2o ciclo ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

[Everett IV]

¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos conociendo sus diagramas de Feynman?

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Hola

Cada vertice del diagrama de Feynmann corresponde a un término de la densidad lagrangiana de interacción. Si tienes un vértice en el que se absorbe un electrón y se crea un fotón y un electrón, es que en la densidad lagrangiana de interacción hay un término que se puede escribir como el producto campo que aniquila electrones, por un campo que crea fotones, por un campo que crea electrones.

Saludos

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

No entiendo a qué te refieres con campo que crea o aniquila partículas, en principio cada partícula tiene un campo asociado según sus características, espin, carga, y otros números cuánticos, pero no entiendo eso de un campo que crea/aniquila

Saludos

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

En TCC los campos asociados a las particulas son objetos cuánticos. Eso quiere decir que no conmutan entre sí.

Una forma conveniente de describir estos campos que no conmutan es desarrollarlos en función de operadores que crean o aniquilan partículas. Es lo que se llama "segunda cuantización".

Esto es análogo a lo que ocurre en el oscilador armónico. Podriamos hablar de posición y momento, como operadores que no conmutan, y de las funciones de onda de oscilador armónico, y resolver las ecuaciones cuánticas de un oscilador en un campo externo a pelo.
Pero resulta más simple y más conveniente introducir operadores que crean y aniquilan cuantos de oscilador, y describir la evolución del oscilador viendo como varían estos cuantos de oscilador.

Saludos

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

En TCC los campos asociados a las particulas son objetos cuánticos. Eso quiere decir que no conmutan entre sí.

Una forma conveniente de describir estos campos que no conmutan es desarrollarlos en función de operadores que crean o aniquilan partículas. Es lo que se llama "segunda cuantización".


Saludos

Sí, pero dado un campo de una particula $\psi_i$, el i representa todos los índices (sean índices sencillo o n-plas) de las componentes que pueda tener el campo , ¿cómo defino el operador creación o destrucción ahí? Y en muchas ocasiones, aparecen productos de distintos campos (que serán terminos de interacción), pero tambien derivadas, derivadas covariantes, y multiplicaciones por matrices gamma y otros elementos, hermíticos conjugados, etc.... ¿Cómo sabemos cuándo poner esos items o no ponerlos)

Saludos

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Sí, pero dado un campo de una particula $\psi_i$, el i representa todos los índices (sean índices sencillo o n-plas) de las componentes que pueda tener el campo , ¿cómo defino el operador creación o destrucción ahí? Y en muchas ocasiones, aparecen productos de distintos campos (que serán terminos de interacción), pero tambien derivadas, derivadas covariantes, y multiplicaciones por matrices gamma y otros elementos, hermíticos conjugados, etc.... ¿Cómo sabemos cuándo poner esos items o no ponerlos)

Saludos

Hola.

Esencialmente, en TCC se hace un desarrollo de Fourier de los campos, y se comprueba que los coeficientes de ese desarrollo, que son cosas que no conmutan, cumplen las relaciones de conmutación (o anticonmutación) de los operadores de creación y aniquilación de bosonoes (fermiones).

La TCC permite muchos posibles lagrangianos que son invariantes de Lorentz. En general, uno podría combinar campos, matrices gamma y derivadas, de manera que la unica restricción es que cada termino de la densidad lagrangiana sea invariante Lorentz. Por otro lado, si tienes además la conservación de algún numero cuántico (por ejemplo la carga eléctrica), tendrias que imponer, a mano, que solamente los términos de la densidad lagrangiana que conserven ese numero (creando y aniquilando el mismo numero de particulas con carga), son aceptables.

El paso siguiente, para reducir la ambiguedad de las TCC, es considerar solamente las TCC que surgen a partir de una simetría. Estas son las teorías gauge locales. Esto te restringe drásticamente el número de términos posibles en la densidad lagrangiana, te hace que los número cuánticos conservados surjan naturalmente de la teoría, y te exigen que las partículas con espín 1 no tengan masa.

Saludos

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Sí, pero eso no explica por qué aparecen derivadas de los campos en los lagrangianos, ¿o sí?

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Un lagrangiano, sea de campos o de partículas clásicas, siempre debe tener derivadas de las magnitudes dinamicas (los campos, o las posiciones de las particulas). Si no hubiera derivadas, no habria forma de plantear las
ecuaciones de Euler Lagrange.

En las teorias gauge locales, las derivadas aparecen en los lagrangianos sin interaccion. Las interacciones aparecen sustituyendo las derivadas normales por derivadas generalizadas que incluyen los campos gauge.

En TCC en general, podría meter todas las derivadas que quisieras, con tal que la densidad lagrangiana fuera invariante lorentz.

Saludos

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Un lagrangiano, sea de campos o de partículas clásicas, siempre debe tener derivadas de las magnitudes dinamicas (los campos, o las posiciones de las particulas). Si no hubiera derivadas, no habria forma de plantear las
ecuaciones de Euler Lagrange.

En las teorias gauge locales, las derivadas aparecen en los lagrangianos sin interaccion. Las interacciones aparecen sustituyendo las derivadas normales por derivadas generalizadas que incluyen los campos gauge.



Saludos

¿Y cuál es el sistema por el cual sabemos de qué manera debe aparecer la derivada en el campo libre, porque hay muchas posibilidades de introducirla, basta ver los diversos lagrangianos de las ecuaciones. Y en los campos gauge, pues lo mismo.

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

En una densidad lagrangiana sin interaccion, la derivada solo puede aparecer de una manera. Para campos escalares, aparece
${\cal L} = \partial^\mu \Phi^* \partial_\mu \Phi - m^2 \Phi^* \Phi$
Para campos espinoriales y vectoriales tienen otras formas, tambien univocamente determinadas.

Esto tiene que ser así para que la particula asociada al campo cumpla $E^2 - p^2 = m^2$.

Las interacciones, en TCC, puedes meter arbitrariamente todas las derivadas que creas oportunas, y que sean necesarias para reproducir los datos, siempre que el lagrangiano sea invariante de Lorentz.

En las teorias gauge, basicamente no añades derivadas. Cambias tus derivadas $\partial_\mu$ por derivadas mas campos $\partial_\mu + i g A_\mu$, y de ahi surgen todas las interacciones.

Un saludo.

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

¿Y en el término de campos gauge libres, cómo se sabe la forma que tienen dichos términos en el lagrangiano

[carroza]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Hola

De la unica manera que pueden aparecer para que sean invariantes de lorentz e invariantes grente a transformaciones Gauge:

${\cal L}_A = F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$

Donde $F_{\mu \nu}$ son esencialmente las derivadas de los campos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Fijate que nunca pueden términos de tipo $m_A^2 A^\mu A_\mu$. Estos términos, aunque son invariantes lorentz, no son invariantes gauge. Por eso los bosones gauge (el fotón y los gluones entre ellos) no tienen masa.

Saludos

[Everett IV]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Un lagrangiano, sea de campos o de partículas clásicas, siempre debe tener derivadas de las magnitudes dinamicas (los campos, o las posiciones de las particulas). Si no hubiera derivadas, no habria forma de plantear las
ecuaciones de Euler Lagrange.

En las teorias gauge locales, las derivadas aparecen en los lagrangianos sin interaccion. Las interacciones aparecen sustituyendo las derivadas normales por derivadas generalizadas que incluyen los campos gauge.

En TCC en general, podría meter todas las derivadas que quisieras, con tal que la densidad lagrangiana fuera invariante lorentz.

Saludos

Pero las derivadas, si son de primer orden en el tiempo, también han de serlo en las coordenadas, por la invarianza Lorentz, ¿no?

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

Hola carroza, gracias por tus explicaciones semidivulgativas. Tenía algunas dudas que me suscita lo poco que sé técnicamente y divulgativamente:

Fijate que nunca pueden términos de tipo $m_A^2 A^\mu A_\mu$. Estos términos, aunque son invariantes lorentz, no son invariantes gauge. Por eso los bosones gauge (el fotón y los gluones entre ellos) no tienen masa.

Saludos

Entonces, a priori, que cumplan la invarianza de gauge, implica que no tengan masa. Pero se observó que los bosones W y Z de espín 1 tienen masa, que fue lo que motivó a Higgs y sus compañeros a inventar el mecanismo del campo de Higgs, ¿es así?, ¿entonces la idea era crear un mecanismo por el cual algunos bosones gauge podrían tener masa?

Entonces, todos los lagrangianos de los bosones gauge entonces son proporcionales a una contracción de tal tensor de segundo orden formado por términos de derivadas de Lie de los campos(si no recuerdo mal creo que se llamaba así a: $F^{\nu \mu}=A^{[\nu;\mu]}=A^{[\nu,\mu]}$). Y así se da la invarianza de lorentz y gauge, no permitiendo ningún término dependiente de la masa como indicas¿?

No he podido mirar todavía bien el teorema de Nöether, pero me ha quedado clara la conclusión, por cada simetría hay una ley de conservación, entonces que ley de conservación implica la invarianza gauge¿?

Saludos

- - - Actualizado - - -

Me corrijo, acabo de entenderlo, libremente las partículas de gauge no tienen masa ya que el lagrangiano que describe el campo libre no contiene términos con la masa de la partícula, tienen masa sólo al interactuar con un campo, en concreto solamente con el campo de Higgs. ¿?

- - - Actualizado - - -

Añado otras dos preguntas, que el campo de higgs propuesto tenga que poder y haya podido explicar la masa de los bosones gauge W y Z, implica que se debería buscar que ese campo también explique la masa de las demás partículas¿?

Y en wikipedia venía que el gravitón sería un hipotético bosón gauge, entonces se buscaría una lagrangiana compatible con la densidad lagrangiana existente y que fuese proporcional a una contracción del tensor de tercer orden formado por la derivada de lie del tensor métrico, en otras palabras:

$$L_{grav}=k F^{\nu \mu \lambda}F_{\nu \mu \lambda} \;\;\;\; F^{\nu \mu \lambda}=g^{[\nu \mu;\lambda]}=g^{[\nu \mu,\lambda]}$$

¿?

[justinux]

Re: ¿Cómo se puede deducir la fórmula de un lagrangiano en teoría cuántica de campos a través de los diagramas de Feynman

[FONT=Verdana]Solo una pequeña acotación: el propagador de una partícula, si lo consideramos como diagrama de Feynman, nos da justo el inverso del operador difrrencial que acompaña a la parte cinética (o libre) de la partícula. Este puede incluir la masa o no. Además si en un vértice existe un factor proporcional a alguna potencia del momento, este corresponde a un vértice con derivadas.[/FONT]
[FONT=Verdana] No se si es pertinente mencionar que está la restricción addicional de renormalizabilidad, es decir el operador que represente el diagrama no puede tener dimensión mayor a 4 (en 3+1), de lo contrario podría tratarse de un diagrama compuesto (como por ejemplo el vértice de la teoría de Fermi de los netrinos, que es de dimensión 6 (4 fermiones), pero en realidad es un diagrama efectivo con un bosón vectorial intermediario)[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]Y finalmente, la exppresión o relación entre los operadores de creación y aniquilación y los campos de partículas está dictada por el principio de microcausalidad y el principio de clustering, a parte de las simetrías mencionadas arriba.[/FONT]