Matrices gamma y bases

[Julián]

En la ecuación de dirac tenemos diferentes bases, estas son:

Base quiral:

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix} \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, \quad i = 1, 2, 3 \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}$

base de Dirac (base de masas):

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix} \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, \quad i = 1, 2, 3 \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}$

Por lo que se observa solo se diferencian estas bases con respecto $\gamma^0 = \gamma^t$ ¿Por qué hay más de una base? Tenía entendido que estas bases son análogas en el sentido de que encapsulan la simetría y estructura del espacio-tiempo relativista cuando se trata de fermiones. Es decir, así como (ct, x, y, z) son para bosones, las matrices gamma son para los fermiones. Si existe esa analogía entre la base del espacio-tiempo (ct, x, y, z) ¿por que en esta hay solo una base y en las matrices gamma no?

[Weip]

Hola Julián,

El conjunto de matrices gamma genera el álgebra de Dirac, esto es, deben ser matrices que cumplan: $\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2\eta^{\mu\nu}$. En esta expresión, $\{\}$ es el anticonmutador y $\eta^{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski. De la misma manera que en un espacio vectorial podemos usar una base u otra por conveniencia, a las matrices gamma les pasa lo mismo. Entonces mientras cumplan la relación anterior y seamos consistentes con la elección cuando razonemos, todo perfecto.

Sobre la analogía que comentas entre las coordenadas $(ct, x, y, z)$ y las matrices gamma, viene de su relación con la métrica que hemos escrito $\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2\eta^{\mu\nu}$. De alguna manera, podrías pensar las matrices gamma como una especie de "coordenadas no conmutativas", o algo así; aunque a mí personalmente no me gustan demasiado estas analogías porque confunden más que otra cosa. En todo caso, de coordenadas $(ct, x, y, z)$ tampoco hay una única elección. En física siempre tomamos la típica métrica de Minkowski diagonal, pero haciendo un cambio de base / coordenadas podemos expresar la métrica de maneras poco convencionales, como una métrica no diagonal por ejemplo. Por tanto no solo hay una base, pasa que tienes en mente la típica $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ pero en 4D, según te he entendido.

Espero haber ayudado.

[Julián]

Exelente, muchas gracias Weip.

De la misma manera que podemos elegir diferentes bases para los tensores de rango 1 como por ejemplo $(t, r, \theta, \phi)$ y $(ct, x, y, z)$ , de la misma manera podemos elegir las bases quirales y de masas para tensores de rango 1/2.

Tengo 2 consultas más, en caso de ser posible.

El conjunto de matrices gamma genera el álgebra de Dirac, esto es, deben ser matrices que cumplan: . En esta expresión, es el anticonmutador y es la métrica de Minkowski. De la misma manera que en un espacio vectorial podemos usar una base u otra por conveniencia, a las matrices gamma les pasa lo mismo. Entonces mientras cumplan la relación anterior y seamos consistentes con la elección cuando razonemos, todo perfecto.

No existe un isomorfismo entre los grupos SO(3,1) y Spin(3,1), ¿verdad? Entiendo que esto se debe a que no hay un isomorfismo en las rotaciones. Sin embargo, ¿hay un isomorfismo si consideramos únicamente el "boost"? Me parece curioso, porque mientras los bosones pueden describirse dentro de SO(3,1), los fermiones se relacionan con Spin(3,1). A pesar de eso, todas estas partículas coexisten en el espacio-tiempo. ¿Es Spin(3,1) un caso particular de SO(3,1)?

[Weip]

No existe un isomorfismo entre los grupos SO(3,1) y Spin(3,1), ¿verdad? Entiendo que esto se debe a que no hay un isomorfismo en las rotaciones. Sin embargo, ¿hay un isomorfismo si consideramos únicamente el "boost"? Me parece curioso, porque mientras los bosones pueden describirse dentro de SO(3,1), los fermiones se relacionan con Spin(3,1). A pesar de eso, todas estas partículas coexisten en el espacio-tiempo. ¿Es Spin(3,1) un caso particular de SO(3,1)?

Efectivamente no existe un isomorfismo, pero la relación entre los dos grupos es crucial para poder aplicar transformaciones de Lorentz sobre espinores. La cuestión es que donde sí hay isomorfismo es entre $\text{Spin}(3,1)$ y $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ (matrices complejas de orden 2 con determinante 1). Por otro lado, $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ es el doble recubrimiento del grupo de Lorentz propio $\text{SO}^+(3,1)$ (el subgrupo que contiene la identidad), esto es, no tenemos un isomorfismo, pero sí un morfismo de grupos exhaustivo $\text{SL}(2,\mathbb{C})\to\text{SO}^+(3,1)$. De esta manera a cada transformación de Lorentz se le asigna dos elementos de $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ que pueden actuar directamente sobre los espinores. Sobre los boosts, no hay isomorfismo tampoco: en tal caso $\text{Spin}(3,1)\simeq\text{SL}(2,\mathbb{C})$ sería subgrupo de $\text{SO}(3,1)$, pero no lo es (de hecho hemos encontrado un morfismo de grupos exhaustivo, en vez de inyectivo).