Divulgación ¿Qué es un espinor? ¿Por qué son necesarios en física?

[alexpglez]

Históricamente se introdujeron los espinores en física para reducir de orden la ecuación de Klein-Gordon, para llegar a la ecuación de Dirac. Pero el "querer" reducir el orden, o "predecir" el espín del electrón no justifican el usar los espinores.

Desde el punto de vista matemático, ¿qué son estos objetos, y para qué sirven? Divulgativamente, conozco que consiste en, dado un espacio vectorial, definir un álgebra para que el producto tensorial, interior y exterior coincidan de la siguiente manera: $a \otimes b =a b \;\;\; a \cdot b =\frac{1}{2}(ab+ba) \;\;\; a \wedge b=\frac{1}{2}(ab-ba)$. Esto generaliza el cálculo tensorial y exterior (aunque al muy alto precio de introducir una operación que dota al espacio vectorial de álgebra). Entiendo que interpretando al álgebra, como una álgebra que actúa sobre un cierto espacio, se obtiene el campo espinorial.

Por otro lado, en la mecánica cuántica convencional, la función de onda, no es más que una herramienta matemática sin vida propia para hacer probabilidad: tenemos las variables aleatorias (cuánticas) que forman una álgebra no conmutativa, y los estados, y viendo las variables aleatorias como operadores de un cierto espacio de Hilbert podemos definir estados a partir de vectores normalizados $w(A)=(\phi^*,A\phi)$. ¡No hay mención a la función de onda hasta el cálculo práctico de probabilidades!
Desde el punto de vista de la cuántica convencional, parece que tenemos que interpretar los espinores como vectores de un cierto espacio de Hilbert. Aparece la identidad de operadores $E^2-p^2=m^2$, con $E=i\frac{\partial}{\partial t}$, y $p=-i\frac{\partial}{\partial x}$, y con el truco de Dirac, podemos reducir el orden $\gamma_0 E-\gamma_1 p=mI$, que multiplicando por un vector del espacio de Hilbert, un espinor, obtenemos la ecuación de Dirac.
Si lo anterior es una equivalencia, entonces la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac tienen que dar los mismos resultados sobre los distintos estados y autovalores del problema. ¿Ocurre así?


Gracias, saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un espinor? ¿Por qué son necesarios en física?

Dado que nadie contestó, me intentaré contestar yo mismo. Creo que cometo un error: describir la partícula como un camino aleatorio siguiendo unas reglas de cierta probabilidad no conmutativa, hace una distinción muy fuerte del tiempo y el espacio, que no es nada aceptable en relatividad. Pues el enfoque de la mecánica cuántica convencional nos dice cuál es el valor de la media de la posición o del momento en un cualquier instante... y aquí ya estamos distinguiendo espacio y tiempo...

Además de este fallo, el álgebra de operadores de un espacio de Hilbert que cumpla las relaciones de incertidumbre no es unívoca, y esto creo que puede dar lugar a error.
Si interpretamos que $E^2-p^2=m^2$ en el enfoque probabilístico de la mecánica cuántica y usamos la representación usual: $E=i\partial_t$ y $p=\partial_x$ y $H=L^2[-\infty,+\infty]$. Como $p$ es autoadjunto, $E^2$ también lo es pero no quiere decir que $E$ lo sea. Se puede comprobar que $E$ no lo es en general.

Me di cuenta de esto resolviendo el problema de la partícula en una caja para la ecuación de Klein-Gordon:

$$\phi(0,t)=\phi(L,t)=0 \;\,\;\; (\partial_t^2-\partial_x^2+m^2)\phi(x,t)=0 \;\;\; H=L^2[0,L]$$

Obtenemos los autoestados de la energía:

$$\phi^{\pm}_n(x,t)=sin(p_n x)e^{-iE_n^{\pm}t} \;\;\;\; p_n=\frac{n\pi}{L} \;\; E_n^{\pm}=\pm \sqrt{p_n^2+m^2}$$

Aunque las familias $\{\phi^-_n\}$ y $\{\phi^+_n \}$ son ortogonales (por separado), no son ortogonales entre sí y $E$ no es autoadjunto.

Pero podemos considerar que actúan sobre $H=(L^2[0,L])^2$ y entonces ya si que $E$ puede ser autoadjunto. De hecho, la ecuación de Dirac nos dice justo esto, $E=\alpha_1 p + \alpha_0 m$, siendo las matrices hermíticas, luego $E$ es autoadjunto porque $p$ lo es. Me di cuenta al solucionar el problema de la caja con la ecuación de Dirac:

$$(i\gamma_0 \partial_t+i\gamma_1 \partial_x -m)\Psi=0 \;\;\; \Psi(0,t)=\Psi(L,t)=0$$

Con la representación:

$$\gamma_0=<br /> \begin{pmatrix} <br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & -1<br /> \end{pmatrix} <br /> \;\;\; <br /> \gamma_1=<br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Luego los autoestados de la energía son:

$$\Psi^{\pm}(x,t)=u^{\pm}_n sin(p_n x) e^{-iE^{\pm}_n t} \;\;\; p_n=\frac{n\pi}{L} \;\; E^{\pm}_n=\pm \sqrt{p_n^2+m^2} \;\; u^{\pm}=\begin{pmatrix} -p_n \\ E^{\pm}_n-m \end{pmatrix}$$

Y son todos ortogonales, lo que se tenía que cumplir.

Luego, saqué como conclusión que la ecuación de Klein-Gordon es incorrecta (en mecánica cuántica convencional) porque en ella la energía no es un operador autoadjunto