sistema "acompañante" para calcular su tiempo propio y el del gemelo que esta en la tierra (para ello tendra que hacer varias transformaciones de Lorentz). Sus resultados coinciden exactamente con los calculos del gemelo que esta en la tierra. El encontrara, por tanto, que el tiempo propio del gemelo en la tierra es más largo que su tiempo propio.

No estoy de acuerdo. En cualquier caso, muéstranos los cálculos

[Adosgel]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Carroza, imagina dos cuerpos A y B, ambos en estado inercial, pero con distinto estado inercial. ¿Cual de los dos se retrasa?.

Imagina que uno, el que quieras, pero siempre el mismo, por gracia y milagros del señor, de repente pasa sin aceleración alguna a tener otro estado inercial, y curiosamente, manteniendo la misma identidad. ¿Cual es el que se atrasa?.
Aplícale todas veces que quieras el milagrito al cuerpo en cuestión, aparte de lo ireal que resulta, no habría por parte, ni de A ni de B, relentización temporal.

La relentización temporal y la aceleración, sea lineal o de campo, son consecuencias del reajuste, osea, cambio del SR del cuerpo.
Nosotros, en aparente reposo en la superficie del planeta, relentizamos nuestro transcurrir temporal, en la misma medida que si estubiéramos acelerandonos continuamente en g, pero mediante un cohete propulsor en un supuesto espaciotiempo plano.

La RE solo se encarga de interpretar distintos estados inerciales desde distintos SRI mediante las transformaciones de Lorentz. Eso no quita para que se puedan hacer aproximaciones de un estado acelerado, pero siempre solo aproximaciones.
Nada de lo que has expuesto me a convencido de lo contrario... por ahora, jeje.

Saludos.

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Bueno, a ver si convergemos a una respuesta comun:

¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

1) La relatividad especial permite estudiar todo lo que pasa en un sistema acelerado, en concreto el tiempo propio de un "gemelo" acelerado arbitrariamente, si se le describe desde un sistema inercial.

2) La relatividad especial permite estudiar todo lo que pasa en sistemas inerciales o no inerciales, desde la prespectiva de un observador en movimiento acelerado. Para ello, se utiliza un sistema "acompañante", que consiste en un conjunto infinito de sistemas de referencia inerciales, que coinciden en posicion y velocidad con el observador en movimiento acelerado en cada instante del tiempo propio de dicho observador.

3) En la "paradoja de los gemelos", el gemelo que esta en la tierra puede calcular su tiempo propio y el tiempo propio del gemelo que viaja, desde que se separan hasta que se vuelven a encontrar. Encontrando que su tiempo propio es mas largo que el tiempo del gemelo viajero.
El gemelo que viaja puede utilizar su sistema "acompañante" para calcular su tiempo propio y el del gemelo que esta en la tierra (para ello tendra que hacer varias transformaciones de Lorentz). Sus resultados coinciden exactamente con los calculos del gemelo que esta en la tierra. El encontrara, por tanto, que el tiempo propio del gemelo en la tierra es más largo que su tiempo propio.

¿Estamos de acuerdo?

[pod]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

En concreto, ante la pregunta
¿Cual es el tiempo propio de un objeto que sufre una aceleracion arbitraria, descrita por una funcion velocidad v(t)<c, observada desde un sistema inercial?

La respuesta es


Yo creo que esa respuesta es exacta, para cualquier velocidad v(t), siempre que no haya masas grandes cerca.


¿Estamos de acuerdo en esto?

En un sistema inercial, claro. Eso no es mas que la integral del intervalo invariante.

Hola. Una aceleracion es LOCALMENTE equivalente a un campo gravitatorio. Eso quiere decir que viendo lo que ocurre dentro de un ascensor no podemos saber si estamos acelerados por cohetes, o estamos en un campo gravitatorio real.

Una aceleración es al menos localmente equivalente a un campo gravitatorio. ¿Por qué podría dejar de ser equivalente en grandes distancias? Pues por que hubiera otras fuentes de gravedad. En el vacío (o en una situación donde todas las partículas se consideran prueba), un SR acelerado se puede estudiar como una gravedad constante en todo el espacio.

En el caso del ascensor, o una órbita,está claro que eso será solo local, por que la gravedad cambia en las vecindades.

Sin embargo, la geometria global del espacio-tiempo, dada por el tensor metrico, es muy diferente segun lo que tengamos sea un sistema acelerado o un campo gravitatorio. Si tenemos un sistema de referencia acelerado, pero sin masas grandes cerca, el tensor de Riemann, que depende de las derivadas del tensor metrico, se anula. Si tenemos un campo gravitatorio, creado por masas reales, el tensor de Riemann es no nulo. Esas son las ecuaciones de Einstein.

Hay soluciones con $G_{\mu\nu}= 0$ diferentes a la de Minkowski (sin entrar en FRW o agujeros negro, que sería una trampa ya que el tensor de Einstein es singular en algún punto del espacio tiempo). En el post anterior puse un ejemplo.


A todo esto, acabo de encontrar en el Schultz un problema (el 21 del capítulo 5), precisamente dedicado a esta temática, donde le piden a uno usar la solución al movimiento hiperbólico (MRUA en RE). En este caso uno obtiene el espacio de Rindler, que sólo cubre un cuadrante del espacio tiempo. En ese sentido, RE si tiene cierto soporte para SR acelerados; pero es en cierta medida local, ya que sólo cubre una cuarta parte del espacio-tiempo (al contrario que la construcción en RG con campo gravitatorio constante en todo el espacio, siempre que no haya otras fuentes de gravedad).

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Para mi no.

Una derivada es un limite de un cociente.

Una integral es un limite de una suma.

Un numero real es un limite de numeros racionales.

En el mismo sentido, un sistema acompañante es un limite de una secuencia de sistemas inerciales, arbitrariamente proximos a la trayectoria.

La expresion integral del tiempo propio es el limite de una suma de los intervalos de tiempo propio correspondientes a una serie de sistemas inerciales que se aproximan arbitrariamente al movimiento acelerado del sistema.

[Dramey]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Hola. Una aceleracion es LOCALMENTE equivalente a un campo gravitatorio. Eso quiere decir que viendo lo que ocurre dentro de un ascensor no podemos saber si estamos acelerados por cohetes, o estamos en un campo gravitatorio real.

Sin embargo, la geometria global del espacio-tiempo, dada por el tensor metrico, es muy diferente segun lo que tengamos sea un sistema acelerado o un campo gravitatorio. Si tenemos un sistema de referencia acelerado, pero sin masas grandes cerca, el tensor de Riemann, que depende de las derivadas del tensor metrico, se anula. Si tenemos un campo gravitatorio, creado por masas reales, el tensor de Riemann es no nulo. Esas son las ecuaciones de Einstein.

Si no hay masas, podemos tener sistemas de referencia arbitrarios, acelerados como queramos, que se pueden describir como una secuencia de sistemas de referencia inerciales, y pasar de unos a otros por transformaciones de Lorentz.

Si hay masas, no podemos describir todo el espacio con una secuencia de sistemas inerciales, y entonces, y solo entonces, es imprescindible la relatividad general.

A mi lo que he puesto en negrita me huele a aproximación ¿es así?

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Yo no se mucho de Relatividad en general, pero en cualquier caso una aceleración es indistinguible de un campo gravitatorio...ergo si para explicar campos gravitatorios intensos necesitas Relatividad General, para explicar aceleraciones intensas necesitas relatividad general.


¿Estoy muy confundido?

Hola. Una aceleracion es LOCALMENTE equivalente a un campo gravitatorio. Eso quiere decir que viendo lo que ocurre dentro de un ascensor no podemos saber si estamos acelerados por cohetes, o estamos en un campo gravitatorio real.

Sin embargo, la geometria global del espacio-tiempo, dada por el tensor metrico, es muy diferente segun lo que tengamos sea un sistema acelerado o un campo gravitatorio. Si tenemos un sistema de referencia acelerado, pero sin masas grandes cerca, el tensor de Riemann, que depende de las derivadas del tensor metrico, se anula. Si tenemos un campo gravitatorio, creado por masas reales, el tensor de Riemann es no nulo. Esas son las ecuaciones de Einstein.

Si no hay masas, podemos tener sistemas de referencia arbitrarios, acelerados como queramos, que se pueden describir como una secuencia de sistemas de referencia inerciales, y pasar de unos a otros por transformaciones de Lorentz.

Si hay masas, no podemos describir todo el espacio con una secuencia de sistemas inerciales, y entonces, y solo entonces, es imprescindible la relatividad general.

[Dramey]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Yo no se mucho de Relatividad en general, pero en cualquier caso una aceleración es indistinguible de un campo gravitatorio...ergo si para explicar campos gravitatorios intensos necesitas Relatividad General, para explicar aceleraciones intensas necesitas relatividad general.


¿Estoy muy confundido?

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Te agradezco, Pod, la oportunidad de tener una discusion interesante de física, con cabezonería incluida.

Vamos a central el hilo en la pregunta:

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Mi respuesta es Si, siempre que no haya campos gravitatorios reales importantes. Campos reales son aquellos producidos por masas, segun la ecuación de Einstein.
No hablo de campos gravitatorios "inerciales", debidos a que quiero tomar un sistema de referencia exótico. Estos campos "inerciales" no producen valores no nulos en el tensor de Riemann.

En concreto, ante la pregunta
¿Cual es el tiempo propio de un objeto que sufre una aceleracion arbitraria, descrita por una funcion velocidad v(t)<c, observada desde un sistema inercial?

La respuesta es


Yo creo que esa respuesta es exacta, para cualquier velocidad v(t), siempre que no haya masas grandes cerca.


¿Estamos de acuerdo en esto?

[pod]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Si en el fondo estas diciendo cosas similares, pero por la consabida cabezonería de los físicos no lo reconocerás

Como tu has dicho, las fórmulas de relatividad especial son válidas si uno puede despreciar la gravedad. Pero la gravedad depende del sistema de referencia (principio de equivalencia), hay SR donde se puede despreciar y en otros no. Y eso depende de la aceleración de ese SR respecto a uno inercial.

En la forma normal de plantear la paradoja (muchos años de MRU y dar la vuelta en un pis pas), la aceleración es muy grande, ya que en el poco tiempo del cambio de dirección, en el sistema acelerado, hay que contrarrestar el efecto de tantos años de que el otro reloj (el del gemelo terrestre) vaya más lento. Pero, como ya dije en el otro mensaje, se pueden plantear formas diferentes de la paradoja donde la aceleración sea tratable.

Naturalmente, es muy diferente estudiar cosas que tienen aceleración desde un sistema de referencia inercial (que se puede hacer con relatividad especial sin problema), que estudiar la física desde el punto de vista del sistema acelerado. En los aceleradores de partículas, uno se puede quedar en el sistema laboratorio tan tranquilo, así que no hay todas estas sutilezas.

[carroza]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Hola.

Lo que me preocupa del enfoque de considerar que la explicacion de la paradoja de los gemelos requiere conocer relatividad general es que el 99% de los del foro renuncien a entender la paradoja, porque el 99% no tienen, ni van a tener, la formacion suficiente para dominar la relatividad general.

La relatividad especial puede explicar perfectamente la paradoja de los gemelos. Yo recomendaria la lectura de "How to teach special relativity", del libro de John Bell "Speakable and Unspeakable in quantum mechanics". Alli vienen varios ejemplos no triviales de usar la relatividad especial para describir sistemas acelerados.

La formula que puse para el tiempo propio es exacta, en ausencia (o despreciando) campos gravitatorios. Es la expresion que se utiliza para calcular la vida de las particulas que se producen y aceleran en los aceleradores de particulas, y está archicomprobada experimentalmente.

Uno puede derivar esa formula a partir de relatividad general, pero es matar moscas con balas de cañon. De todas formas, si alguien quiere hacerlo, el punto de partida no seria tu expresion del intervalo, sino la que se sacaria de.

$x' = x + \int_0^T v(t) dt$

donde (x, T) representan un sistema inercial, (x',T') un sistema no inercial arbitrario,
y el intervalo, que vale
$ds^2 = (c dT)^2 - (dx)^2 - (dy)^2- (dz)^2$
lo expresariamos en terminos de (dx', dT').




El limite G=0 al que me referia no implica que las aceleraciones tengan que ser cero.
Puede haber aceleraciones que no se deban a fuerzas gravitatorias. G=0 implica que el tensor de curvatura se anula. En ese caso, el espacio-tiempo es plano. Eso no quiere decir que la metrica sea diagonal (como tu pones en la expresion de ds).

[pod]

Re: ¿La relatividad especial puede, o no, estudiar SR acelerados?

Muevo esto aquí para discutirlo con más tranquilidad. Se aleja bastante de lo que es divulgación, y no hay nada menos didáctico que discutir delante de los que quieren aprender Así que primero intentemos ponernos de acuerdo, y luego si hace falta se lo explicamos.

Creo que al hacer la comparación con $G\to0$ has dado justo en el clavo. Consideremos un sistema acelerado con aceleración a. En el sistema comóvil, el principio de equivalencia nos dice que debemos substituir la aceleración por un campo gravitatorio $g = -a$, que en el límite propuesto tiende a cero, $g\to0$. Haciendo el paso al revés, esto significa $a\to 0$.

Es decir, el método de suponer una sucesión infinita de sistemas inerciales en RE es exacto en el límite en que la aceleración es muy pequeña. El parámetro a comparar para ver si esta aproximación es correcta será del estilo $a \ll Gm/\ell^2$, donde $\ell$ será la escala típica en que se produce la aceleración. Tal y como se suele plantear la paradoja de los gemelos, está claro que la escala de longitud es muy pequeña, por lo que la aceleración será grande.

Sospecho que si se considera un viaje de los gemelos algo diferente, donde el gemelo viajero sale disparado a gran velocidad, pero con los motores encendidos en reversa todo el tiempo a muy baja potencia (tal que tarde muchos años en volver al a tierra), entonces los cálculos en el método de los sistemas sucesivos será válido a orden $o(a)^2 \sim o(G)^2$. Uno podría intentar comparar todo esto con la aproximación lineal de la relatividad general,

$\mathrm{d} s^2 = - \big(1+V/c^2\big) \mathrm{d} t^2 + \big(1-V/c^2\big) \big(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d} y^2 + \mathrm{d} z^2 \big) \ .$

¿Alguien se anima a hacer estos cálculos?

Así pues, mi conclusión es que naturalmente se puede utilizar el método de considerar una sucesión continua de sistemas de referencia inerciales en relatividad especial dará los resultados correctos en primera aproximación (o quizá aproximación de orden cero en $a/G$).

[carroza]

Es obvio que la relatividad especial no es suficiente para explicar todos los fenómenos de la naturaleza; por eso se la llama también "restringida", y por eso la otra se llama "General". En particular, la relatividad especial se restringe a estudiar fenómenos en que la gravedad no es importante y el observador no está acelerado.

Estoy de acuerdo en que la relatividad especial se aplica cuando la gravedad no es importante, pero no estoy de acuerdo con que no valga para un sistema acelerado.

Imaginemos un mundo en el que la gravedad no existiera (G=0), pero hubiera luz, y todos los fenomenos electromagneticos. En ese mundo, no habria relatividad general, pero si habria relatividad especial.

Ahi podriamos acelerar, frenar, y seria valida siempre la relatividad especial.
Podriamos hacer viajar a mellizos, y estudiar sus tiempos propios.
Si quisieramos definir el tiempo propio de un sistema acelerado, lo igualariamos con el tiempo que se tendria en un conjunto de sistemas inerciales, sincronizados, que se aproximara arbitrariamente al sistema no inercial.
Obtendriamos la siguente formula para el tiempo propio $\tau$, en función del observado desde un sistema inercial $T$, para un objeto que se mueve con velocidad $v(t)$

$\tau = \int_0^T d t \sqrt{1-v(t)^2/c^2}$

La relatividad general es esencial para explicar la paradoja de los gemelos "gravitatoria", es decir, por que los relojes funcionan a ritmos distintos dentro y fuera de un campo gravitatorio, pero no es necesaria para explicar movimientos acelerados, que pueden deberse a fuerzas no gravitatorias.