Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

[lego]

Hola,

Tengo una duda relacionada con el teorema de Noether, a ver qué pensais al respecto:

-Se dice que (*1) si un sistema es invariante bajo traslaciones, se conservará el momento lineal. (*2) Si el sistema es invariante bajo rotaciones, se conservará el momento angular. (*3) Si es invariante bajo traslaciones temporales, se conservará la energía.
El producto x*p, L*(rad), E*t, siempre tiene unidades de acción.

Porqué lo que voy a decir a continuación es incorrecto?
-Cuando un sistema es invariante bajo transformaciones (t/x^2) --> (t'/x'^2) se conserva la masa del sistema.

O, más claramente, porqué la ley de conservacion de la masa, o de la carga eléctrica (o del color, sabor, ... de la particulas elementales) no salen de enunciados del tipo (*1), (*2), o (*3) ??

[pod]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Hola,

Tengo una duda relacionada con el teorema de Noether, a ver qué pensais al respecto:

-Se dice que (*1) si un sistema es invariante bajo traslaciones, se conservará el momento lineal. (*2) Si el sistema es invariante bajo rotaciones, se conservará el momento angular. (*3) Si es invariante bajo traslaciones temporales, se conservará la energía.
El producto x*p, L*(rad), E*t, siempre tiene unidades de acción.

Porqué lo que voy a decir a continuación es incorrecto?
-Cuando un sistema es invariante bajo transformaciones (t/x^2) --> (t'/x'^2) se conserva la masa del sistema.

O, más claramente, porqué la ley de conservacion de la masa, o de la carga eléctrica (o del color, sabor, ... de la particulas elementales) no salen de enunciados del tipo (*1), (*2), o (*3) ??

La conservación de la masa (en aquellas circunstancias en que se conserva) sale de la conservación de la energía (o, en general, de la conservación del cuadrimomento).

La conservación de los diferentes números cuánticos, como carga, sabor, etc. sí se deduce a partir del teorema de Noether, si bien en este caso éste se refiere a simetrías internas. Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica se debe a la simetría gauge U(1).

[Entro]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Además por qué cuando hablas de un campo habría que precisar la masa de quién y donde se conserva. Por eso la respuesta correcta es la de pod, la conservación de la masa no es un principio general, pero se puede extraer de la conservación de la energía en los casos en los que tiene sentido.

[lego]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Pero a ver, supongamos que yo tengo una caja impermeable llena de agua, pero que puede intercambiar calor con el exterior. La masa se conserva, pero la energía no.
Cómo me podéis explicar eso?
Si no se crea masa espontáneamente, la siguiente ecuación debería cumplirse:
$\partial_t\rho+\partial_i\rho v_i=0$

De dónde puedo deducir yo esa ecuación a partir de la coservación de la energía??

Gracias!

[polonio]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

A ver, estoy un poco tocado (me he resfriado, pero bien) y no tengo la cabeza muy clara y los ojos un poco llorosos, pero ¿cómo que no se conseva la energía? ¿Desde cuando existe un proceso en el que no se conserva la energía? ¿No será que ha cambiado de forma: disipada en forma de calor, de trabajo mecánico,...? Si tus paredes impermeables no son también adiabáticas, fijas, aislantes eléctricas,... puede intercambiar energía, pero realizará algún trabajo. Y se conservará la energía: verás cómo las variables que describen el sistema no dependen del instante; pero debes tener en cuenta todas la variables que describen el sistema, no sólo la masa.

[Entro]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Pero a ver, supongamos que yo tengo una caja impermeable llena de agua, pero que puede intercambiar calor con el exterior. La masa se conserva, pero la energía no.
Cómo me podéis explicar eso?
Si no se crea masa espontáneamente, la siguiente ecuación debería cumplirse:
$\partial_t\rho+\partial_i\rho v_i=0$

De dónde puedo deducir yo esa ecuación a partir de la coservación de la energía??

Gracias!

De hecho en la situación que planteas basta con mostrar que $\partial_t \rho =0$, ya que no hay flujo de masa.

Y ahora yendo al grano, esta situación que tu planteas hay que ser pelín cuidadoso:

Cuando haces uso del teorema de Noether estás buscando el efecto de las transformaciones infinitesimales de los generadores de las simetrías sobre las variables dinámicas de la misma. La masa es un parámetro del mismo, y en cierto sentido ya está condenada a conservarse porque tu lo exiges así.

De todas formas hay una manera de verlo mucho mejor:

Tenemos una partícula libre, su energía se conserva y su momento también. $E=\frac{p^2}{2m}$ entonces:

$m=\frac{p^2}{2E}$ es constante. Y esto es tanto como no decir nada porque en clásica la masa es una constante siempre, a no ser que haya flujos, entonces obtienes esos flujos (ecuación de continuidad, exigiendo también conservación de la energía que es de donde sale la ecuación que tu has puesto al principio).

Si lo quieres hacer bien, coge un problema relativista, saca las simetrías y mira a ver que pasa con la componente 0 del cuadri-momento...

Si lo que quieres es hacer un trabajo sobre un fluido que no fluje, construye su lagrangiano y aplicale las simetrías espaciotemporales, veras como te sale la corriente conservada y por tanto la conservación de la masa.

Edito: aquí lo tienen hecho: http://pacific.math.ualberta.ca/gord...acts/book.html

[lego]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Muchas gracias Entro por la referencia.

A ver, a ver, a ver. A ver si me aclaro un poco:

Entiendo (un poquito sólo) que la conservación del cuadrimomento implica la conservación de la energía.
Lo que no entiendo es lo siguiente:
Según me decís, la conservación de la energía implica conservación de la masa. Pues no puedo estar de acuerdo. Yo puedo tener un gas ideal (por poner un ejemplo de partículas que no interactuan, como en el post anterior) y calentarlo. Al calentarlo, la energía del gas aumenta, en forma de un aumento de la velocidad de las partículas, pero la masa se mantiene constante. La E no se conserva pero la masa sí.
Caso contrario: una desintegración. Ahí SÍ que se conserva el cuadrimomento (y por consiguiente, se conserva la energía y el momento), pero no la masa.

A parte de esto, para que la energía se conserve en un sistema , éste tiene que ser invariante bajo traslaciones temporales. Si conservación de la energía implica conservación de la masa, tenemos que cuando un sistema es invariante en el tiempo, la masa se conserva. Pero masa por tiempo no da unidades de acción, no son "variables complementarias" (creo que se llamaba así). Yo buscaba una variable tipo [longitud^2/tiempo] que si al variarla, el sistema permanecía inalterado, la masa se conservase.. No sé si me explico.

Sigo sin entender cómo llegar a la ecuacion de continuidad a partir de la conservación de la energía...

PD:
1. No me corre prisa que me respondáis, no tengo ningún examen, ni ningún problema o trabajo que entregar, sólo estoy intentando entender. Lo digo porque veo que muchos posts son muy urgentes... este no.
2. Si os aburre el tema, o no lo veis lo suficientemente interesante, ya procuraré formular las preguntas de otro modo, a ver si consigo que os interese más.
3. Soy muy nuevo en esta web. Me gusta mucho. He probado en mi casa el experimento del diablillo de descartes, jejeje, muy chulo!

Gracias por el interés!

[carroza]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Hola.

Con respecto a la masa y la energia, ten en cuenta que se cumple $E=m c^2$.
Esto es un resultado de la relatividad especial.

Eso quiere decir que si calientas un gas, aumenta su energía pero tambien aumenta su masa, aunque sea en una cantidad realmente pequeña. A nivel microscópico, cuando calientas un gas, aumenta la velocidad de las moléculas. Pero la masa de una molécula, en relatividad, depende de su velocidad, por lo cual también aumenta su masa.

En una desintegración, sí se conserva el cuadrimomento, y sí se conserva la masa, es decir, la masa en movimiento, que es

$m = m_0 \gamma$

[lego]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Yo más bien diría que $E^2=m^2+p^2,\quad (c=1)$. Ciertamente masa y energía están relacionados.
Lo del gas, no hace falta que las partículas sean relativistas. Sigo sin verlo claro.

Lo de la desintegración... en una desintegración beta, por ejemplo, no se conserva la masa (Sí la energía total).
edito: no se conserva la masa en reposo, aunque la masa inercial creo que sí, tienes razón.

Resumiendo... no sé mucho de relatividad, pero:

Si alguien es capaz de deducir la conservación de la masa a partir de la conservacion de la Energía (para sistemas no relativistas), le invito a un cubata. Acepto la deducción relativista y haciendo el límite hacia sistemas no relativistas.
Especificando un poco más, me interesa en el caso de física de fluidos no relativistas, ni líquidos cuánticos, fluidos clásicos. (quién dijo que la clásica es fácil?)
En los libros veo que hay una ecuación para la conservación de la masa y otra para la energía... entonces no deberían ser la misma?

[Entro]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

A nivel clásico no hay ninguna simetría que de lugar a que la masa tenga que estar conservada. La masa no es una variable dinámica no es más que una constante de proporcionalidad entre magnitudes dinámicas.

El que la masa no sea una variable dinámica no quiere decir que no haya otros argumentos físicos tan buenos como los anteriores para estimar que la masa se conserva.

En un proceso clásico, no relativista, no hay creacción de partículas. El número de partículas está fijo. Cada partícula tiene una masa, y si su numero está fijo entonces su masa está fija.

Para llegar a la ecuación de continuidad esa de los fluidos clásicos hay que exigir desde fuera que no haya creacción o destrucción de partículas. Es una imposición física previa basada en el razonamiento anterior:

Así que en cierto sentido la pregunta carece de sentido, estamos preguntandonos algo donde no aplica la respuesta que queremos encontrar.

[carroza]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Si alguien es capaz de deducir la conservación de la masa a partir de la conservacion de la Energía (para sistemas no relativistas), le invito a un cubata. Acepto la deducción relativista y haciendo el límite hacia sistemas no relativistas.
Especificando un poco más, me interesa en el caso de física de fluidos no relativistas, ni líquidos cuánticos, fluidos clásicos. (quién dijo que la clásica es fácil?)
En los libros veo que hay una ecuación para la conservación de la masa y otra para la energía... entonces no deberían ser la misma?

Vamos a por el cubata:

En fisica clasica, la masa se conserva, y no hay ninguna razon profunda para que eso sea así. Es un hecho empírico. Además, la masa es independiente de la velocidad, la temperatura, la altura y cualquier otra circunstancia.

En física clásica, la energía se conserva, y hay una razón para ello, basada en la invariancia frente a traslaciones temporales de las leyes de la física.

En física clásica, el momento es igual al producto de la masa por la velocidad. Las transformaciones de Galileo hacen que la conservación del momento sólo pueda cumplirse si p=m v, con m constante y conservada.

---------------------------------------------------------------------------------

En fisica relativista, el momento es también la masa por la velocidad. Pero, para que las transformaciones de Lorentz sean compatibles con la conservación del momento, debe cumplirse que la masa dependa de la velocidad, a traves de la expresión
$m = m_0 \gamma$. $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$

En física relativista, se deduce que la energía cinética vale $K = m_0 c^2(\gamma -1)$, que puedes comprobar que en el límite de velocidades pequeñas te da $K = 1/2 m_0 v^2$.

Entonces va Einstein y dice: vamos a considerar que $E_0 = m_0 c^2$ es la suma de todas las energías, aparte de la cinética, que tiene cualquier objeto. Esto incluye la energía térmica, eléctrica, potencial, elástica, química, nuclear, etc.

Por tanto, $E=K + E_0 = m_0 c^2 \gamma = m c^2$

Por tanto, cosas por completo distintas, como masa y energía, en física clásica, pasan a ser lo mismo en relatividad. La conservación de la masa, que era algo arbitrario en física clásica, pasa a sor una manifestación de la conservación de la energía, y a ser explicada por la invariancia frente a desplazamientos temporales de la naturaleza.

[lego]

Re: Sobre las leyes de conservación y las simetrías...

Perfecto!
Gracias Entro y carroza por las explicaciones. Me han convencido.
Respecto a lo del cubata: yo he dicho que invitaba a un cubata si alguien deducía la ecuacion de la conservación de la masa a partir de la conservación de la energía... pero me habéis argumentado que clásicamente no se puede.
La nueva pregunta es: y no se puede deducir desde la relatividad, haciendo el límite a bajas velocidades?
Igualmente me han gustado mucho estas respuestas y creo que os merecéis un cubata.
Sois de Barcelona? Pues quedamos y os invito.