1r ciclo Radiactividad del cuerpo humano

[Zhisi]

Hola, tengo que resolver un ejercicio que en principio es muy sencillo pero no me aclaro o no entiendo el enunciado, a ver si alguien me puede ayudar.

Dada la masa de una persona (en kg) hallar el resultado de su actividad radiactiva debida al K cuarenta y al C catorce, medidas en Becquerelios.
Calcula tu actividad radiactiva.

Me dan los siguientes datos:

$N(t)=N({t}_{0 }){e}^{-\lambda \Delta t }$

donde lamda es la constante de semidesintegración

También dice que si:
$\lambda \gg \Delta t$

entonces
$N(t)=N({t}_{0 })\lambda \Delta t$

No entiendo de que me sirve esto último porque lamda me sale muchísimo menor que incremento de t


$\lambda=ln(2)/T$
T=1300 millones de años en el caso del potasio

El número de núcleos radiactivos de potasio los hallo con otros datos que me dan (porcentaje de potasio en el cuerpo humano etc).

Una vez resuelto con el potasio, con el carbono será igual, así que con que me ayudeis con el potasio suficiente.

Yo he hecho lo siguiente (siguiendo los pasos que me indican en el propio ejercicio para resolverlo) para el K:

$\lambda = ln(2)/(1300*{10}^{6 }*365*24*3600)=1.7*{10}^{ -17}$

${N}_{0 } = \frac{m*\frac{0.2}{100 }*1000*{N}_{ A}*12 }{ 40*{10}^{5 } } = numero-de-atomos-de-{K}^{40 }$

donde m es la masa de la persona.

$N({t}_{0 })-N({t}_{0 }){e}^{-\lambda \Delta t }={N}_{ desintegrados}(t)$

Y no se que más tengo que hacer.



Un saludo y gracias.

[arivasm]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

La actividad de una muestra constituida por un único tipo de núcleos radioactivos es el producto de la constante de desintegración y el número de dichos núcleos. El motivo está en que $A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N$

Como ya conoces $\lambda$ y el valor actual de N para cada núcleo puedes calcular sus actividades y luego sumarlas para obtener la actividad actual.

[Zhisi]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Yo creo que esa es la forma correcta, pero no se si quieren que lo hagamos así. Realmente el ejercicio consiste en hacer un programa con C++ que resuelva el ejercicio:





La parte de programar no es un problema, el cálculo de N subcero tampoco, la cuestión es que formula usar para la actividad observando las sugerencias y aclaraciones del problema.
Por ejemplo:

si el número de núcleos radiactivos desintegrados en un instante t es:

$N(t)={N}_{0 }(1-{e}^{-\lambda*t })$

entonces:

$-\frac{dN}{dt }=\lambda {N}_{ 0} {e}^{-\lambda*t }=A(t)$

¿no?

Para mi es así de simple, pero leyendo las sugerencias e intentandolo resolver como sugieren, me resulta tremendamente complicado.
Además, el enunciado dice que introduciendo solamente la masa tiene que dar como resultado la actividad, pero la actividad es función del tiempo ¿me estoy liando? Yo creo que sería necesario introducir la masa y el tiempo transcurrido para dar la actividad, porque no sera la misma en t=1 que en t=3 millones de años.

Agradecería que alguien desarrollara la derivada y demás para aclararme.

[arivasm]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

En primer lugar señalaré que la actividad de una muestra es función del tiempo sólo si permanece aislada. Por tanto, si el problema se refiriese a un cadáver, en lugar de hablar de personas vivas, entonces sí que tendrías que incluir la dependencia temporal (al menos como primera aproximación, pues también los cadáveres intercambian materia con el entorno).

Los seres vivos somos sistemas que constantemente intercambiamos materia con el medio, de manera que no es una mala aproximación considerar que en todo momento poseemos unas cantidades de los isótopos en cuestión que son proporcionales a nuestra masa (por supuesto, imagino que alguien con conocimientos de medicina puntualizaría esta afirmación en el sentido de que habría que considerar las masas de órganos y no la total, pero ya sabes, nosotros somos físicos y usamos vacas esféricas...).

Así pues, entiendo que tu programa sólo deberá tener como entrada la masa del individuo, a partir de ella calcular el número de átomos de cada uno de los isótopos y con ellos la actividad total como ya comentamos antes.

Por último, sobre la expresión que das para la actividad destacaría, como refuerzo de lo que acabo de decir, que $A(t) =\lambda N_0 e^{-\lambda t}= \lambda N(t)$, de manera que para conocer la parte de mi actividad que *ahora* corresponde a tal isótopo sólo necesito conocer la cantidad que *ahora* tengo de ese isótopo.

Sobre la expresión que aparece en las sugerencias, es una manera aproximada, y entonces menos general, de decir que la derivada es la que señalamos: si divides el número de desintegraciones, $N_0-N_0 e^{-\lambda \Delta t}$ entre $\Delta t$ tienes el mismo resultado, $N_0 \lambda$, en este caso, aplicado al instante $t=0$.

A todo esto, en las sugerencias dice que la expresión es válida si $t\ll \lambda$ cuando debería decir $t\ll 1/ \lambda$

[Zhisi]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Muchitas gracias compañero. Mañana tenemos que entregarlo todo, ya comentare en que queda la cosa.

Un saludo GRANDE.



PD: ¿Me puedes argumentar esto? Me cuesta verlo después de tantas horas dándole vueltas:

en las sugerencias dice que la expresión es válida si $t\ll \lambda$ cuando debería decir $t\ll 1/ \lambda$

[Ras]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Gracias arivasm, muy útil.

[arivasm]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Sobre la errata en el enunciado: $\lambda$ tiene dimensiones de tiempo^-1, de hecho es el inverso de la vida media, $\lambda =1/\tau$. Lógicamente sólo podemos comparar magnitudes de la misma dimensión.

Desde el punto de vista matemático, el razonamiento que aparece en las indicaciones es un desarrollo en serie de Taylor de orden uno, alrededor de $x=0$, de la función exponencial, $e^x \approx 1+x$. La diferencia entre el valor verdadero y el de la aproximación disminuye a medida que $x\to 0$. En nuestro caso puede decirse que $\lambda t\ll 1$ y de ahí la condición $t\ll 1/\lambda =\tau$

[arivasm]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Por si alguien se anima a cotejar resultados. Los cálculos están hechos por kg

El número de átomos de C es 0.23/0,012*6,022·10^23 = 1,15·10^25. El número de átomos de C-14 es 1,15·10^13. Como la constante de desintegración es ln2/(5700·365·86400 s) = 3,32·10^-12 s^-1, la actividad debida al C-14 es 44 Bq.

El número de átomos de K es 0.0020/0,0391*6,022·10^23 = 3,08·10^22 [Nótese que se usa la masa atómica del K, es decir la masa media de los átomos de K, no la masa del K-40]. El número de átomos de K-40 es 12·10^-5 veces esa cifra, es decir, 3,70·10^18. Como la constante de desintegración es ln2/(1,3·10^9·365·86400 s) = 1,46·10^-17 s^-1, la actividad debida al K-40 es 62 Bq.

Por tanto, la actividad es de unos 106 Bq/kg

[Zhisi]

Re: Radiactividad del cuerpo humano

Siento no haber contestado antes.
El resultado final es correcto, 106Bq.

Un saludo!