2o ciclo Interpretación ecuación de Dirac

[Lorentz]

Buenos días,

Actualmente estoy estudiando las soluciones a la ecuación de Dirac, y la interpretación de los resultados de energía negativa de la misma.

Los operadores de campo cuánticos son:

$\dst \Psi{\left(\mathbf{x}\right)}=\sum_{s=1}^{2}\int \frac{d^3 p}{\left(2 \pi\right)^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \left[b_{\mathbf{p}}^s u^{s}\left(\mathbf{p}\right) e^{-i\left(\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}\right)}+c_{\mathbf{p}}^{\dagger s} v^{s}\left(\mathbf{p}\right) e^{i\left(\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}\right)}\right]$

Y su conjugado, que cumplen:

$\dst \left[\Psi{\left(\mathbf{x},t\right)},\pi{\left(\mathbf{x'},t\right)}\right]=i \delta^{\left( 3 \right)}\left( \mathbf{x} -\mathbf{x'} \right)$

Ambos evaluados en el mismo tiempo. Además, la ecuación de Dirac es simétrica bajo conjugación.

Ambas soluciones en realidad ofrecen ambas la creación/destrucción de partículas con energías positivas y con momento $\mathbf{p}$. Pero son partículas distintas, las partículas "$b$" (partículas) y las partículas "$c$" (antipartículas).

Con el conocimiento actual que tengo sobre antipartículas, definiría las antipartículas como "aquellas que tienen exactamente los números cuánticos aditivos opuestos a la partícula correspondiente". Y a su vez sé que los números cuánticos aditivos son la cantidad conservada correspondiente a una simetría continua.

Además según el teorema de Noether aplicado a la base de operadores que estamos estudiando, la carga conservada sería:

$\dst Q=\int d^3 \mathbf{p} \left( b_{\mathbf{p}}^{\dagger s}b_{\mathbf{p}}^s -c_{\mathbf{p}}^{\dagger s} c_{\mathbf{p}}^s \right)$

Ahora vienen mis dudas.

1) No me queda claro cuál es la simetría continua subyacente a la que corresponde esa carga, ¿es la traslación?

2) No consigo observar cómo entran en juego de manera general los números cuánticos aditivos, ni como identificar qué es físicamente esa carga (eléctrica, color...).

3) Y en sí, no tengo claro como se llega a esa definición de antipartícula a partir de estas ecuaciones.

Un saludo

[Weip]

Re: Interpretación ecuación de Dirac

Hola Lorentz.

Es cierto que el lagrangiano de Dirac tiene las translaciones como una de sus simetrías, pero esto te lleva al tensor de energía-momento, no a la carga que comentas. Además que las translaciones son simetrías espaciotemporales mientras que estas cargas se derivan de simetrías internas que se llaman. En todo caso, la simetría que hay detrás de esta última es la simetría $\text{U(1)}$ global, también llamada invarianza global de fase. Estas transformaciones son del tipo $\psi \to e^{-i\alpha}\psi$ y forman el grupo $\text{U(1)}$ (el nombre viene de que las transformaciones son unitarias y tienen orden $1$) . Para poder interpretar esa carga, de primeras se puede hacer la lectura literal "número de partículas menos número de antipartículas", pero es más directo verla como la carga eléctrica. Para hacerlo hay que conseguir que la simetría $\text{U(1)}$ sea local, es decir, hemos de usar transformaciones de la forma $\psi \to e^{-i\alpha(x)}\psi$. Al aplicarlas al lagrangiano de Dirac este deja de tener la simetría pero si se insiste en mantener la invarianza gauge se llega a que se debe introducir el campo gauge $A_{\mu}$ (el campo electromagnético) y modificar el lagrangiano de Dirac usando el principio de acoplo mínimo: sustituir las derivadas parciales por derivadas covariantes $D_{\mu}=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}$. Aquí se interpreta la constante de acoplo $e$ como la carga eléctrica de una partícula del campo $\psi$. Con todo esto se llega al lagrangiano de la electrodinámica cuántica que tiene por carga:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y esta carga es más fácil de interpretar: es la carga eléctrica de toda la vida. Al final para que la interpretación sea clara hay que acoplar el campo $\psi$ al campo electromagnético y mantener así la invarianza gauge. Si no, solo queda el partículas menos antipartículas del que hablaba antes (hasta lo que sé, por supuesto). Con la carga de color se sigue una historia parecida pero usando la simetría $\text{SU(3)}$.

Espero haberte ayudado.

[Lorentz]

Re: Interpretación ecuación de Dirac

Muchas gracias por tu respuesta Weip, he empezado a hilar cosas, pero si me permites querría preguntarte a ver si he entendido bien.

En todo caso, la simetría que hay detrás de esta última es la simetría global, también llamada invarianza global de fase. Estas transformaciones son del tipo y forman el grupo (el nombre viene de que las transformaciones son unitarias y tienen orden ) . Para poder interpretar esa carga, de primeras se puede hacer la lectura literal "número de partículas menos número de antipartículas", pero es más directo verla como la carga eléctrica. Para hacerlo hay que conseguir que la simetría sea local, es decir, hemos de usar transformaciones de la forma .

Cierto! Disculpa mi torpeza, dije traslaciones por decir algo... porque no se me ocurría que simetría usar. Pero una cosa, ¿no debería ser el grupo $SU\left(1\right)$? Entiendo que deban ser transformaciones unitarias pero teniendo la ambigüedad de si el determinante es $\pm 1$, tengo la impresión de que habría que restringirlo al caso $\det=1$.

Al aplicarlas al lagrangiano de Dirac este deja de tener la simetría pero si se insiste en mantener la invarianza gauge se llega a que se debe introducir el campo gauge (el campo electromagnético) y modificar el lagrangiano de Dirac usando el principio de acoplo mínimo: sustituir las derivadas parciales por derivadas covariantes . Aquí se interpreta la constante de acoplo como la carga eléctrica de una partícula del campo . Con todo esto se llega al lagrangiano de la electrodinámica cuántica que tiene por carga:

Y esta carga es más fácil de interpretar: es la carga eléctrica de toda la vida. Al final para que la interpretación sea clara hay que acoplar el campo al campo electromagnético y mantener así la invarianza gauge. Si no, solo queda el partículas menos antipartículas del que hablaba antes (hasta lo que sé, por supuesto). Con la carga de color se sigue una historia parecida pero usando la simetría .

¿Entonces lo que quiere decir esto es que la carga conservada que escribí en el primer post, sólo adquiere sentido físico real cuando se añade al lagrangiano de Dirac un término de interacción con un campo clásico?

Con la carga conservada que me has escrito de la Electrodinámica Cuántica, ya se vislumbra el hecho de que las partículas "$c$", es decir, las antipartículas son aquellas que tienen carga eléctrica opuesta (que vaya casualidad es un número cuántico aditivo jeje), pero entonces me hago la siguiente pregunta.

Con el conocimiento actual que tengo sobre antipartículas, definiría las antipartículas como "aquellas que tienen exactamente los números cuánticos aditivos opuestos a la partícula correspondiente". Y a su vez sé que los números cuánticos aditivos son la cantidad conservada correspondiente a una simetría continua.

Esta es la definición de antimateria que tengo entendida, y que me dijeron en su momento cuando empecé a estudiar física de partículas (por primera vez).

Esta definición se puede determinar de manera teórica? ¿O es una definición empírica de la cuál no se ha encontrado ningún contraejemplo que la desmienta?

Me refiero a que, dada la expresión que has puesto de la carga conservada en la Electrodinámica Cuántica, solamente "definiríamos" las antíparticulas como aquellas con carga eléctrica opuesta, no hay ningún indicio de que las antipartículas deban cumplir eso para todos los números cuánticos aditivos.

Espero haber podido transmitir bien mi duda, muchas gracias por tu tiempo de nuevo

[Weip]

Re: Interpretación ecuación de Dirac

Hola de nuevo.

Cierto! Disculpa mi torpeza, dije traslaciones por decir algo... porque no se me ocurría que simetría usar. Pero una cosa, ¿no debería ser el grupo $SU\left(1\right)$? Entiendo que deban ser transformaciones unitarias pero teniendo la ambigüedad de si el determinante es $\pm 1$, tengo la impresión de que habría que restringirlo al caso $\det=1$.

No, de hecho $\text{SU(1)}$ es el grupo trivial: solo contiene un elemento, la identidad, pues es la única matriz unitaria 1x1 con determinante 1. $\text{SU(1)}$ no es un grupo de simetría de verdad pues deja al campo igual sin hacerle ninguna transformación.

¿Entonces lo que quiere decir esto es que la carga conservada que escribí en el primer post, sólo adquiere sentido físico real cuando se añade al lagrangiano de Dirac un término de interacción con un campo clásico?

Piensa que $e$ es la constante de acoplo entre $\psi$ y $A_{\mu}$. La cuestión entonces es ¿se puede hablar de carga eléctrica sin haber acoplamiento con el campo electromagnético? Como en la realidad el acoplamiento existe yo diría que no nos hemos de preocupar demasiado por esta cuestión. Hay textos que prefieren hablar solo de carga y otros que hablan de carga (eléctrica) con el “eléctrica” entre paréntesis y no la llaman carga eléctrica sin matices hasta que consideran el acoplamiento con el campo electromagnético. Así que la respuesta a tu pregunta es que sí pero con el matiz de que es un poco cuestión de nombres porque en la realidad el término de interacción está en el lagrangiano.

Esta es la definición de antimateria que tengo entendida, y que me dijeron en su momento cuando empecé a estudiar física de partículas (por primera vez).

Esta definición se puede determinar de manera teórica? ¿O es una definición empírica de la cuál no se ha encontrado ningún contraejemplo que la desmienta?

Me refiero a que, dada la expresión que has puesto de la carga conservada en la Electrodinámica Cuántica, solamente "definiríamos" las antíparticulas como aquellas con carga eléctrica opuesta, no hay ningún indicio de que las antipartículas deban cumplir eso para todos los números cuánticos aditivos.

Bueno al final el lagrangiano que estamos planteando es simplificado así que bien puedes coger como definición de antipartícula aquella que tiene carga eléctrica opuesta a una partícula. Aún así la realidad es más complicada y si consideramos el modelo estándar al completo la definición de antipartícula se convierte más en una interpretación que en una definición teórica en base a lo observado en la realidad. En este sentido tienes un excelente post de la Ciencia de la Mula Francis llamado “Las antipartículas de los bosones gauge” en el que se plantea si, por ejemplo, el bosón $W^+$ es antipartícula del $W^-$. Al final hay físicos que consideran que sí y físicos que consideran que no, cada uno de ellos con sus propios argumentos basados en la teoría. Por supuesto, la definición que te han dado en clase es tan correcta como las otras, así que puedes pensar en esos términos si te es más cómodo.

[Lorentz]

Re: Interpretación ecuación de Dirac

Muchas gracias Weip de nuevo,

Entre tu explicación y la de la Mula Francis habéis resuelto la duda que tenía.

Por supuesto, la definición que te han dado en clase es tan correcta como las otras, así que puedes pensar en esos términos si te es más cómodo.

Eso sí, ahora esta definición ha dejado de parecerme tan válida, y creo que me centraré en ver cuáles son las representaciones irreducibles de la partícula y hacer el complejo conjugado... Más allá de terminología, que en mi opinión hay veces que si nos perdemos en ella, solamente se oscurece el verdadero significado de lo que se intenta describir.

Un saludo