Secundaria Velocidad de la onda asociada a partículas con masa

[teclado]

Hola, he estado pensando en la asociación que hacía de Broglie entre la frecuencia y longitud de onda de las ondas asociadas a partículas con su energía y momento:

$\dst E=h\nu$
$\dst p=\frac{h}{\lambda}$

Pero luego pensé en la relación entre la energía y el momento de una partícula relativista con masa:

$\dst E^2=p^2c^2+m^2c^4$

El caso es que si admito $v=\nu\lambda$, como ocurre, que yo sepa, para todas las ondas, puedo llegar operando a

$\dst m^2c^4=\frac{h^2}{\lambda^2}\left(v^2-c^2\right)$

Como la cantidad de la izquierda es un cuadrado, es positiva y $v^2>c^2$: La velocidad a la que se propaga la onda que según la mecánica cuántica (o al menos según de Broglie) está asociada a una partícula con masa siempre es mayor que la de la luz.

¿Dónde estoy cometiendo el error? Este es un resultado que no me suena ni de oídas. ¿Tan distinta es la idea de onda que se tiene en teoría cuántica de campos que este asunto queda resuelto?

[Lorentz]

Re: Velocidad de la onda asociada a partículas con masa

Buenas, mi respuesta solamente es para proporcionar mi granito de arena, aunque no estoy seguro de si valdrá como respuesta completa.

El caso es que si admito $v=\nu \lambda$, como ocurre, que yo sepa, para todas las ondas, puedo llegar operando a

Creo que el problema es que esa relación solamente la puedes aplicar en Mecánica Clásica. En Mecánica Cuántica, las trayectorias de las partículas no están bien definidas, con lo cuál no tiene sentido hablar de la velocidad del mismo modo que se haría en otros ámbitos.

De hecho como puede verse en este enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Veloci..._cu.C3.A1ntica

La velocidad pasaría a definirse del siguiente modo:

$v=\frac{i \hbar}{2m}\left( \frac{\nabla \Phi*}{\Phi*} - \frac{\nabla \Phi}{\Phi} \right)$

Aunque eso sí, esta expresión es en Mecánica Cuántica no relativista, pero creo que la idea va por ahí.

Saludos

[teclado]

Re: Velocidad de la onda asociada a partículas con masa

Me gustaría ver de dónde sale esa fórmula. Que yo sepa la velocidad de la partícula (no de la onda) sería $\dst v=\frac{p}{m}$ (me parece que la fórmula que tú dices es para un caso más general, ya que el operador momento lineal es $\vec{P}=-i\hbar\vec{\nabla}$).

De todas formas mi problema no es con esa velocidad, si no con la velocidad de propagación de la onda,ya que si es mayor que la de la luz se podría transmitir información más rápido que la luz ¿o no?

[Lorentz]

Re: Velocidad de la onda asociada a partículas con masa

Si no recuerdo mal, se puede ver que la densidad de probabilidad:

$J=-\frac{i \hbar}{2m}\left( \Phi^* \nabla \Phi-\Phi \nabla \Phi^*\right)$

Es un flujo para partículas libres:

$J=\frac{\hbar k}{m}\hspace{0,05 cm}\Phi^* \Phi=v \hspace{0,05 cm}\Phi^* \Phi$

(El único problema es que esto lo tengo yo apuntado para un caso concreto de función de onda de una gaussiana, por lo cuál creo que sólo vale la demostración que tengo para partículas libres. No sé hasta qué punto es general, pero parece serlo bastante si se toma como definición.)

Despejando la $v$ de esta expresión se obtiene la que mencioné antes.

Respecto a esto:

De todas formas mi problema no es con esa velocidad, si no con la velocidad de propagación de la onda,ya que si es mayor que la de la luz se podría transmitir información más rápido que la luz ¿o no?

Tienes que tener en cuenta que una cosa es la velocidad de propagación de la onda y otra la velocidad a la que se propaga la energía/información. Esta última siempre se propaga a la velocidad de grupo, que siempre es menor o igual que la velocidad de la luz.

PD:

Que yo sepa la velocidad de la partícula (no de la onda)

Hay una cosa aquí, que querría mencionar, las "partículas" en Mecánica Cuántica no son ni partículas clásicas ni ondas, en función del experimento que se esté realizando se muestran unas propiedades u otras, por eso la analogía para ciertas cosas no es válida. En su lugar hay que emplear la función de onda que sí proporciona la información de cómo se comportan.

En cualquier caso, si se puede emplear la fórmula que has dicho antes de $v=\lambda \nu$, que no estoy seguro, no importa si es mayor que $c$ pues es velocidad de propagación de la onda, no velocidad de grupo, que como he dicho antes es a la que se propaga la energía, y por tanto la partícula.