Otras carreras Duda con igualdad de la segunda cuantización

[alexpglez]

Estaba leyendo este artículo de wikipedia sobre la segunda cuantización. Y tenía problemas con la derivación de las fórmulas (que se ubican justo al final del artículo):

$$[\Psi(\vec r_1),\Psi^{\dagger}(\vec r_2)]=\delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

$$\{\Psi(\vec r_1),\Psi^{\dagger}(\vec r_2)\}=\delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

Para bosones y fermiones respectivamente.
PD: ¿No debería ser al revés: Para fermiones la primera fórmula y para bosones la segunda? ¿Está errónea la wikipedia?

Donde:

$$\Psi(r)=\sum_{\nu}\psi_{\nu}(r)a_{\nu}$$

Y por consiguiente:

$$\Psi^{\dagger}(r)=\sum_{\nu} \psi_{\nu}^*(r) a^{\dagger}_{\nu}$$

Con:

$$[a_{\nu},a^{\dagger}_{\mu}]=\delta_{\nu \mu}$$

$$\{a_{\nu},a^{\dagger}_{\mu}\}=\delta_{\nu \mu}$$

Para fermiones y bosones respectivamente.

Por ejemplo (y suponiendo que está erróneo la wikipedia como indiqué anteriormente):

$$[\Psi(\vec r_1),\Psi^{\dagger}(\vec r_2)]=\sum_{\nu ,\; \mu} \psi_{\nu}(\vec r_1)\psi_{\mu}^*(\vec r_2)[a_{\nu},a^{\dagger}_{\mu}]=\sum_{\nu} \psi_{\nu}(\vec r_1)\psi_{\nu}^*(\vec r_2)$$

No entiendo por qué la suma es $0$ cuando $\vec r_1 \not =\vec r_2$ y converge a infinito cuando $\vec r_1 =\vec r_2$.

Por otro lado he leído que (siendo $\pi(\vec r)$ el momento conjugado del campo):

$$[\Psi(\vec r_1),\pi(\vec r_2)]=i\hbar \delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

Luego ¿se cumple siempre que $\pi(\vec r)=i\hbar \Psi^\dagger(\vec r)+H(\vec r))$ donde $H$ conmuta con $\Psi$?

Y no sería en unos casos (para fermiones) la relación anterior y en otros (para bosones):

$$\{\Psi(\vec r_1),\pi(\vec r_2)\}=i\hbar \delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

¿?

Gracias, saludos

[Lorentz]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Hola Alex,

No, los fermiones tienen funciones de onda antisimétricas mientras que los bosones simétricas. De ese modo los bosones cumplirían la relación que tiene el conmutador mientras que los fermiones la del anticonmutador.
La delta de Dirac actúa "como una delta de Krocneker llevada al continuo" entiéndeme con la poca rigurosidad con la que lo digo.

Un saludo

[alexpglez]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Hola Alex,

No, los fermiones tienen funciones de onda antisimétricas mientras que los bosones simétricas. De ese modo los bosones cumplirían la relación que tiene el conmutador mientras que los fermiones la del anticonmutador.
La delta de Dirac actúa "como una delta de Krocneker llevada al continuo" entiéndeme con la poca rigurosidad con la que lo digo.

Un saludo

Muchas gracias. Entonces la wikipedia no está equivocada, me despistaba que se utilizasen los corchetes { } para los operadores de creación y destrucción de los bosones pero luego se utilizasen [ ] para los operadores campo de los bosones y lo mismo con los fermiones.

Me gustaría saber cómo se derivan las relaciones de conmutación entre los operadores campo, qué es la razón por la que abrí el hilo principalmente.

Gracias, saludos

[Lorentz]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

En todo momento se utilizan [ ] para los bosones y { } para los fermiones. En Wikipedia también, no cambia eso

Respecto a la derivación, se me ocurre de manera muy intuitiva aplicar las propiedades de conmutación de los operadores creación destrucción y pasarlo al continuo. Pero no sé realmente cómo se haría más formalmente.

Un saludo

[alexpglez]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

En todo momento se utilizan [ ] para los bosones y { } para los fermiones. En Wikipedia también, no cambia eso

Respecto a la derivación, se me ocurre de manera muy intuitiva aplicar las propiedades de conmutación de los operadores creación destrucción y pasarlo al continuo. Pero no sé realmente cómo se haría más formalmente.

Un saludo

¡Gracias otra vez! Leí mal el artículo de wikipedia confundiendo bosones con fermiones jejeje.

[Lorentz]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

No hay de qué, espero que alguien te pueda echar una mano con la deducción jajaja

Un saludo

[Weip]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Hola alexpglez.

Me gustaría saber cómo se derivan las relaciones de conmutación entre los operadores campo, qué es la razón por la que abrí el hilo principalmente.

Hasta donde sé, las relaciones de conmutación no se deducen, se imponen cuando quieres convertir el campo y el momento (clásicos) en operadores. Su forma viene de "imitar" las relaciones de conmutación en mecánica cuántica usual haciendo una analogía entre campo-operador posición y momento conjugado-operador momento. Como dice Lorentz podrías empezar imponiendo las relaciones de conmutación de los operadores de creación y destrucción y demostrar a partir de ahí las relaciones de conmutación para el campo y el momento pero esto es posible porque ambos grupos de relaciones son equivalentes. Al final tendrás que imponer unas relaciones de conmutación para llegar a las otras.

Edito: Parece que me confundí, tu preguntas por las relaciones de conmutación/anti conmutación para el campo y su traspuesto conjugado no para el campo y el momento. En ese caso yo diría que se hace calculando directamente. Lo único es que llega un punto en el que, como decía Lorentz, hay que aplicar las relaciones de conmutación de los operadores de creación y destrución. Es decir, yo creo que se hace como hacías en el PD de tu primer mensaje pero sin confundir lo que es de bosones y lo que es de fermiones.

[alexpglez]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Hola alexpglez.

Hasta donde sé, las relaciones de conmutación no se deducen, se imponen cuando quieres convertir el campo y el momento (clásicos) en operadores. Su forma viene de "imitar" las relaciones de conmutación en mecánica cuántica usual haciendo una analogía entre campo-operador posición y momento conjugado-operador momento. Como dice Lorentz podrías empezar imponiendo las relaciones de conmutación de los operadores de creación y destrucción y demostrar a partir de ahí las relaciones de conmutación para el campo y el momento pero esto es posible porque ambos grupos de relaciones son equivalentes. Al final tendrás que imponer unas relaciones de conmutación para llegar a las otras.

Hola Weip!
No sé si has leído el artículo de la wikipedia. Define el espacio de Fock, los operadores de creación y destrucción y el operador onda como lo escribí en mi primer mensaje, y después dice que este operador no conmuta (o no anticonmuta) con su adjunto.
Además, supongo que tiene que haber un puente entre esto y la cuantización canónica para campos que comentas.

[Weip]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Hola Weip!
No sé si has leído el artículo de la wikipedia. Define el espacio de Fock, los operadores de creación y destrucción y el operador onda como lo escribí en mi primer mensaje, y después dice que este operador no conmuta (o no anticonmuta) con su adjunto.
Además, supongo que tiene que haber un puente entre esto y la cuantización canónica para campos que comentas.

Parece que llegué tarde a editar mi anterior mensaje. Tienes toda la razón, me confundí y ahora lo estaba mirando. En definitiva yo creo que se hace calculando el conmutador directamente como has hecho tú en el primer mensaje con la salvedad de que los índices, $\nu$ y $\mu$ deben ser iguales porque si no el conmutador de los operadores de creación y destrucción se anula. El sumatorio del final es una delta de Dirac y así acaba la prueba. De forma análoga sale la relación de anticonmutación.

[alexpglez]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Parece que llegué tarde a editar mi mensaje. Tienes toda la razón, me confundí y ahora lo estaba mirando. En definitiva yo creo que se hace calculando el conmutador directamente como has hehco tú en el primer mensaje. El sumatorio del final es una delta de Dirac y así acaba la prueba.

Mi pregunta es esa, ¿por qué es una delta de Dirac xD?

En ambos casos habría que ver que:

$$\sum_{\nu} \psi_{\nu}(\vec r_1)\psi_{\nu}(\vec r_2)^*=\delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

Y supongo que cuando se escribe esto """"""significa"""""" que la serie da 0 si $\vec r_1 \not =\vec r_2$ y converge a infinito si $\vec r_1=\vec r_2$.

[Weip]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Mi pregunta es esa, ¿por qué es una delta de Dirac xD?

En ambos casos habría que ver que:

$$\sum_{\nu} \psi_{\nu}(\vec r_1)\psi_{\nu}(\vec r_2)^*=\delta(\vec r_1-\vec r_2)$$

Y supongo que cuando se escribe esto """"""significa"""""" que la serie da 0 si $\vec r_1 \not =\vec r_2$ y converge a infinito si $\vec r_1=\vec r_2$.

Bueno, como todo este tipo de propiedades de la delta de Dirac, es algo puramente formal así que no sé hasta que punto te convencerá. Creo que es útil mirar el caso particular de la wikipedia (suprimo las constantes para no ir arrastrándolas):

$\Psi(r)=\dst\sum_{k}e^{ik \cdot r}a_k$

$\Psi^{\dagger}(r)=\dst\sum_{k}e^{-ik \cdot r}a^{\dagger}_k$

Al calcular el conmutador queda $\sum_k e^{ik \cdot (r_1-r_2)}=\delta(r_1-r_2)$. Esta última igualdad se escribe en analogía a:

$\delta(x)=\dst\sum_k e^{ik x}$

En muchos sitios puedes encontrar esta fórmula con factores dos pi aquí y allá. Yo no los he puesto porque depende de las definiciones y porque la wikipedia no los pone. Si quieres colocarlos entonces tienes que modificar los conmutadores para que todo cuadre. Al final esta fórmula tampoco es que sea de mucha ayuda porque se escribe en analogía a su versión integral:

$\delta(x)=\dst\frac{1}{2\pi}\dst\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ik x}dk$

Esta última sale como relación inversa a la transformada de Fourier de $\delta$. Así que esta es la "explicación". Cuando tienes $\psi_{\nu}(\vec r_1)$ y $\psi_{\nu}(\vec r_2)^*$ más generales sé que se pueden usar argumentos de distribuciones pero yo de eso no sé así que no te puedo decir más. Al final este tipo de relaciones siempre acaban con argumentos complicados así que me las tomo igual que en los libros: propiedades formales de la delta de Dirac para utilizarlas cuando conviene, hasta el día que tenga los conocimientos suficientes como para demostrarlas en detalle. Algunas se pueden demostrar con teoría de la medida pero esta en concreto no sé si se podría hacer así.

[alexpglez]

Re: Duda con igualdad de la segunda cuantización

Bueno, como todo este tipo de propiedades de la delta de Dirac, es algo puramente formal así que no sé hasta que punto te convencerá. Creo que es útil mirar el caso particular de la wikipedia

Creo que me convence el argumento lo mismo que a ti: más bien nada.

Cuando tienes y más generales sé que se pueden usar argumentos de distribuciones pero yo de eso no sé así que no te puedo decir más.

¿Conoces alguna referencia?

Imagino que en los artículos originales de Dirac, Fock y otros vendrá explicado pero ni idea de cómo buscarlos.

- - - Actualizado - - -

Respecto a lo último que comentaba sobre la relación entre el momento del campo y el campo, leo aquí que:
Mientras que para los bosones escalares es:

$$[\Psi(x,t),\Pi(y,t)]=i\hbar \delta (x-y)$$

Para los fermiones de spin 1/2 es:

$$\{\Psi(x,t),\Pi(y,t)\}=i\hbar \delta (x-y)$$

Se dan argumentos de espectro de energías, que si fuese al revés el espectro no estaría acotado inferiormente (un argumento que a mí no me convence). Pero en cambio no deja muy claro cómo se cuantiza en el electromagnetismo, ¿qué relación se toma para este caso y los casos de las fuerzas débil y fuerte?, y ¿por qué para unos es con [ ] y otros { }, es puramente artificial (porque así se modeliza la teoría correctamente comprobado experimentalmente), o tiene su explicación?

Por otro lado, en la mecánica ordinaria elemental, introduciendo el espín en la teoría, ¿por qué se obtiene teóricamente que para bosones es [ ] y para fermiones es con { }?

Gracias, saludos

- - - Actualizado - - -

Hoy he encontrado en wikipedia que:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\Psi^*_n(x')\Psi_n(x)=\delta(x'-x)$$

Para una cualquier base numerable de un espacio infinito-dimensional... pero en la referencia a otro enlace de wikipedia, no viene explicado por qué es así. (Este hecho lo preguntaré por otro hilo)