Divulgación Relatividad de la ecuación K-G

[Niaar]

Hola a todos,

Tengo una duda y es cómo se demostraría que la ecuación de Klein-Gordon, es una ecuación de ondas relativista? A parte ser deducida de la definición relativista de energía: ${E}^{2}={p}^{2}{c}^{2}+{m}^{2}{c}^{4}$.

Muchas gracias

[pod]

Re: Relatividad de la ecuación K-G

Hola a todos,

Tengo una duda y es cómo se demostraría que la ecuación de Klein-Gordon, es una ecuación de ondas relativista? A parte ser deducida de la definición relativista de energía: ${E}^{2}={p}^{2}{c}^{2}+{m}^{2}{c}^{4}$.

Muchas gracias

A bote pronto, lo primero que se me ocurre es lo siguiente: si me dan una ecuación y no sé nada de ella (o, como tu propones, decido ignorar lo que sé de ella), y quiero comprobar si es relativista, lo primero que haría seria ver si es invariante ante las transformaciones de Lorentz.

[Niaar]

Re: Relatividad de la ecuación K-G

Antes que nada, muchas gracias por responder pod,

Se me había ocurrido ver si es invariante ante las transformaciones de Lorentz, pero no sé muy bien como hacerlo, ¿alguna pista?
Tenemos la ecuación de Klein-Gordon con la forma:

$\left(\frac{1}{{c}^{2}}\frac{{\partial }^{2 }}{\partial{t}^{2}}-{\nabla}^{2}+\frac{{m}^{2}+{c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \right)\phi=0$

Y las transformaciones de Lorentz:

$t'=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x \right)$
$x'=\gamma\left(x-vt\right)$

Hasta aquí bien, y para el sistema S', la ecuación quedaría (supongo):

$\left(\frac{1}{{c}^{2}}\frac{{\partial }^{2 }}{\partial{t}^{'2}}-{\nabla'}^{2}+\frac{{m}^{2}+{c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \right)\phi(x',t')=0$

Y ahora, ¿Se sustituiría aquí en $x$ y $t$, por $x'$ y $t'$? ¿O en la solución de la ecuación (ecuación de onda plana)? ¿Y cómo?

Muchas gracias de nuevo

Edito:
He supuesto aquí la unidimensionalidad, y por lo tanto ${\nabla}^{2}=\frac{{\partial}^{ 2}}{\partial{x}^{2}}$ aunque supongo que al trabajar con las transformaciones daría igual ya que $y=y'$ y $z= z'$

[pod]

Re: Relatividad de la ecuación K-G

Sólo necesitas ver cómo se transforman las derivadas bajo Lorentz. En cálculo tensorial es relativamente sencillo, por lo menos de forma informal, si una variable normal tiene el índice arriba ($x^\mu$), entonces la derivada abajo tiene el índice abajo, $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$. Eso quiere decir que las derivadas se transforman según la transformación inversa, que básicamente consiste en substituir v por -v,

$$\begin{aligned}<br /> \partial_t' & = \gamma \Big( \partial_t + v \partial_x \Big) , \\<br /> \partial_x' & = \gamma \Big( \partial_x + \frac{v}{c^2} \partial_t \Big) .<br /> \end{aligned}$$

[Niaar]

Re: Relatividad de la ecuación K-G

Gracias de nuevo por responder, y por la aclaración.
Veré si llego a algo lógico.

Gracias