Divulgación Partículas de Spin 1/2

[HodracirK]

Hola, no estoy seguro de estar preguntadolo en el lugar correcto.

Me gustaría saber como funcionan las partículas elementales de 1/2... osea como es posible que tenga que girar un objeto dos veces para que vuelva a estar en la misma posición?

Me pueden dar un ejemplo?

Muchas gracias y un saludo

[pod]

Re: Partículas de Spin 1/2

Tu propia mano tiene la propiedad de tener que girarse dos veces para quedar en la misma posición. Haz el siguiente experimento: coge una de tus manos y pon la palma hacia arriba. Tienes que dar una vuelta completa horizontal a la mano de forma que en ningún momento la palma deje de estar hacia arriba. Lo normal es poner algún objeto, si cae es que lo has hecho mal (no vale agarrarlo). La forma de hacerlo es girando el brazo sobre si mismo, pero cuando has dado la vuelta, tu brazo ha quedado retorcido. Para que quede bien, tienes que dar otra vuelta (en la misma dirección, no vale deshacer lo hecho ). Si lo intentas hacer y no te sale, el "truco" es que la primera vuelta se da "por debajo" del brazo, y la segunda "por encima" (o al revés, claro).

Así que no es una propiedad tan extraña. Simplemente, dar una vuelta a la mano de esta forma significa dar media vuelta al brazo. Por lo tanto, para que todo quede igual, hay que dar dos vueltas a la mano (lo que significa una vuelta al brazo).

Pues a las partículas spin 1/2 les pasa lo mismo. Dicho de forma muy grosera, la partícula tiene cierto espacio "interno", que da media vuelta cada vez que el espacio real da una.

Matemáticamente, tiene que ver con el grupo de rotaciones. La Física debe ser invariante ante rotaciones, y por lo tanto las partículas se deben transformar bajo alguna de sus representaciones. Y resulta que hay representaciones "raras" que tienen esa propiedad. Pero todo esto es muy aburrido, mejor retorcerse el brazo un poco

[SO3]

Re: Partículas de Spin 1/2

Hola, yo no soy fisico asi que no sabria decirte las interpretaciones fisicas de esta cuestion, pero de la geometria que subyace si.

Hay una "filosofia" o "definicion" en geometria, conocida como Programa de Erlangen, pues fue Klein quien primero hablo sobre esto en Erlangen , y que viene a decir que una geometria es el estudio de unos espacios y sus propiedades, y el grupo de transformaciones que dejan invariantes las propiedades de ese espacio, claramente, si tenemos 2 de estas transformaciones podemos hacer una y luego la otra y tenemos una nueva transformacion de este tipo, dejarlo todo quieto es otra transformacion de este tipo, y si tenemos una transformacion, podemos considerar la transformacion inversa, deshacer lo que hace esa transformacion.

La cuestion del spin tiene que ver con $SO(3)$ que es el grupo de rotaciones del espacio tridimensional $\mathbb R^3$. Pero veamos antes las rotaciones en el plano que son mas simples.

En el plano tenemos una estructura de espacio vectorial euclideo, con el producto escalar, que fijada la base usual tiene como matriz la identidad.$Id_2$.¿Cuales son entonces las transformaciones que conservan el producto escalar? Son aquellas tales que si $A$ representa la matriz de la transformacion en la base prefijada se tiene que $A^t Id_2 A =A^t A=Id_2$, que es lo que conocemos como matrices ortogonales.Claramente la composicion de dos matrices ortogonales es ortogonal, la inversa de una matriz ortogonal es ortogonal etc; ademas de las propiedades del determinante se tiene $det A^t detA = det Id_2$ luego $(det A)^2=1$ asi que las matrices ortogonales pueden tener determinante $1$ o $-1$.

¿Que significa, geometricamente, el signo del determinante? Veamoslo con un par de ejemplos, llamemos $e_1=(1,0) , e_2=(0,1)$ y consideremos las transformaciones ortogonales

$$A_1=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\<br /> - 1 & 0 \\<br /> \end{pmatrix}$$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Claramente la primera es de las determinante positivo y la segunda de las de determinante negativo,la primera verifica $A_1(e_1)=e_2 , A_1(e_2)=-e_1$ y la segunda $A_2(e_1)=-e_2 ,A_2(e_2)=-e_1$. La del primera no cambia la orientacion y la segunda si , es decir, cojemos nuestro dedo pulgar e indice e imaginamos que marcan las direcciones de $e_1$ y $e_2$ la palma de la mano mira hacia el suelo y si movemos nuestra mano para hacer la primera transformacion sigue mirando hacia el suelo, mientras que si intentamos hacerlo con la segunda transformacion irremediablemente hemos de dar la vuelta a la mano.

Ahora bien, en dimension 2 es facil comprobar que estas matrices , si son de las que no cambian orientacion tienen la forma:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> cos \theta & sin \theta \\<br /> - sin \theta & cos \theta \\<br /> \end{pmatrix}$$

y

$$\begin{pmatrix}<br /> -cos \theta & sin \theta \\<br /> sin \theta & -cos \theta \\<br /> \end{pmatrix}$$

si cambian la orientacion. Centremosnos en las del primer tipo, que llamaremos transformaciones ortogonales especiales del plano y el grupo de estas transformaciones lo llamaremos $SO(2)$.

Este grupo es el grupo de lo que conocemos como rotaciones del plano, y ya sabemos como podemos representar esas transformaciones en matrices, pero si nos fijamos, esta representacion lo que hace es asociar a cada rotacion un angulo en la circunferencia $\mathbb S^1$ asi que nuestras transformaciones del plano en realidad tienen una estructura geometrica,la de la circunferencia. Entonces si aprendemos cosas de la geometria de la circunferencia sabemos cosas de la geometria de las rotaciones.

La circunferencia es un objeto que aun sin definir lo que entendemos como dimension no tenemos ningun problema en decir que su dimension es 1,al igual que la recta real, $\mathbb R$ o un intervalo. Sin embargo, sabemos que son distintos la recta y la circunferencia, la circunferencia tiene un agujero y la recta no , veamos como podemos estudiar esto de los "agujeros".

Imaginemos que tanto en la recta como en la circunferencia hemos cojido un punto y hemos puesto un palito en ese punto donde podamos atar cuerdas, ahora cojemos una cuerda , atamos un extremo de nuestra cuerda en el palito y ponemos el resto de la cuerda sobre la recta o sobre la circunferencia de forma que el otro extremo de la cuerda vuelva a estar atado a nuestro palito, es decir, construimos lazos basdos en nuestro palito, curvas en nuestra figura geometrica que empiecem y acabem en el mismo punto, y ahora nos preguntamos si podremos ir tirando de la cuerda sin que se salga del espacio para traerla toda hacia nuestro palito.

Es intuitivamente claro que en la recta, cualquier curva la podremos deformar hasta traerla hacia el palito , y por lo tanto decimos que la recta es simplemente conexa.

Sin embargo, la cosa cambia en la circunferencia, si por ejemplo con la cuerda hemos dado una vuelta a la circunferencia, el agujero nos impide traer toda la cuerda hasta el punto.

Veamos ahora como tambien podemos obtener una estructura de grupo de esto, si tenemos dos lazos podemos pensar en el lazo obtenido desatando el extremo final del primero y el extremo inicial del segundo y pegarlos, esta sera nuestra operacion, el pegado de lazos. El lazo que es dejarlo todo quieto sera el lazo que es poner toda la cuerda en el palito, y el inverso de un lazo sera cojer ese lazo y considerar que el extremo final es el extremo inicial del nuevo lazo y el extremo inicial del primer lazo el extremo final del nuevo lazo, y tenemos mas o menos un grupo asi (en realidad la construccion formal de esto es mas complicada, lo que se hace es fijar un punto en el espacio topologico y considerar las aplicaciones continuas del intervalo $[0,1]$ en el espacio topologico que envian los extremos al punto prefijado, pero para obtener la estructura de grupo hay que identificar lazos que se puedan deformar con continuidad uno en el otro, es decir, que sean homotopicos, si no no hay grupo ).


A este grupo lo llamaremos grupo fundamental , y lo denotaremos por $\pi_1 (X)$. Con lo que hemos visto hasta ahora, es bastante razonable creer que $\pi_1(\mathbb R)=0$ y que $\pi_1(\mathbb S^1)=\mathbb Z$ , donde llamamos al lazo dar una vuelta en el sentido de las agujas del reloj $1$ y en el sentido contrario $-1$, asi que al numero 15 le correspondera dar 15 vueltas en el sentido contrario a las agujas del reloj, o identificando lazos que se deformen unos en los otros, seria lo mismo que hacer 20 vueltas en el sentido de las agujas del reloj y 35 en el sentido contrario.


Y ahora nos acordamos de que esta es la geometria del grupo de rotaciones del plano, que es donde empezamos y nos preguntamos por fin sobre el grupo de rotaciones de dimension 3, $SO(3)$,
¿Podemos asociarlo con alguna espacio geometrico mas "conocido"?

Si, con el espacio de direcciones en dimension 3, el espacio proyectivo real tridimensional $\mathbb RP^3$. El problema es que este espacio quiza no te sea familiar, sin embargo es de los famosos y se conoce bastante de su geometria. Es un espacio que no se puede pensar en el directamente porque no se puede "meter" en dimension 3, si no recuerdo mal como minimo ha de estar en dimension 5 para que no tenga puntos dobles ni cosas raras, pero si se puede pensar en un modelo en dimension 3 del espacio proyectivo, simplemente hay que considerar la bola unidad cerrada y pensar que dos puntos de la esfera borde $\mathbb S^2$ son el mismo si y solo si son antipodales, es decir, si estan alineados con el 0. Este espacio es curioso, fijate que con esta descripcion, si tu estas en el centro de la bola, mires hacia donde mires te veras...la espalda.

Esto tiene relacion con el hecho de que su grupo de lazos tal y como lo hemos definido antes tenga 2 elementos, el dejar todo el lazo en el palito, llamemoslo$id$ y otro, llamemoslo $\sigma$, y como ha de haber un lazo inverso para $\sigma$ y pegar el quedarse quieto con otro no cambia al otro, ha de ser $(\sigma)^2=id$ , es decir, al hacer $\sigma$ una vez es distinto de estarse quieto, pero hacerlo 2 veces es volver a la posicion inicial.

En el siguiente enlace te viene un "experimento" para ver este fenomeno, aunque es mas complicado que lo que acaba de poner pod, desafortunadamente no vienen las imagenes que deberian venir en la pagina 166 pero si dispones de este libro en tu facultad aunque no sea para leer nada (es de topologia algebraica) te sugiero que eches un vistazo a esas fotos. ( link : http://books.google.es/books?id=G74V...age&q=&f=false )

PD: lamento que no haya tildes pero mi teclado esta estropeado y no pone las tildes de una en una si no 2 a la vez asi que decidi no ponerlas.

[pod]

Re: Partículas de Spin 1/2

So3, buena explicación Aunque en hilos de divulgación es mejor no poner ecuaciones y conceptos complicados, porque están destinados al publico en general (que no tiene porqué saber que es un grupo, una matriz o un seno...).

[HodracirK]

Re: Partículas de Spin 1/2

Muchas gracias!!

Pod con lo de la mano me queda todo muy claro.
Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Partículas de Spin 1/2

Hola, yo no soy fisico asi que no sabria decirte las interpretaciones fisicas de esta cuestion, pero de la geometria que subyace si.

Hay una "filosofia" o "definicion" en geometria, conocida como Programa de Erlangen, pues fue Klein quien primero hablo sobre esto en Erlangen , y que viene a decir que una geometria es el estudio de unos espacios y sus propiedades, y el grupo de transformaciones que dejan invariantes las propiedades de ese espacio, claramente, si tenemos 2 de estas transformaciones podemos hacer una y luego la otra y tenemos una nueva transformacion de este tipo, dejarlo todo quieto es otra transformacion de este tipo, y si tenemos una transformacion, podemos considerar la transformacion inversa, deshacer lo que hace esa transformacion.

La cuestion del spin tiene que ver con $SO(3)$ que es el grupo de rotaciones del espacio tridimensional $\mathbb R^3$. Pero veamos antes las rotaciones en el plano que son mas simples.

En el plano tenemos una estructura de espacio vectorial euclideo, con el producto escalar, que fijada la base usual tiene como matriz la identidad.$Id_2$.¿Cuales son entonces las transformaciones que conservan el producto escalar? Son aquellas tales que si $A$ representa la matriz de la transformacion en la base prefijada se tiene que $A^t Id_2 A =A^t A=Id_2$, que es lo que conocemos como matrices ortogonales.Claramente la composicion de dos matrices ortogonales es ortogonal, la inversa de una matriz ortogonal es ortogonal etc; ademas de las propiedades del determinante se tiene $det A^t detA = det Id_2$ luego $(det A)^2=1$ asi que las matrices ortogonales pueden tener determinante $1$ o $-1$.

¿Que significa, geometricamente, el signo del determinante? Veamoslo con un par de ejemplos, llamemos $e_1=(1,0) , e_2=(0,1)$ y consideremos las transformaciones ortogonales

$$A_1=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\<br /> - 1 & 0 \\<br /> \end{pmatrix}$$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Claramente la primera es de las determinante positivo y la segunda de las de determinante negativo,la primera verifica $A_1(e_1)=e_2 , A_1(e_2)=-e_1$ y la segunda $A_2(e_1)=-e_2 ,A_2(e_2)=-e_1$. La del primera no cambia la orientacion y la segunda si , es decir, cojemos nuestro dedo pulgar e indice e imaginamos que marcan las direcciones de $e_1$ y $e_2$ la palma de la mano mira hacia el suelo y si movemos nuestra mano para hacer la primera transformacion sigue mirando hacia el suelo, mientras que si intentamos hacerlo con la segunda transformacion irremediablemente hemos de dar la vuelta a la mano.

Ahora bien, en dimension 2 es facil comprobar que estas matrices , si son de las que no cambian orientacion tienen la forma:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> cos \theta & sin \theta \\<br /> - sin \theta & cos \theta \\<br /> \end{pmatrix}$$

y

$$\begin{pmatrix}<br /> -cos \theta & sin \theta \\<br /> sin \theta & -cos \theta \\<br /> \end{pmatrix}$$

si cambian la orientacion. Centremosnos en las del primer tipo, que llamaremos transformaciones ortogonales especiales del plano y el grupo de estas transformaciones lo llamaremos $SO(2)$.

Este grupo es el grupo de lo que conocemos como rotaciones del plano, y ya sabemos como podemos representar esas transformaciones en matrices, pero si nos fijamos, esta representacion lo que hace es asociar a cada rotacion un angulo en la circunferencia $\mathbb S^1$ asi que nuestras transformaciones del plano en realidad tienen una estructura geometrica,la de la circunferencia. Entonces si aprendemos cosas de la geometria de la circunferencia sabemos cosas de la geometria de las rotaciones.

La circunferencia es un objeto que aun sin definir lo que entendemos como dimension no tenemos ningun problema en decir que su dimension es 1,al igual que la recta real, $\mathbb R$ o un intervalo. Sin embargo, sabemos que son distintos la recta y la circunferencia, la circunferencia tiene un agujero y la recta no , veamos como podemos estudiar esto de los "agujeros".

Imaginemos que tanto en la recta como en la circunferencia hemos cojido un punto y hemos puesto un palito en ese punto donde podamos atar cuerdas, ahora cojemos una cuerda , atamos un extremo de nuestra cuerda en el palito y ponemos el resto de la cuerda sobre la recta o sobre la circunferencia de forma que el otro extremo de la cuerda vuelva a estar atado a nuestro palito, es decir, construimos lazos basdos en nuestro palito, curvas en nuestra figura geometrica que empiecem y acabem en el mismo punto, y ahora nos preguntamos si podremos ir tirando de la cuerda sin que se salga del espacio para traerla toda hacia nuestro palito.

Es intuitivamente claro que en la recta, cualquier curva la podremos deformar hasta traerla hacia el palito , y por lo tanto decimos que la recta es simplemente conexa.

Sin embargo, la cosa cambia en la circunferencia, si por ejemplo con la cuerda hemos dado una vuelta a la circunferencia, el agujero nos impide traer toda la cuerda hasta el punto.

Veamos ahora como tambien podemos obtener una estructura de grupo de esto, si tenemos dos lazos podemos pensar en el lazo obtenido desatando el extremo final del primero y el extremo inicial del segundo y pegarlos, esta sera nuestra operacion, el pegado de lazos. El lazo que es dejarlo todo quieto sera el lazo que es poner toda la cuerda en el palito, y el inverso de un lazo sera cojer ese lazo y considerar que el extremo final es el extremo inicial del nuevo lazo y el extremo inicial del primer lazo el extremo final del nuevo lazo, y tenemos mas o menos un grupo asi (en realidad la construccion formal de esto es mas complicada, lo que se hace es fijar un punto en el espacio topologico y considerar las aplicaciones continuas del intervalo $[0,1]$ en el espacio topologico que envian los extremos al punto prefijado, pero para obtener la estructura de grupo hay que identificar lazos que se puedan deformar con continuidad uno en el otro, es decir, que sean homotopicos, si no no hay grupo ).


A este grupo lo llamaremos grupo fundamental , y lo denotaremos por $\pi_1 (X)$. Con lo que hemos visto hasta ahora, es bastante razonable creer que $\pi_1(\mathbb R)=0$ y que $\pi_1(\mathbb S^1)=\mathbb Z$ , donde llamamos al lazo dar una vuelta en el sentido de las agujas del reloj $1$ y en el sentido contrario $-1$, asi que al numero 15 le correspondera dar 15 vueltas en el sentido contrario a las agujas del reloj, o identificando lazos que se deformen unos en los otros, seria lo mismo que hacer 20 vueltas en el sentido de las agujas del reloj y 35 en el sentido contrario.


Y ahora nos acordamos de que esta es la geometria del grupo de rotaciones del plano, que es donde empezamos y nos preguntamos por fin sobre el grupo de rotaciones de dimension 3, $SO(3)$,
¿Podemos asociarlo con alguna espacio geometrico mas "conocido"?

Si, con el espacio de direcciones en dimension 3, el espacio proyectivo real tridimensional $\mathbb RP^3$. El problema es que este espacio quiza no te sea familiar, sin embargo es de los famosos y se conoce bastante de su geometria. Es un espacio que no se puede pensar en el directamente porque no se puede "meter" en dimension 3, si no recuerdo mal como minimo ha de estar en dimension 5 para que no tenga puntos dobles ni cosas raras, pero si se puede pensar en un modelo en dimension 3 del espacio proyectivo, simplemente hay que considerar la bola unidad cerrada y pensar que dos puntos de la esfera borde $\mathbb S^2$ son el mismo si y solo si son antipodales, es decir, si estan alineados con el 0. Este espacio es curioso, fijate que con esta descripcion, si tu estas en el centro de la bola, mires hacia donde mires te veras...la espalda.

Esto tiene relacion con el hecho de que su grupo de lazos tal y como lo hemos definido antes tenga 2 elementos, el dejar todo el lazo en el palito, llamemoslo$id$ y otro, llamemoslo $\sigma$, y como ha de haber un lazo inverso para $\sigma$ y pegar el quedarse quieto con otro no cambia al otro, ha de ser $(\sigma)^2=id$ , es decir, al hacer $\sigma$ una vez es distinto de estarse quieto, pero hacerlo 2 veces es volver a la posicion inicial.

En el siguiente enlace te viene un "experimento" para ver este fenomeno, aunque es mas complicado que lo que acaba de poner pod, desafortunadamente no vienen las imagenes que deberian venir en la pagina 166 pero si dispones de este libro en tu facultad aunque no sea para leer nada (es de topologia algebraica) te sugiero que eches un vistazo a esas fotos. ( link : http://books.google.es/books?id=G74V...age&q=&f=false )

PD: lamento que no haya tildes pero mi teclado esta estropeado y no pone las tildes de una en una si no 2 a la vez asi que decidi no ponerlas.

Que raro, yo uso el grupo SU2 para el spin en vez de SO3.

[pod]

Re: Partículas de Spin 1/2

Que raro, yo uso el grupo SU2 para el spin en vez de SO3.

SU(2) es el doble recubrimiento de SO(3). En general, el grupo de Spin(n) siempre es el doble recubrimiento de SO(n).

Más info en la wikipedia, grupo de spin.