2o ciclo Cuantización teoría sin lagrangiano

[Weip]

Hola a todos. He visto por ahí una teoría sin lagrangiano y he leído que es fácil cuantizarla, pero al intentarlo me han surgido algunas dudas. La teoría tiene un campo clásico $\phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que obedece la ecuación $\partial_t \phi=\partial_x \phi$. Para cuantizar esta teoría he hecho lo mismo que con la ecuación de Klein-Gordon. Impongo las relaciones de conmutación:

$[\phi(x,t), \phi(y, t)]=[\pi(x,t), \pi(y, t)]=0$

$[\phi(x,t), \pi(y, t)]=i \delta(x-y)$

El operador campo queda:

$\phi(x, t)=\dst\int \dfrac{dp}{2 \pi}\dfrac{1}{\sqrt{2E_p}}\left( a_p e^{-i(Et-px)}+a_p^{\dag}e^{i(Et-px)}\right)$

La primera duda es ¿esto está bien? Al tener solo una dimensión espacial he cambiado los treses por unos así tal cual. La segunda duda es que ahora no sé muy bien si ya he acabado o no. Es decir, si la teoría no tiene lagrangiano entonces tampoco hay ningún hamiltoniano que calcular ¿no? También al no haber hamiltoniano ¿cómo puedo sacar información sobre la energía del vacío, por ejemplo? ¿Y sobre las propiedades que dependen del hamiltoniano en una teoría con lagrangiano? Tengo la sensación que en este tipo de teorías tienen menos propiedades por esta falta de lagrangiano y hamiltoniano pero no sé igual hay otras formas de calcular estas cosas y por eso os pregunto.

Gracias por adelantado.

[carroza]

Re: Cuantización teoría sin lagrangiano

Hola.

Para conocer el momento asociado al campo $\pi(x,t)$ necesitas conocer el lagrangiano, o mejor dicho, la densidad lagrangiana. De hecho, el momento conjugado a un campo se define como la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la derivada temporal del campo. https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_conjugado.

A la inversa, si conoces la expresión del momento $\pi(x,t)$ podrías inferir la expresión de la densidad lagrangiana, salvo constantes.

El caso que pones parece corresponder a una densidad lagrangiana de tipo armónico, como la que describe las vibraciones de una cuerda. Algo de tipo

${\cal L}(\phi, \dot \phi) = - k/2 \left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x}\right)^2 + \mu/2 \left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}\right)^2$

con lo que

$\pi(x,t) = \frac{\partial \cal L}{\partial \dot \phi} = \mu \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}$

[Weip]

Re: Cuantización teoría sin lagrangiano

Hola carroza, gracias por contestar.

Para conocer el momento asociado al campo $\pi(x,t)$ necesitas conocer el lagrangiano, o mejor dicho, la densidad lagrangiana. De hecho, el momento conjugado a un campo se define como la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la derivada temporal del campo. https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_conjugado.

A la inversa, si conoces la expresión del momento $\pi(x,t)$ podrías inferir la expresión de la densidad lagrangiana, salvo constantes.

Cierto, para obtener el momento debería tener una densidad lagrangiana pero el caso es que (supuestamente) dicha densidad no existe. Por si sirve, el ejemplo lo saqué de este link. El que la ecuación del campo $\partial_t \phi=\partial_x \phi$ no tenga densidad lagrangiana asociada lo justifica mediante el operador de Helmholtz pero he estado mirando cosas sobre este operador y sinceramente no me entero de nada. Pero bueno lo comento por si sirve de algo. En el mismo mensaje se dice que es fácil cuantizar esta teoría así que pensé que se haría mediante alguna pequeña modificación de la cuantización canónica de los campos escalares libres pero al escribirlo me topé con estas dificultades.

Pensé que igual teniendo el campo las relaciones de conmutación determinarían el momento pero no estaba seguro.

El caso que pones parece corresponder a una densidad lagrangiana de tipo armónico, como la que describe las vibraciones de una cuerda. Algo de tipo

${\cal L}(\phi, \dot \phi) = - k/2 \left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x}\right)^2 + \mu/2 \left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}\right)^2$

con lo que

$\pi(x,t) = \frac{\partial \cal L}{\partial \dot \phi} = \mu \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}$

Al principio intenté con una densidad lagrangiana parecida por si acaso pero no obtuve la ecuación correcta. Con la densidad que propones usando las ecuaciones de Euler-Lagrage llego a la ecuación de ondas $\mu\partial^2_{t}\phi=k\partial^2_{x}\phi$ en vez de llegar a la ecuación correcta que sería $\partial_t \phi=\partial_x \phi$. Densidades lagrangianas del estilo tampoco me llevan a esa ecuación así que igual es cierto esto de que no existe, no sé.

[carroza]

Re: Cuantización teoría sin lagrangiano

Al principio intenté con una densidad lagrangiana parecida por si acaso pero no obtuve la ecuación correcta. Con la densidad que propones usando las ecuaciones de Euler-Lagrage llego a la ecuación de ondas $\mu\partial^2_{t}\phi=k\partial^2_{x}\phi$ en vez de llegar a la ecuación correcta que sería $\partial_t \phi=\partial_x \phi$. Densidades lagrangianas del estilo tampoco me llevan a esa ecuación así que igual es cierto esto de que no existe, no sé.

Hola. Fijate que la solución general de $\partial_t \phi=\partial_x \phi$, que sería $\phi(x,t) = F(x+t)$, con $F(z)$ como una función arbitraria, también es solución de $\partial^2_{t}\phi=\partial^2_{x}\phi$. Por supuesto, la ecuación diferencial de segundo orden también tiene otras soluciones, como sería $\phi(x,t) = G(x-t)$, con $G(z)$ como otra función arbitraria. Así que podríamos decir que la densidad lagrangiana de tipo armónico produce, entre otras, soluciones a las ecuaciones del campo que cumplen $\partial_t \phi=\partial_x \phi$.

A efectos de cuantización canónica, podrías buscar el momento del campo $\pi(x,t)$ como el operador que cumple las relaciones de conmutación requeridas con $\phi(x,t)$. Si haces eso, encontrarás (creo) una expresión análoga al desarrollo de $\phi(x,t)$, pero donde aparece $i (a^+_p e^{-i(Et -px)}- a_p e^{i(Et-px)})$ en la integral. Pero eso es lo que obtienes exactamente partiendo del lagrangiano armónico.

Saludos

[Weip]

Re: Cuantización teoría sin lagrangiano

Hola. Fijate que la solución general de $\partial_t \phi=\partial_x \phi$, que sería $\phi(x,t) = F(x+t)$, con $F(z)$ como una función arbitraria, también es solución de $\partial^2_{t}\phi=\partial^2_{x}\phi$. Por supuesto, la ecuación diferencial de segundo orden también tiene otras soluciones, como sería $\phi(x,t) = G(x-t)$, con $G(z)$ como otra función arbitraria. Así que podríamos decir que la densidad lagrangiana de tipo armónico produce, entre otras, soluciones a las ecuaciones del campo que cumplen $\partial_t \phi=\partial_x \phi$.

A efectos de cuantización canónica, podrías buscar el momento del campo $\pi(x,t)$ como el operador que cumple las relaciones de conmutación requeridas con $\phi(x,t)$. Si haces eso, encontrarás (creo) una expresión análoga al desarrollo de $\phi(x,t)$, pero donde aparece $i (a^+_p e^{-i(Et -px)}- a_p e^{i(Et-px)})$ en la integral. Pero eso es lo que obtienes exactamente partiendo del lagrangiano armónico.

Saludos

Entiendo, como las soluciones de $\partial_t \phi=\partial_x \phi$ son también soluciones de $\partial^2_{t}\phi=\partial^2_{x}\phi$ entonces al cuantizar la teoría de densidad lagrangiana de tipo armónico también se cuantiza el campo que cumple $\partial_t \phi=\partial_x \phi$. Pues no hay más dudas, gracias de nuevo.

[alexpglez]

Re: Cuantización teoría sin lagrangiano

No sé nada sobre como sería la cuantización de una teoría sin lagrangiano (o hamiltoniano), pero es la única manera con la cuál se sabe actualmente cuantizar. La discusión hizo que recordara otro problema físico en donde no hay lagrangiano ni hamiltoniano: cuando se quiere describir una partícula sometida a rozamiento. La solución consiste en inventar un modelo matemático que admita una función hamiltoniana y de los efectos de rozamiento (parecidos) y a partir de ahí cuantizar.

Saludos