Inclusión de matrices gamma en ecuación de Dirac

[leo_ro]

Dada la siguiente ecuación de la relatividad general

${E}^{2} = {p}^{2}{c}^{2} + {m}^{2}{c}^{4}$

Sabiendo que ${P}^{u} = ( \frac{E}{c} , - P)$

Entonces

${g}_{uv}{P}^{u}{P}^{v} {c}^{2} = {m}^{2}{c}^{4}$

Ahora mi pregunta es ¿por qué debo acá, con esa notación, incluir el tensor gamma?.

¿Por qué no puedo hacer $({g}_{uv}{P}^{u}{P}^{v} {c}^{2} - {m}^{2}{c}^{4}) \Phi = 0$ si ${g}_{uv}{P}^{u}{P}^{v}$ es un escalar también?

¿Es por qué antes tengo que incluir al 4-momento como operador es decir $ih {\partial}_{u}$?

No puedo hacer $({g}_{uv} i h {\partial}^{u}{\partial}^{v} {c}^{2} - {m}^{2}{c}^{4}) \Phi = 0$ ?

Mi pregunta va orientada a la utilización de 4-vectores, porque si hago el desarrollo de esta forma:

$E = \sqrt { {p}^{2}{c}^{2} + {m}^{2}{c}^{4} }$

No puedo hacer

$ih {\partial}_{t} \Phi= \sqrt { ih \nabla {c}^{2} + {m}^{2}{c}^{4} } \Phi$

Porque no tiene sentido, entonces tengo que hacer:

${p}^{2}{c}^{2} + {m}^{2}{c}^{4} = {( A {p}^{2}{c}^{2} + B {m}^{2}{c}^{4} )}^{2}<br />$

Y eso solo es es posible si AB = 0 y A+B = I (1)

$E = A {p}^{2}{c}^{2} + B {m}^{2}{c}^{4}$

Y luego sabemos que lo unico que cumple (1) son matrices 4x4, etc... Pero yo quiero comenzar el planteo con los 4-vectores.

[IvanZ]

Aunque el español no es mi idioma nativa, voy a tratar responder a las preguntas.

Podemos hacer $(g_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}-m^2)\Psi=0$ (c=1) si $\Psi$ es escalar.
Pero Dirac escribi su ecuacion para bispinor. Si $\Psi$ es bispinor y $\hat{P}$ es una operación de inversión, tenemos
$\hat{P}\Psi\rightarrow i\gamma^0\Psi$. Cualquier ecuacion no debe cambiar después de la inversión.

$\hat{P}P^{\mu}=-P^{\mu}$
$\hat{P}(g_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}-m^2)\Psi=(g_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}-m^2)\gamma_0\Psi\ne(g_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}-m^2)\Psi$

[leo_ro]

Muchas gracias por la respuesta.

Es decir, entonces Dirac planteó primera que la solución debe cumplir esto:

$\hat{P} \Phi = i {\gamma} \Phi$

y luego planteó la ecuación ¿Es correcto? Pero esto me genera dudas, ¿ya de primeras estaba planteando que la solución de $\Phi$ tendría 4 componentes? o mejor dicho ¿Por que estaba buscando o trabajando sobre inversiones? Es decir buscando de que halla una inversión espacial.

[IvanZ]

De hecho, Dirac quiso escribir una ecuación lineal para $\Psi$. Dirac supo que
$i\hbar\partial_t\Psi=\sqrt{i\hbar\nabla c^2+m^2c^4}\Psi$ (1)

Sugirió que si el lado izquierdo tiene una derivada de primer orden, entonces el segundo lado también se puede escribir en términos de una derivada de primer orden. Estaba buscando una expresión que satisficiera la invariancia de Lorentz y inversiones. Y si, por supuesto, ya de primeras estaba planteando que la solución de tendría 4 componentes. Porque? Vamos a buscar un solucion de (1) en una forma comun
$i\hbar\partial_t\Psi=\left(c\sum\limits_{i=1}^3\alpha_iP_i+\alpha_0mc^2\right)\Psi$
Es decir, tenemos
$\left(c\sum\limits_{i=1}^3\alpha_iP_i+\alpha_0mc^2\right)^2= \sum\limits_{i=1}^3(P_i c)^2+m^2c^4$
obtenemos para coeficientes $\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0$. Esto significa que $\hat{\Psi}$ debe anticonmutar y pol eso $\Psi$ es espinor.

[eng, because i don't know how to write it correctly in spanish]. But in fact spinor representation of the Lorentz SO(1,3) group (unlike usual SO(3)) has 2 different representations: itself and complex conjugated. And after the invertion usual spinor representation become conjugated one(with some constant) and vise versa for conjugated representation. So, we need to have 4 components, tambien conocido como bispinor. Dirac just wrote $\Psi$=(2 components of spinor, 2 components of spinor from compex conjugated space) and the invariance of his equation under inversion transformation was saved.