2o ciclo relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

[rayohauno]

En el libro de F. Mandl and G. Shaw "Quantum Field Theory", hay una seccion dedicada
a probar (para un caso particular) la covarianza de las relaciones de conmutacion.

En un momento (pag. 51) de la version q yo tengo del libro, define unas funciones
delta:

$\Delta^{\pm}(x) = \frac{-i c}{2(2\pi)^3} \int \frac{d^3 \vec{k}}{w_{\vec{k}}} e^{\mp kx}$

luego, dice q:

$\Delta(x) = \Delta^+(x) + \Delta^-(x) = \frac{-i}{(2\pi)^3}\int d^4 k \delta(k^2-\mu^2) \epsilon(k^0) e^{-ikx}<br />$

donde $\epsilon(k^0) = 1$ si $k^0>0$ y $\epsilon(k^0) = -1$ si $k^0<0$.

lo cual he intentado comprobar, pero ocurre q en vez de aparecerme un sen(kx) como
supuestamente deberia. me aparece un cos(kx).

He revisado las cuentas, y sospecho q hay un error en el libro. Alguien sabe si es asi?

Saludos

PD: Vale aclarar q $k^2 = (k^0)^2 - \vec{k}^2$ y q $k^0 = (1/c)w_{\vec{k}}$

[alshain]

Re: relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

A primera vista no veo ese resultado. Lo que te puedo decir es que usualmente en estos casos lo que se hace para pasar de una expresión en $d^3k$ a una en $d^4k$ del propagador $\Delta(x - y)$ es tomar una integración compleja en $dk_0$ con polos en $\pm \omega_k$. Considerando la fórmula de Cauchy y teniendo en cuenta que $k^2 - m^2 = k_0^2 - \vec k^2 - m^2$ puedes pasar de la integral $d^3k$ a la $d^4k$ y vice-versa. Quizás te sirva, un saludo.

[rayohauno]

Re: relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

Voy a poner el calculo, por una cuestion de completitud, de modo q si el calculo
esta bien, entonces hay un error en el libro, en el sentido de q afirma algo q no es cierto.

$\Delta(x) = \frac{-i}{(2\pi)^3} \int d^3\vec{k} \int_{-\infty}^{\infty} dk^0<br /> \frac{c}{2w_{\vec{k}}} [ \delta(k^0 + w_{\vec{k}}/c) + \delta(k^0 - w_{\vec{k}}/c) ] \epsilon(k^0) e^{ikx} <br />$

$= \frac{-i}{(2\pi)^3} \int d^3\vec{k} \frac{c}{2w_{\vec{k}}} <br /> [ -\int_{-\infty}^0 dk^0 \delta(k^0 + w_{\vec{k}}/c) e^{i(k^0x_0-\vec{k}\vec{x})} <br /> + \int^{ \infty}_0 dk^0 \delta(k^0 - w_{\vec{k}}/c) e^{i(k^0x_0-\vec{k}\vec{x})} ]<br />$

$= \frac{-i}{(2\pi)^3} \int d^3\vec{k} \frac{c}{2w_{\vec{k}}}<br /> [ -e^{i(-\frac{1}{c}w_{\vec{k}}x_0-\vec{k}\vec{x})} <br /> + e^{i(+\frac{1}{c}w_{\vec{k}}x_0-\vec{k}\vec{x})} ] <br />$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Donde eh usado q:

$\delta(k^2 - \mu^2) = \frac{c}{2w_{\vec{k}}}<br /> [ \delta(k^0 - w_{\vec{k}}/c) + \delta(k^0 + w_{\vec{k}}/c) ]$

q es un caso particular de la identidad:

$<br /> \delta[g(x)] = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}<br />$

donde los $x_i$ son las raices de $g(x)$

Por otro lado, voy a ir verificar la integracion por residuos, ya q en el libro tmb aparece como opcion.

Gracias

saludos
rayo

[pod]

Re: relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

¿Qué le ha pasado a la función epsilon? Tiene toda la pinta que deba ser la que te da la diferencia de signos en las dos exponenciales que te convierte un coseno en un seno.

[rayohauno]

Re: relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

¿Qué le ha pasado a la función epsilon? Tiene toda la pinta que deba ser la que te da la diferencia de signos en las dos exponenciales que te convierte un coseno en un seno.

es la q le da el signo negativo al primero termino dentro de la integral de la segunda linea; está tenido en cuenta en el cálculo.

[lalo_u]

Re: relaciones de conmutacion covariantes, mandl and shaw, error ?

Tienes un error en la definición del propagador covariante. La exponencial del final es con el signo menos $e^{-i k x}$, lo pusiste com el signo más.