Mamá, quiero ser Yukawa

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http://es.wikipedia.org/wiki/Hideki_Yukawa

Los núcleos están llenos de protones. ¿Y eso como puede ser? Los protones están muy juntitos en los núcleos, y todos con carga positiva, sin duda habrían de repelerse. ¿Cómo es que están todos juntitos?

Debería de haber una interacción mucho más potente que la interacción eléctrica que los mantiene unidos. Pero, ¿por qué no notamos esa interacción? Debe ser que no tiene un gran alcance, es decir, que solo opera en distancia nucleares. Podemos pensar que el núcleo tiene un tamaño de aproximadamente 1 fermi. Un fermi son $10^{-15}$ metros.

Si la interacción electromagnética tiene un alcance infinito y está mediada por una partícula portadora, el fotón, que no tiene masa. La interacción que mantiene unidos a los protones y neutrones en los núcleos deberá estar mediada por una partícula con masa. ¿Por qué?

Bueno si uno tiene que calcular la masa de una partícula portadora a través de su alcance siempre puede echar mano de las relaciones de indeterminación. Heisenberg demostró que hay parejas de observables que no se pueden conocer simultáneamente con precisión infinita. Un par muy útil para calcular masas es el dado por la Energía que pone en juego un sistema en un proceso y el tiempo que este proceso tarda en producirse. El principio de indeterminación para este par de magnitudes nos dice:

$\delta E \cdot \delta t \geq \hbar$



Jugemos con los fotones y el electromagnetismo. El alcance de la interacción electromagnética es infinito que básicamente nos quiere decir que el tiempo que puede estar un fotón en "vuelo" es infinito.

Velocidad del fotón, será el alcance dividido por el tiempo de vuelo y ha de ser igual a la velocidad de la luz. Tomaremos la velocidad de la luz igual a 1, y la constante de Planck barrada también, ya que estas constantes están en todas las fórmulas y en esas unidades todas las fórmulas se simplifican.

Por lo tanto: $\frac{\delta x}{\delta t}=1$ y eso implica que $\delta t = \delta x$

El principio de indeterminación anterior queda entonces: $\delta E \delta x \geq 1$. Como el alcance es infinito: $\delta x =\infty$ y por la relación de Einstein (c=1, para no olvidarnos) $\delta E=m$

$m\cdot \infty \geq 1$ lo que implica que m=0. Y así el fotón no tiene masa.

Si ahora buscamos por el portador de la interacción fuerte, el no puede tener un vuelo infinito, ya que no puede salir del nucleo. Por lo tanto (y ahora si introduciremos todas las c's)...

$mc^2 \cdot \frac{10^{-15}}{c} \geq \hbar$

$m \geq \frac{\hbar}{c 10^{-15}}$

Ahora tenemos una cota para la masa de esa partícula...

Ahora solo queda calcular y buscar la masa del pión, a ver si concuerdan al menos en orden de magnitud... :P

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Re: Mamá, quiero ser Yukawa

¿Cómo representar la interacción fuerte entre nucleones?

La cuestión es: La interacción eléctrica se representa por el potencial eléctrico, de hecho cuando en física fundamental se habla de una interacción usualmente nos referimos a un potencial en general.

El potencial eléctrico es:

$V_{elect}=\frac{q}{r}$

El potencial tiene un signo igual al de la carga que lo produce, y se puede comporbar que eso representa una interacción de alcance infinito porque el potencial se aproxima a cero sólo cuando la distancia r va a infinito.

¿Qué pasa si queremos modelizar una interacción atractiva de corto alcance?

Lo primero es que si es atractiva siempre el potencial será negativo de entrada.

Lo segundo es que hemos de tener una cantidad asociada a sentir y producir la interacción (en el caso eléctrico es la carga eléctrica), en este caso lo llamaremos $g^2$, y la llamaremos constante de acoplo.

La dependencia con la distancia será una modificación del caso Coulombiano de forma que al final obtenemos:

$V_{Yukawa}=-g_s\frac{e^{-Cr}}{r}$

Pero ¿Qué es C?

Pues lo único que podemos introducir ahí es un conjunto de constantes, y las constantes universales que tenemos a nuestra disposición en este caso es la velocidad de la luz y la constante de Planck. Y por supuesto, la masa de la partícula portadora que hemos deducido antes. Con estas tres cosas hemos de conseguir una cantidad adimensional en el exponente de la exponencial. Por lo tanto tenemos que escribir:

$V_{Yukawa}=-g_s\frac{e^{-m c r/ \hbar}}{r}$

Y ahí lo tenemos, una interacción de corto alcance, porque en cuanto aumentamos r la interacción decae exponencialmente.

Y si hacemos m=0, la interacción es puramente Coulombiana volviendo a tener un alcance infinito.

Mamá, quiero ser Yukawa

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Re: Mamá, quiero ser Yukawa

$m\cdot \infty \geq 1$ lo que implica que m=0. Y así el fotón no tiene masa.

¿Seguro que implica eso? Probemos con una masa no nula, por ejemplo m = 17,5. Hmmm, veamos, $17,5\cdot\infty = \infty \geq 1$. ¡La desigualdad se cumple!

El truco en estas cosas está en suponer que, en el estado fundamental, la desigualdad de incertidumbre se satura (se cumple con signo igual), por lo que tenemos $m \cdot \infty \approx 1$, y eso sí que implica m = 0.

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Re: Mamá, quiero ser Yukawa

It´s true...

Se me había olvidao lo de la saturación de la inegualdad... Por eso no soy Yukawa...